高中数学必修一 三角函数图像性质总结(精华版)

一．正弦、余弦、正切函数图象和性质

函数

有界性

定义域

正弦函数ysinx,xR

有界

余弦函数ycosx,xR

正切函数ytanx,xk2

有界 无界

(,)

(,)

x|xk,kZ2

[1,1]

[1,1]

(,)

当x值域

当22k(kZ)时，ymax1 当x2k(kZ)时，ymax1

，

x22k(kZ)时，当x2k(kZ)时ymin1

ymin1

周期性

奇偶性

是周期函数，最小正周期T2

奇函数，图象关于原点对称

是周期函数，最小正周期T2

T

偶函数，图象关于y轴对称

奇函数，图象关于原点对称

在[单调性

22上是单调增函数

在2k,2k],(kZ)

在[2k,22k],(kZ)上是单调增函数

在[2k,2k],(kZ)上是单在(2k,2k),(kZ)

32k],(kZ)

22调减函数

上是单调减函数

[2k,xk上是单调增函数

对称轴

对称

中心

2

,(kZ)

xk,(kZ)

(k,0) (kZ)

(k2,0) (kZ)

(k,0) (kZ)

2

正弦函数、余弦函数、正切函数的图像

y=sinx-4-7-32-52-2-3-2-2y1-1o3222523724x

y=cosx-4-72-5-32--2-32-2y1-1o2322523724x

yyy=tanxy=cotx-32--2o232x--2o2322x

三角函数的性质

1、定义域与值域

（一） 2、奇偶性

（1）基本函数的奇偶性 奇函数：y＝sinx，y＝tanx； 偶函数：y＝cosx.

（2） 型三角函数的奇偶性

（x∈R）

（ⅰ）g（x）＝ g（x）为偶函数

由此得 同理， （ⅱ）

.

3、周期性

（1）基本公式

为偶函数 ；

为奇函数 .

； 为奇函数

（ⅰ）基本三角函数的周期 y＝sinx，y＝cosx的周期为的周期为 .

（ⅱ） 型三角函数的周期

； y＝tanx，y＝cotx 的周期为 ；

（2）认知

（ⅰ） 型函数的周期

的周期为 .

的周期为 ；

（ⅱ）

的周期

的周期为 .

的周期为；

的周期为 .

的解析式施加绝对值后，该函 均同它们不加绝对值时的周期相同，即对y＝数的周期不变.注意这一点与（ⅰ）的区别.

（ⅱ）若函数为 型两位函数之和，则探求周期适于“最小公倍数法”.

（ⅲ）探求其它“杂”三角函数的周期，基本策略是试验――猜想――证明.

（3）特殊情形研究

（ⅰ）y＝tanx－cotx的最小正周期为 ；

（ⅱ） 的最小正周期为 ；

（ⅲ）y＝sin4x＋cos4x的最小正周期为 .

由此领悟“最小公倍数法”的适用类型，以防施错对象.

4、单调性

（1）基本三角函数的单调区间（族）

依从三角函数图象识证“三部曲”：

①选周期：在原点附近选取那个包含全部锐角，单调区间完整，并且最好关于原点对称的一个周期；

②写特解：在所选周期内写出函数的增区间（或减区间）；

③获通解：在②中所得特解区间两端加上有关函数的最小正周期的整数倍，即得这一函数的增区间族（或减区间族）

循着上述三部曲，便可得出课本中规范的三角函数的单调区间族.

揭示：上述“三部曲”也适合于寻求简单三角不等式的解集或探求三角函数的定义域.

（2）y＝ 型三角函数的单调区间

此类三角函数单调区间的寻求“三部曲”为

①换元、分解：令u＝ ，将所给函数分解为内、外两层：y＝f（u），u＝ ；

②套用公式：根据对复合函数单调性的认知，确定出f（u）的单调性，而后利用（1）中公式写出关于u的不等式；

③还原、结论：将u＝形成结论.

正弦、余弦、正切、余切函数的图象的性质：

yAsinx

ycosx

ycotxytanxysinx（A、＞0）

1

R R R

定义域

x|xR且xk,kZ

x|xR且xk,kZ2 代入②中u的不等式，解出x的取值范围，并用集合或区间值域

周期性

奇偶性

单调性

[1,1]

[1,1]

R



R



A,A

当0,非奇非偶

当0,奇函数

2k2k2(A),12(A)

2

奇函数

2

2偶函数

[2k1,2k]奇函数

k,k22奇函数

[22k,；k,k1上为减函数（kZ）

22k]上为增函数；[2k,232k]2上为增函数[2k,

2k1]上为减函数

（kZ）

上为增函数（kZ）

上为增函数；

2k上为减函数（kZ）

2(A),32k2(A)上为减函数（kZ）

注意：①ysinx与ysinx的单调性正好相反；ycosx与ycosx的单调性也同样相反.一般▲地，若yf(x)在[a,b]上递增（减），则yf(x)在[a,b]上递减（增）.

②ysinx与ycosxy的周期是.

2Ox③ysin(x)或ycos(x)（0）的周期Tytanx2.

的周期为2（TT2，如图，翻折无效）.

2④ysin(x)的对称轴方程是xk2（kZ），对称中心（k,0）；ycos(x)的对称轴方k,0）.

2程是xk（kZ），对称中心（k1,0）；ytan(x)的对称中心（

ycos2x原点对称ycos(2x)cos2x

⑤当tan·tan1,k(kZ)；tan·tan1,k(kZ).

22⑥ycosx与ysinx2k是同一函数,而y(x)是偶函数，则

21y(x)sin(xk)cos(x).

2⑦函数ytanx在R上为增函数.（×） [只能在某个单调区间单调递增. 若在整个定义域，ytanx为增函数，同样也是错误的].

⑧定义域关于原点对称是f(x)具有奇偶性的必要不充分条件.（奇偶性的两个条件：一是定义域关于原点对称（奇偶都要），二是满足奇偶性条件，偶函数：f(x)

f(x)，奇函数：f(x)f(x)）3奇偶性的单调性：奇同偶反. 例如：ytanx是奇函数，ytan(x1)是非奇非偶.（定义域不关于原点对称）

奇函数特有性质：若0x的定义域，则f(x)一定有f(0)0.（0x的定义域，则无此性质）

▲⑨ysinx不是周期函数；ysinx为周期函数（T）；

ycosxyx是周期函数（如图）；ycosx为周期函数（T）；

y=cos|x|图象ycos2x12的周期为（如图），并非所有周期函数都有最小正周期，例如：

▲yyf(x)5f(xk),kR.

1/2b⑩yacosbsinabsin()cos 有a2b2y.

a22xy=|cos2x+1/2|图象

二、形如yAsin(x)的函数：

11、几个物理量：A―振幅；f―频率（周期的倒数）；x―相位；―初相；

T2、函数yAsin(x)表达式的确定：A由最值确定；由周期确定；由图象上的特殊点确||定，如f(x)Asin(x)(A0,0，2)的图象如图所示，则f(x)23Y2915＝_____（答：f(x)2sin(x)）；

23X

-223题图（其中A0，0）3．函数yAsin(x)B

最大值是AB，最小值是BA，周期是T频率是f2，最小正周期T2

||，相位是x，初相是；其图象的对称轴是直线xk(kZ)，凡22

是该图象与直线yB的交点都是该图象的对称中心。

4、研究函数yAsin(x)性质的方法：类比于研究ysinx的性质，只需将yAsin(x)中的x看成ysinx中的x，但在求yAsin(x)的单调区间时，要特别注意A和的符号，通过诱导公式先将化正。如

5（1）函数ysin(2x)的递减区间是______（答：[k,k](kZ)）；

31212x33（2）ylog1cos()的递减区间是_______（答：[6k,6k；

](kZ)）344425、函数yAsin(x)图象的画法：（1）利用“五点法”作函数yAsin(x),xR(其中A0,0)的简图，是将x看着一个整体，先令x0,2,,3,2列表求出对应的x的值2与y的值，用平滑曲线连结各点，即可得到其在一个周期内的图象。②图象变换法：这是作函数简图常用方法===由ysinx图象推yAsin(x)k的图象

6．函数yAsin(x)k的图象与ysinx图象间的关系：图象变换

(1)振幅变换

ysinx,xR(2)周期变换

ysinx,xR(3)相位变换

ysinx,xR1)或缩短(0A1)到原来的A倍所有点的纵坐标伸长(AyAsinx,xR

1所有点的横坐标缩短(1)或伸长(01)到原来的倍ysinx,xR

ysin(x),xR

(0)或向右(0)平移||个单位长度所有点向左 (4)上下平移(纵向平移变换): 是由k的变化引起的．k＞0, 上移；k＜0,下移

具体变换方法：三角函数图象的平移和伸缩

函数yAsin(x)k的图象与函数ysinx的图象之间可以通过变化A，，，k，影响图象的形状，，k影响图象与x轴交点的位置．由来相互转化．AA引起的变换称振幅变换，由引起的变换称周期变换，它们都是伸缩变换；由引起的变换称相位变换，由k引起的变换称上下平移变换，它们都是平移变换．既可以将三角函数的图象先平移后伸缩也可以将其先伸缩后平移．

（一）先平移后伸缩

得ysin(x)

ysinx的图象横坐标伸长(0<<1)或缩短(>1)得ysin(x)

1ysin(x)的图象到原来的(纵坐标不变)向左(>0)或向右(0)平移个单位长度得ysin(x)的图象为原来的A倍(横坐标不变)纵坐标伸长(A1)或缩短(0

向上(k0)或向下(k0)得yAsin(x)k图象

yAsin(x)的图象平移k个单位长度（二）先伸缩后平移

得yAsinx

ysinx的图象横坐标伸长(01)或缩短(1)得yAsin(x)

yAsinx的图象1到原来的(纵坐标不变)纵坐标伸长(A1)或缩短(0A1)为原来的A倍(横坐标不变)yAsin(x)的图象向左(0)或向右(0)平移个单位得yAsinx(x)

得yAsinx(x)的图象向上(k0)或向下(k0)平移k个单位长度yAsin(x)k

图象无论哪种变形，请切记每一个变换总是对字母x而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角变化”多少。特别注意，若由ysinx得到ysinx的图象，则向左或向右平移应平移|ysinx的图象？（答：y2sin(2x)1向上平移1个单位得y2sin(2x)的图象，再向44|个单位，例如：函数y2sin(2x)1的图象经过怎样的变换才能得到4个单位得y2sin2x的图象，横坐标扩大到原来的2倍得y2sinx的图象，最后将纵81坐标缩小到原来的即得ysinx的图象）；

2三、正切函数ytanx的图象和性质：

（1）定义域：{x|xk,kZ}。（2）值域是R，在上面定义域上无最大值也无最小值；

2（3）周期性：是周期函数且周期是，它与直线ya的两个相邻交点之间的距离是一个周期。绝对值或平方对三角函数周期性的影响：一般说来，某一周期函数解析式加绝对值或平方，其周期性是：弦减半、切不变．既为周期函数又是偶函数的函数自变量加绝对值，其周期性不变，其它不定。 如ysin2x,ysinx的周期都是, 但ysinxcosx的周期为，而21y|2sin(3x)|,y|2sin(3x)2|，y|tanx|的周期不变；

626k,0kZ，特别提醒：正(余)切型函数的（4）奇偶性与对称性：是奇函数，对称中心是左平移2对称中心有两类：一类是图象与x轴的交点，另一类是渐近线与x轴的交点，但无对称轴，这是与正弦、余弦函数的不同之处。（5）单调性：正切函数在开区间k,kkZ内都22是增函数。但要注意在整个定义域上不具有单调性。三角函数图象几何性质

三角函数图象几何性质y=ωx+φ

yAtan(Atan(x))ysin(Asin(yy=Aωx+xφ))yOxOxx3x4邻中心轴相距x3x4x=x1x=x2x=Tx14x=x2邻中心|x3-x4|= T/2无穷对称中心:由y=0或y无意义确定邻中心|x3-x4|=T/2无穷对称中心:由y=0确定邻轴|x1-x2|=T/2无穷对称轴:由y=A或-A确定邻渐近线|x1-x2|=T无对称轴任意一条y轴的垂线与正切函数图象都相交,且相邻两交点的距离为一个周期！