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9.1 向量范数
文章目录
- 范数定义
- 向量的1-范数
- 向量的2-范数
- 向量的p-范数
- 向量的 ∞ \infty ∞-范数
- 内积导出范数
范数定义
赋范线性空间normed vector space，是定义了向量范数的线性空间。首先我们来看看向量范数的定义吧。范数，英文叫Norm，是一个满足以下三个性质的从向量到复数的映射。假设 x x x是一个向量， x x x的范数的符号是 ∥ x ∥ \parallel x\parallel ∥x∥，这三条性质是这样的：
- 正定性positivity, ∥ x ∥ ≥ 0 \parallel x\parallel\ge 0 ∥x∥≥0，只有 A = 0 A=0 A=0时才取等号；
- 非负齐次性homogeneity或scaling, ∥ k x ∥ = ∣ k ∣ ∥ x ∥ \parallel kx\parallel=|k|\parallel x\parallel ∥kx∥=∣k∣∥x∥
- 劣可加性subadditivity或三角不等式triangle inequality， ∥ x + y ∥ ≤ ∥ x ∥ + ∥ y ∥ \parallel x+y\parallel \le \parallel x\parallel+\parallel y\parallel ∥x+y∥≤∥x∥+∥y∥。
这个定义是针对所有线性空间的，我们知道实数 R R R可以当成一个一维的线性空间，所以绝对值，符合上述的三点定义。所以所有实数组成的空间（不能叫实空间！）中的绝对值是一个范数。
再举个例子，所有复数 C C C也组成了一个二维的线性空间（不能叫复空间！），复数的模长也是一个范数。
接下来，我要介绍 C n C^n Cn空间中最重要的四种范数。
向量的1-范数
1-范数1-norm，就是坐标的所有绝对值相加的定义如下：
∥ x ∥ 1 = ∣ x 1 ∣ + ∣ x 2 ∣ + ⋯ + ∣ x n ∣ \parallel x\parallel_1=|x_1|+|x_2|+\cdots+|x_n| ∥x∥1=∣x1∣+∣x2∣+⋯+∣xn∣
或者高大上一点：
∥ x ∥ 1 = ∑ i = 1 n ∣ x i ∣ \parallel x\parallel_1=\sum_{i=1}^n|x_i| ∥x∥1=i=1∑n∣xi∣
向量的2-范数
2-范数2-norm，在实空间里也叫欧几里得范数Euclidean norm，在一般情况下，求向量的范数，意思就是求向量的2-范数。它的定义如下：
∥ x ∥ 2 = ∣ x 1 ∣ 2 + ∣ x 2 ∣ 2 + ⋯ + ∣ x n ∣ 2 \parallel x\parallel_2=\sqrt{|x_1|^2+|x_2|^2+\cdots+|x_n|^2} ∥x∥2=∣x1∣2+∣x2∣2+⋯+∣xn∣2
或者高大上一点：
∥ x ∥ 2 = ∑ i = 1 n ∣ x i ∣ 2 \parallel x\parallel_2=\sqrt{\sum_{i=1}^n|x_i|^2} ∥x∥2=i=1∑n∣xi∣2
有时候我们会好奇为啥非要加个绝对值呢？这个不是绝对值啊，是模长！以复数为例子：
∣ 3 + i ∣ 2 = 10 ( 3 + i ) 2 = 9 + i 2 + 6 i = 8 + 6 i |3+i|^2=10\\ (3+i)^2=9+i^2+6i=8+6i ∣3+i∣2=10(3+i)2=9+i2+6i=8+6i
向量的p-范数
p-范数p-norm，在实空间里也叫欧几里得范数Euclidean norm，在一般情况下，求向量的范数，意思就是求向量的2-范数。它的定义如下：
∥ x ∥ p = ( ∣ x 1 ∣ p + ∣ x 2 ∣ p + ⋯ + ∣ x n ∣ p ) 1 p \parallel x\parallel_p=(|x_1|^p+|x_2|^p+\cdots+|x_n|^p)^{\frac1p} ∥x∥p=(∣x1∣p+∣x2∣p+⋯+∣xn∣p)p1
或者高大上一点：
∥ x ∥ p = ( ∑ i = 1 n ∣ x i ∣ p ) 1 p \parallel x\parallel_p=(\sum_{i=1}^n|x_i|^p)^\frac1p ∥x∥p=(i=1∑n∣xi∣p)p1
但是不能写成：
∥ x ∥ p = ∑ i = 1 n ∣ x i ∣ p p \parallel x\parallel_p=\sqrt[p]{\sum_{i=1}^n|x_i|^p} ∥x∥p=pi=1∑n∣xi∣p
为啥不能这么写？因为 p p p不一定是整数哦。
1-范数，2-范数其实就是p=1和2时的p-范数。
向量的 ∞ \infty ∞-范数
无穷范数是求向量的各个分量（就是坐标）模长的最大值，定义如下：
∥ x ∥ ∞ = m a x { ∣ x i ∣ ∣ 1 ≤ i ≤ n } \parallel x\parallel _\infty=max\{|x_i| \ |1\le i \le n\} ∥x∥∞=max{∣xi∣ ∣1≤i≤n}
1-范数，2-范数，p-范数以及无穷范数符合范数的定义吗？如果要证明这些范数符合向量范数的定义，尤其是三角不等式的证明，就需要用到线性代数的三大不等式：柯西-施瓦茨不等式、赫尔德不等式和闵可夫斯基不等式。下一篇文章，我会详细讲解三大不等式。
内积导出范数
范数 ∥ a ∥ = ( a , a ) \parallel \bold a \parallel=\sqrt{(a,a)} ∥a∥=(a,a) 是向量的按内积导出的范数，有时候当成向量的长度，如定义以下内积：
( a , b ) = a T A b A = ( 1 0 0 0 2 0 0 0 3 ) (\bold a,\bold b)=\bold a^TA \bold b\\ A=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\ 0 & 2 & 0\\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix} (a,b)=aTAbA= 100020003
那么向量 ( 1 , 2 , 1 ) T (1,2,1)^T (1,2,1)T的范数为：
∥ 1 2 1 ∥ = ( a , a ) = 12 \begin{Vmatrix} 1\\2\\1\end{Vmatrix}=\sqrt{(a,a)}=\sqrt{12} 121 =(a,a) =12
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