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2023年12月17日发(作者：web设计框架技术)

第三节 因式分解

一、课标导航

=、核心纲要

1.因式分解

(1)定义：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也可称为将这个

多项式分解因式．

(2)因式分解与整式乘法互为逆变形

式中m可以代表单项式，也可以代表多项式，它是多项式中各项都含有的因式，称为公因式．

(3)注意事项

①若不特别说明，分解因式的结果必须是每个因式在有理数范围内不能再分解为止；

②结果一定是乘积的形式；

③每一个因式都是整式；

④相同的因式的积要写成幂的形式．

(4)在分解因式时，结果的形式要求

①没有大括号和中括号；

②每个因式中不能含有同类项，如果有需要合并的同类项，合并后要注意能否再分解；

③单项式因式写在多项式因式的前面；

④每个因式第一项系数一般不为负数；

⑤形式相同的因式写成幂的形式．

2．因式分解的常用方法及步骤

(1)提取公因式法

如果多项式的各项有公因式，一般要将公因式提到括号外面．

确定公因式的方法

系数——取多项式各项系数的最大公约数；

字母（或多项式因式）——取各项都含有的字母（或多项式因式）的最低次幂．

(2)公式法

①平方差公式：ab(ab)(ab)

(a)公式左边形式上是一个二项式，且两项的符号相反；

(b)每一项都可以化成某个数或式的平方形式；

(c)右边是这两个数或式的和与它们差的积，相当于两个一次二项式的积．

②完全平方公式：a2abb(ab)

22222a22abb2(ab)2

(a)左边相当于一个二次三项式；

(b)左边首末两项符号相同且均能写成某个数或式的完全平方式；

(c)左边中间一项是这两个数或式的积的2倍，符号可正可负；

(d)右边是这两个数或式的和（或差）的完全平方，其和或差由左边中间一项的符号决定．

③立方和差公式：ab(ab)(aabb)

3322a3b3(ab)(a2abb2)

欧拉公式：abc3abc(abc)(abcabbcca)

3332221(abc)[(ab)2(bc)2(ca)2]

2333特别地：①当abc0时，有abc3abc;

②当c0时，欧拉公式变为两数立方和公式．

(3)十字相乘法一个二次三项式axbxc,若可以分解，则一定可以写成(a1xc1)(a2xc2)的形2式，它的系数可以写成十字相乘法就是用试验的方法找出十字线两端的数，其实就是分解系数a、2b、c，使得：a1a2a,c1c2c,a1c2a2c1b,x(ab)xab(xa)(xb).

若b4ac不是一个平方数，那么二次三项式axbxc就不能在有理数范围内分解．

(4)分组分解法

将一个多项式分成二或三组，各组分别分解后，彼此又有公因式或者可以用公式，这就是分组分解法．

(5)分解因式的一般步骤

一看有无公因式，二看能否套公式，十字相乘试一试，分组分解要合适．

3．因式分解的高端方法

(1)拆项、添项法

将多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项），使原式适合于提公因式法、运用公式法或分组分解法进行分解．

注：用拆项、添项的方法分解因式时，要拆哪些项，添什么项并无一定之规，主要是要依靠对题目特点的观察，灵活变换，因此拆项、添项法是因式分解诸方法中技巧性最强的一种．

(2)配方法

对于某些不能利用公式法的多项式，可以将其配成一个完全平方式，然后再利用平方差公式，就能将其因式分解，这种方法叫配方法．属于拆项、补项法的一种特殊情况，也要注意必须在与原多项式相等的原则下进行变形．

(3)换元法

对于某些比较复杂的代数式看做一个整体，用一个字母来代替，从而简化原代数式，最后将原代数式代入.

(4)主元法

在分解一个含有多个字母的多项式时，选择一个字母作为主要元素，其他的字母当做已知数，将多项

式按照选定的字母按照降幂排列，然后进行恰当的分组进行分解．

(5)双十字相乘法

双十字相乘法用于对AxBxyCyDxEyF型多项式的分解因式．

条件：①Aa1a2,Cc1c2,Ff1f2

2222②a1c2a2c1B,c1f2c2f1*E,a1f2a2f1D

即：

a1c2a2c1B,c1f2c2f1E,a1f2a2f1D

则AxBxyCyDxEyF(a1xc1yf1)(a2xc2yf2)

本节重点讲解：一个定义，九个方法，一个步骤

22三、全能突破

基 础 演 练

1．下列各式从左到右的变形中，是因式分解的为( )．

A.x(ab)axbx

B.x21y2(x1)(x1)y2

C.x21(x1)(x1)

bxcx(ab)c

2．(1)下列各式能用完全平方式进行分解因式的是()．

A.x21

B.x22x1

C.x2x1

D.x24x4

(2)下列多项式中能用平方差公式分解因式的是( )．

A.a2(b)2

B.5m220mn

C.x2y2

D.x29

3．若9xkxy4y是一个完全平方式，则k的值为( )．

22A.6

B.6

C.12

D.12

4．用适当的方法分解下列因式：

(1)8x4y3z26x5y2

(2)4xy6xy12xy

322322(3)15a（ab)2n110ab(ba)2n(n为正整数）

(4)m34m

(5)9x2y224x2y16x2

5．用十字相乘法分解下列因式：

(1)x27x6

(2)y22y15

(3)3x211x10

(4)a2ab6b2

(5)12x211xy15y2

(6)(xy)23(xy)10

能 力 提 升

6．把a2ab2b分解因式的结果是( )．

22A.(ab)(a2)(b2)

B.(ab)(ab2)

c.(ab)(ab)2

D.(a22b)(b22a)

7．已知x为有理数，则多项式12xx1的值( )．

4A．-定是负数 B．不可能为正数 C．-定为正数 D．可能为零、正、负数

8．在实数范围内分解因式a6

9．请你写一个能先提公因式、再运用公式来分解因式的三项式，并写出分解因式的结果

10.用简便方法计算：

2(1)7.2922.712

(2)23.7441341.3

5555

11.请分解下列因式：

(1)a2abacbc

(2)x3x2yxy2y3

(3)a2b2C22bc2ab2ca

(4)x54xx32xx1

(5)mx2(32m)xm3

(6)(2k)x22xk

(7)m2(n21)4mnn21

(8)x42x39x22x8

12.已知a、b、c满足ab8,abc160,求2abc的值．

13.设x为正整数，试判断105xx(x2)是质数还是合数，请说明理由．

2

14．化简：1xx(1x)x(1x)x(1x)

22012,且当x2时，求原式的值．

15.已知多项式2xxm有一个因式是2x1,求m的值．

16.已知：ab1,cd1,且acbd0,求abcd的值．

17.观察下列各式：

222232(x1)(x1)x21

(x1)(x2x1)x31

(x1)(x3x2x1)x41

……

(1) 分解因式：x1

(2)根据规律可得(x1)(x(3)计算：(31)(3

18．(1)若a，b，c是三角形的三条边，求证：abc2bc0.

(2)在△ABC中，三边分别为a、b、c，且满足abc2,abc22250n15x1) （其中n为正整数）．

3493483231)

2222223

,试探究△ABC的形状，2(3)在△ABC中，三边分别为a、b、c，且满足a(bc)b(ca)c(ab)0,试探究△ABC的

形状．

19．(1)分解因式：(x1)(x2)(x3)(x6)x.

(2)求证：多项式(x4)(x10x21)100的值一定是非负数．

20．分解因式：x3x4.

32222中 考 链 接

21．（2012．潍坊）分解因式：x4x12x

22．（2011．天津）若实数x、y、z满足(xz)4(xy)(yz)0,则下列式子一定成立的是( )．

232A.xyz0

B.xy2z0

Cyz2x0

D.zx2y0

23．(2012．宜宾)已知P3xy8x1,Qx2xy2,当x0时，3p2Q7恒成立，则y的值

为 ．

巅 峰 突 破

24.已知等腰三角形ABC的三边长a、b、c均为整数，且满足abcbca24,则这样的三角形共

有 个．

25．(1)分解因式：(xxyy)4xy(xy).

(2)分解因式：4(3xx1)(x2x3)(4xx4).

26.分解因式：x3xy10yx9y2.

22222222222


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