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【算法】【递归与动态规划模块】斐波那契数列的系列问题解法及递推类型问题的最优解

目录

  • 前言
  • 问题介绍
  • 解决方案
  • 代码编写
    • java语言版本
    • c语言版本
    • c++语言版本
  • 思考感悟
  • 写在最后

前言

当前所有算法都使用测试用例运行过，但是不保证100%的测试用例，如果存在问题务必联系批评指正~

在此感谢左大神让我对算法有了新的感悟认识！

问题介绍

原问题
有一个楼梯一共num阶，从底层往上层一次只能走1步或者2步，求登上num阶的楼梯一共有几种方式？
如：2阶楼梯，可以一次走2阶也可以走两次1阶，一共有两种方式
进阶问题
有一个农场和一只成熟的母牛，成熟的母牛一年会生一只小母牛，小母牛3年后会成为成熟的母牛并在当年开始产小母牛，问：第num年时，农场一共有多少只母牛？

解决方案

原问题：
方法一：暴力递归
将问题下发到num-1阶和num-2阶即可，num阶的种数=num-1阶的种数+num-2阶的种数
时间：O(2^n)
方法二：动态规划
从第一阶和第二阶开始将到达每一阶的答案都存到数组中，直到计算到num阶为止，arr[num] = arr[num-1] + arr[num-2]
时间：O(n)
方法三：递推动态矩阵法(最优解)
首先将计算num阶和前面的状态关联起来，找到关联关系，也就是：f(num) = f(num-1) + f(num-2)
因此可以建立一个矩阵表达式：
[f(num), f(num-1)] = [f(num-1), f(num-2)] [ 1 1 1 0 ] \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} [11​10​]
通过该表达式可以推出
[f(num), f(num-1)] = [f(2), f(1)] [ 1 1 1 0 ] \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} [11​10​]^（num-2）
因此需要准备一个矩阵相乘和矩阵n次方的公共方法，剩下的工作就比较简单了~详情看代码
时间：O（logn）
进阶问题
方法一：暴力递归
每一年的母牛数等于去年的总牛数加上三年前的总牛数1 , 递归方法很简单
方法二：动态规划
通过递归可以知道动态规划如何解决，非常简单，一维动态规划即可
方法三：递推动态矩阵法(最优解)
首先将计算num阶和前面的状态关联起来，找到关联关系，也就是：f(num) = f(num-1) + f(num-3)
因此可以建立一个矩阵表达式：
[f(num), f(num-1), f(num-2)] = [f(num-1), f(num-2), f(num-3)] [ 1 1 0 0 0 1 1 0 0 ] \begin{bmatrix} 1 & 1 &0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1& 0 & 0 \end{bmatrix} ⎣ ⎡​101​100​010​⎦ ⎤​
通过该表达式可以推出
[f(num), f(num-1)] = [f(2), f(1)] [ 1 1 0 0 0 1 1 0 0 ] \begin{bmatrix} 1 & 1 &0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1& 0 & 0 \end{bmatrix} ⎣ ⎡​101​100​010​⎦ ⎤​^（num-3）

代码编写

java语言版本

矩阵相乘和矩阵n次方代码：

    /*** arr的n次方* @param arr* @param n* @return*/public static int[][] powMartrix(int[][] arr, int n) {if (arr == null || arr.length == 0 || arr[0].length == 0 ) {return arr;}int[][] res = new int[arr.length][arr[0].length];// 单位举证for (int i = 0; i < res.length; i++) {res[i][i] = 1;}for (int i = 0; i < n; i++) {res = multiMartrix(res, arr);}return res;}/*** arr的n次方* 优化版本* @param arr* @param n* @return*/public static int[][] powMartrixPro(int[][] arr, int n) {if (arr == null || arr.length == 0 || arr[0].length == 0 ) {return arr;}int[][] res = new int[arr.length][arr[0].length];// 单位举证for (int i = 0; i < res.length; i++) {res[i][i] = 1;}int[][] tem = arr;for (; n > 0; n >>= 1) {if ((n & 1) != 0){// 这波res需要乘res = multiMartrix(res, tem);}// 准备下一波的乘数，虽然可能不乘tem = multiMartrix(tem, tem);}return res;}/*** 矩阵相乘* @param arr1* @param arr2* @return*/public static int[][] multiMartrix(int[][] arr1, int[][] arr2) {if (arr1 == null || arr1.length == 0 || arr1[0].length == 0|| arr2 == null || arr2.length == 0 || arr2[0].length == 0) {return null;}// 相乘结果：行 = arr1的行 列 = arr2的列数int[][] res = new int[arr1.length][arr2[0].length];// 一行一行来for (int i = 0; i < arr1.length; i++) {for (int j = 0; j < arr2[0].length; j++){int sum = 0;for (int k = 0; k < arr1[0].length; k++) {// 这里的k是arr1的列，arr2 的行sum += arr1[i][k]*arr2[k][j];}res[i][j] = sum;}}return res;}

原问题:

    /*** 阶梯问题：递归解法* O(2^n)* @param num*/public static int process1(int num){if (num == 1) {return 1;}else if (num == 2){return 2;}else if (num == 0){return 0;}else {return process1(num-1) + process1(num - 2);}}/*** 阶梯问题：dp解法* 比递归快非常多* O(n)* @param num*/public static int dp1(int num){int[] dp = new int[num+1];dp[0] = 0;dp[1] = 1;dp[2] = 2;for (int i = 3; i <= num; i++) {dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2];}return dp[num];}/*** logn解法* 状态矩阵相乘* @param num* @return*/public static int superFunc1(int num) {// 构造一个初始矩阵[func(2), func(1)]int[][] arr = {{2, 1}};arr =  multiMartrix(arr, powMartrixPro(new int[][]{{1,1},{1,0}},num - 2));return arr[0][0];}

进阶问题,（递归和动态规划过于简单，略）：

    /*** 母牛问题* 求第years年时有多少牛* @param years* @return*/public static int cowPro(int years) {if (years <= 3){return years;}int[][] arr = {{3,2,1}};arr = multiMartrix(arr, powMartrixPro(new int[][]{{1,1,0},{0,0,1},{1,0,0}}, years-3));return arr[0][0];}

c语言版本

正在学习中

c++语言版本

正在学习中

思考感悟

这道题是一道典型的递推系列问题，目前感觉基本上很多递归算法都是递推问题，比如典型的二叉树遍历问题，根节点的各种属性依赖于左边和右边子树的属性。
所以以后遇到这种求某个状态时的个数、种数类型问题，可以考虑是否和前面的状态存在依赖关系，如果存在依赖关系就可以使用递推公式解决此类问题。同样，后面的递归和动态规划类型问题都可以使用类似的递推思想解决，这又是一个万能的思路一定要掌握！

对了还有个重要的思想：
矩阵的n次方优化，正常思考任何数或者什么东西的n次方都是累乘法，但是这里有一个非常巨大的优化就是将次方的指数2进制化，比如10的75次方，75可以分解为1001011，也就是64+8+2+1，同时10^75等于10^64 *10 ^8 * 10^2 *10 ^1, 这里可以发现，8是2的三次方，所以10的8次方不需要1次方乘8次，只需要2次方乘3次，同理，64次方可以是8次方的平方，这里的性能提升是非常巨大的，也是logn时间复杂度的精髓！
奇思妙想一下，分解成3进制、10进制为什么不行，非要2进制？
75本身就是10进制，那么75可以分解为70+5， 同时 也就是 10的70次方 * 10的5次方
到这里就可以发现指数之间是没有次方的直接关系的，但是2进制的每一位之间都是存在次方关系的（满2进1的特性，每一位只有两种状态），到这里是可以感受到计算机使用2进制的伟大之处了吧！

写在最后

方案和代码仅提供学习和思考使用，切勿随意滥用！如有错误和不合理的地方，务必批评指正~
如果需要git源码可邮件给2260755767@qq
再次感谢左大神对我算法的指点迷津！

  1. 这里为什么说是三年前的总牛数呢？因为三年前的总牛数就是三年后的总生产力，三年前的所有牛，三年后都是成熟的，这三年期间新增的牛都不是成熟的，所以三年后，新增的数量=三年前的总牛数！ ↩︎

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