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二叉树基本内容

文章目录

• 1.树的基本概念
• 2.二叉树
• • 2.1 概念
  • 2.2 两种特殊的二叉树
  • 2.3 二叉树的性质
  • 2.4 二叉树的存储
  • 2.5 二叉树的基本操作
  • • 2.5.1 二叉树的遍历
    • 2.5.2 二叉树的基本操作习题

1.树的基本概念

注意：树形结构中，子树之间不能有交集，否则就不是树形结构。

子树是不相交的。

除了根结点外，每个结点有且只有一个父结点。

一棵N个结点的树有N-1条边。

• 结点的度：一个结点含有子树的个数称为该结点的度； 如上图：A的度为6，B的度为0
• 树的度：一棵树中，所有结点度的最大值称为树的度； 如上图：树的度为6
• 叶子结点或终端结点：度为0的结点称为叶结点； 如上图：B、C、H、I…等节点为叶结点
• 双亲结点或父结点：若一个结点含有子结点，则这个结点称为其子结点的父结点； 如上图：A是B的父结点
• 孩子结点或子结点：一个结点含有的子树的根结点称为该结点的子结点； 如上图：B是A的孩子结点
• 根结点：一棵树中，没有双亲结点的结点；如上图：A
• 结点的层次：从根开始定义起，根为第1层，根的子结点为第2层，以此类推
• 树的高度或深度：树中结点的最大层次； 如上图：树的高度为4

树的以下概念只需了解，在看书时只要知道是什么意思即可：

• 非终端结点或分支结点：度不为0的结点； 如上图：D、E、F、G…等节点为分支结点
• 兄弟结点：具有相同父结点的结点互称为兄弟结点； 如上图：B、C是兄弟结点
• 堂兄弟结点：双亲在同一层的结点互为堂兄弟；如上图：H、I互为兄弟结点
• 结点的祖先：从根到该结点所经分支上的所有结点；如上图：A是所有结点的祖先
• 子孙：以某结点为根的子树中任一结点都称为该结点的子孙。如上图：所有结点都是A的子孙
• 森林：由m（m>=0）棵互不相交的树组成的集合称为森林

2.二叉树

2.1 概念

一棵二叉树是结点的一个有限集合，该集合：

1. 或者为空
2. 或者是由一个根节点加上两棵别称为左子树和右子树的二叉树组成。
   

从上图可以看出：

1. 二叉树不存在度大于2的结点
2. 二叉树的子树有左右之分，次序不能颠倒，因此二叉树是有序树

注意：对于任意的二叉树都是由以下几种情况复合而成的：

2.2 两种特殊的二叉树

1. 满二叉树: 一棵二叉树，如果每层的结点数都达到最大值，则这棵二叉树就是满二叉树。也就是说，如果一棵二叉树的层数为K，且结点总数是2^k -1 ，则它就是满二叉树。
2. 完全二叉树: 完全二叉树是效率很高的数据结构，完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为K的，有n个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为K的满二叉树中编号从0至n-1的结点一一对应时称之为完全二叉树。 要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树。

2.3 二叉树的性质

1. 若规定根结点的层数为1，则一棵非空二叉树的第i层上最多有2^(i-1) (i>0)个结点.

2. 若规定只有根结点的二叉树的深度为1，则深度为K的二叉树的最大结点数是2^k-1 (k>=0)

3. 对任何一棵二叉树, 如果其叶结点个数为 n0, 度为2的非叶结点个数为 n2,则有n0＝n2＋1

   （推导：

   1.假设任意一棵二叉树有N个结点，又因为一棵二叉树，都是由叶结点n0，度为1的结点n1和度为2的结点n2 组成N = n0+n1+n2 （1）

   2.对于任何一棵树，如果有N个结点，那么就会产生N-1条边

   n0: 度为0的结点，向下只能够产生0条边

   n1: 度为1的结点，向下能产生n1条边

   n2: 度为2的结点，向下能产生2*n1条边

   得到：N-1 = 0+n1+2*n2（2）

   表达式（1）和（2）相结合得到n0=n2+1）

4. 具有n个结点的完全二叉树的深度k为 上取整

5. 对于具有n个结点的完全二叉树，如果按照从上至下从左至右的顺序对所有节点从0开始编号，则对于序号为i
   的结点有：
   若i>0，双亲序号：(i-1)/2；i=0，i为根结点编号，无双亲结点
   若2i+1<n，左孩子序号：2i+1，否则无左孩子
   若2i+2<n，右孩子序号：2i+2，否则无右孩子

练习题：

1. 某二叉树共有 399 个结点，其中有 199 个度为 2 的结点，则该二叉树中的叶子结点数为（ ）
   A 不存在这样的二叉树
   B 200
   C 198
   D 199

   答：度为0的结点 n0 = n2+1，n0 = 199+1=200 ，选B

2. 在具有 2n 个结点的完全二叉树中，叶子结点个数为（ ）
   A n
   B n+1
   C n-1
   D n/2

   答：结点由度为0，度为1，度为2的结点组成。

   在完全二叉树中，有偶数个结点数，所以度为1的结点有1个。 2n= n0+n1+2*n2 = n0+1+n2

   又因为n0 = n2+1，所以n0 = n，选A

3. 一个具有767个节点的完全二叉树，其叶子节点个数为（）

   A 383
   B 384
   C 385
   D 386

   答：在完全二叉树中，有奇数个结点数，所以度为1的结点有0个。767=n0+0+n2

   又因为n0 = n2+1，所以n0 = 384，选B

4. 一棵完全二叉树的节点数为531个，那么这棵树的高度为（ ）
   A 11
   B 10
   C 8
   D 12

   答：k = log2(n+1) = log2(532)向上取整，选B

2.4 二叉树的存储

二叉树的存储结构分为：顺序存储和类似于链表的链式存储。

二叉树的链式存储是通过一个一个的节点引用起来的，常见的表示方式有二叉和三叉表示方式

2.5 二叉树的基本操作

2.5.1 二叉树的遍历

所谓遍历(Traversal)是指沿着某条搜索路线，依次对树中每个结点均做一次且仅做一次访问。访问结点所做的操作依赖于具体的应用问题(比如：打印节点内容、节点内容加1)。 遍历是二叉树上最重要的操作之一，是二叉树上进行其它运算之基础。

在遍历二叉树时，如果没有进行某种约定，每个人都按照自己的方式遍历，得出的结果就比较混乱，如果按
照某种规则进行约定，则每个人对于同一棵树的遍历结果肯定是相同的。

1. 前中后序遍历

   如果N代表根节点，L代表根节点的左子树，R代表根节点的右子树。

   则根据遍历根节点的先后次序有以下遍历方式：
   NLR：前序遍历(Preorder Traversal 亦称先序遍历)——访问根结点—>根的左子树—>根的右子树。

   // 前序遍历 根->左子树->右子树
   public void preOrder(TreeNode root) {if(root == null){return;}System.out.print(root.val+" ");preOrder(root.left);//递归preOrder(root.right);
   }
   //子问题思路：（一般用这个）public List<Integer> preorderTraversal(TreeNode root) {List<Integer> list = new ArrayList<>();if(root == null) { //如果根节点为空，直接返回return list;}list.add(root.val);//左子树和右子树相加List<Integer> leftTree = preorderTraversal(root.left);list.addAll(leftTree);List<Integer> rightTree = preorderTraversal(root.right);list.addAll(rightTree);return list;}

   LNR：中序遍历(Inorder Traversal)——根的左子树—>根节点—>根的右子树。

   // 中序遍历 左子树->根->右子树void inOrder(TreeNode root) {if(root == null) {return;}inOrder(root.left);System.out.print(root.val+" ");inOrder(root.right);}

   LRN：后序遍历(Postorder Traversal)——根的左子树—>根的右子树—>根节点。

   // 后序遍历 左子树->右子树->根void postOrder(TreeNode root) {if(root == null) {return;}postOrder(root.left);postOrder(root.right);System.out.print(root.val+" ");}

练习题：

1. 完全二叉树按层次输出（同一层从左到右）的序列为 ABCDEFGH 。该完全二叉树的前序序列为(A)
   A: ABDHECFG B: ABCDEFGH C: HDBEAFCG D: HDEBFGCA

2. 二叉树的先序遍历和中序遍历如下：先序遍历：EFHIGJK;中序遍历：HFIEJKG.则二叉树根结点为(A)
   A: E B: F C: G D: H

   答：先序遍历的根节点是第一个结点E。

3. 设一课二叉树的中序遍历序列：badce，后序遍历序列：bdeca，则二叉树前序遍历序列为(D)
   A: adbce B: decab C: debac D: abcde

   答：后序遍历的根节点是最后一个结点a，在中序遍历中a的左边就是左子树，右边的就是a的右子树。

4. 二叉树的后序遍历序列与中序遍历序列相同，均为 ABCDEF ，则按层次输出(同一层从左到右)的序列为(A)
   A: FEDCBA B: CBAFED C: DEFCBA D: ABCDEF

   答：后序遍历的根节点是最后一个结点F，左边数字就是F的右子树或者左子树。

2.5.2 二叉树的基本操作习题

1. 获取树中节点的个数

   int count = 0;
   int size(TreeNode root){if (root == null){return 0;}count++;return size(root.left)+size(root.right);
   }
   /*** 子问题思路*/
   int size1(TreeNode root){if (root == null) return 0;//左子树和右子树之和+根节点return size1(root.left)+size1(root.right)+1;
   }
   

2. 获取叶子节点的个数 - (遍历思路、子问题思路)

   //1. 遍历思路：遍历到叶子结点，就让计数器++
   int leafCount = 0;
   public void getLeafNodeCount(TreeNode root){if(root == null){return;}//左子树和右子树都为null时，是叶子结点if (root.left == null && root.right ==null){leafCount++;}//递归左子树和右子树getLeafNodeCount(root.left);getLeafNodeCount(root.right);
   }//2. 子问题思路 ：左树叶子数 +右树叶子数 = 整棵树的叶子int leafCount1 = 0;public int getLeafNodeCount1(TreeNode root) {if (root == null) {return 0;}if (root.left == null &&root.right == null){//当前的root没有子树，自己就是叶子节点return 1;}return getLeafNodeCount1(root.left) + getLeafNodeCount1(root.right);
   }
   

3. 获取第K层节点的个数

   • 子问题思路：是根节点的第k层，也就是第二层结点的第k-1层

   public int getKLevelNodeCount(TreeNode root,int k){if (root == null || k <= 0){return 0;}if (k == 1){ //当k=1时，第一层return 1;}//k不为1时：递归return getKLevelNodeCount(root.left,k-1) + getKLevelNodeCount(root.right,k-1);
   }
   

4. 获取二叉树的高度

   • 子问题思路：左树的高度和右树的高度 取最大值 然后+1（根节点）= 整棵树的高度
   • 下面的函数时间复杂度：O(n) （看递归的次数，每个结点都递归，次数为n）
   • 空间复杂度：O(k) k=log2(n) （空间复杂度为数的高度）

int getHeight2(TreeNode root) {if(root == null){return 0;}int leftHeight = getHeight2(root.left);int rightHeight = getHeight2(root.right);return leftHeight>=rightHeight ? leftHeight+1 : rightHeight+1;
}
int getHeight(TreeNode root){if(root == null){return 0;}//比较左树高度和右树高度,取最大值int leftHeight = getHeight(root.left);int rightHeight = getHeight(root.right);return leftHeight > rightHeight ? leftHeight+1 : rightHeight+1;//return getHeight(root.left) > getHeight(root.right)? (getHeight(root.left)+1):(getHeight(root.right)+1);//递归的次数太多了，重复计算了好多次，err//超出规定的运行时间：1.死循环 2.递归的次数太多了
}

5. 检测值为value的元素是否存在

   TreeNode find(TreeNode root,char val) {if (root == null) return null;if (root.val == val){return root;}TreeNode ret = find(root.left,val);if(ret!=null){return ret;}ret = find(root.right,val); //如果左子树没有值为value的元素，看看右子树if (ret != null){return ret;}return null;
   }
   

6. 判断一棵树是不是完全二叉树

   • 思路：root为空返回true，不为空时，建立一个队列，将root放入队列，
   • 队列不为空时，每次取出队列队头元素，对头元素不为null，则加入对头元素的左子树和右子树，为null则中止循环
   • 之后，队列不为空时，检测队列中所有元素，如果都是null则为true，如果有别的元素，则为false

   boolean isCompleteTree(TreeNode root){if(root == null){return true;}//队列Queue<TreeNode> queue = new LinkedList<>();queue.offer(root);//将根入队列//循环while (!queue.isEmpty()){// 队列不为空TreeNode cur = queue.poll(); //取出队头元素给curif (cur != null){  //当取出的队头不为null时，加入其左子树和右子树两个元素queue.offer(cur.left);queue.offer(cur.right);}else {break; //为null时，中止循环}}//看队列剩下的元素是否都为null，如果有不为null的元素，那么就不是完全二叉树while(!queue.isEmpty()){TreeNode top = queue.peek();if(top != null){return false;}queue.poll();}return true;
   }
   

r.left);
queue.offer(cur.right);
}else {
break; //为null时，中止循环
}
}
//看队列剩下的元素是否都为null，如果有不为null的元素，那么就不是完全二叉树
while(!queue.isEmpty()){
TreeNode top = queue.peek();
if(top != null){
return false;
}
queue.poll();
}
return true;
}

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