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2023年12月25日发(作者：check约束通过限制可放入)

求函数值域的几种常见方法

1．直接法：利用常见函数的值域来求

一次函数y=ax+b(a0)的定义域为R，值域为R；

反比例函数yk(k0)的定义域为{x|x0}，值域为{y|y0}；

x二次函数f(x)ax2bxc(a0)的定义域为R，

22当a>0时，值域为{y|y(4acb)}；当a<0时，值域为{y|y(4acb)}.

4a4a例1．求下列函数的值域

① y=3x+2(-1x1) ②f(x)24x ③y解：①∵-1x1，∴-33x3，

∴-13x+25，即-1y5，∴值域是[-1，5]

②∵4x[0,) ∴f(x)[2,)

x1 ④yx

x1x即函数f(x)24x的值域是 { y| y2}

③y ∵xx111

1x1x1x110 ∴y1

x1 即函数的值域是 { y| yR且y1}（此法亦称分离常数法）

④当x>0，∴yx121)22， =(xxx当x<0时，y(x121)22

)=－(xxx∴值域是(,2][2，+).（此法也称为配方法）

函数yx12fx = x+x-1oy=x1-21的图像为：

x2．二次函数比区间上的值域(最值)：

例2 求下列函数的最大值、最小值与值域：

①yx24x1；

②yx24x1,x[3,4]；③yx24x1,x[0,1]； ④yx24x1,x[0,5]；

解：∵yx24x1(x2)23，∴顶点为(2,-3)，顶点横坐标为2.

①∵抛物线的开口向上，函数的定义域R，

∴x=2时，ymin=-3 ,无最大值；函数的值域是{y|y-3 }.

②∵顶点横坐标2[3,4]，

当x=3时，y= -2；x=4时，y=1；

∴在[3,4]上，ymin=-2，ymax=1；值域为[-2，1].

③∵顶点横坐标2[0,1]，当x=0时，y=1；x=1时，y=-2,

∴在[0,1]上，ymin=-2，ymax=1；值域为[-2，1].

④∵顶点横坐标2 [0,5]，当x=0时，y=1；x=2时，y=-3, x=5时，y=6,

∴在[0,1]上，ymin=-3，ymax=6；值域为[-3，6].

注：对于二次函数f(x)ax2bxc(a0),

⑴若定义域为R时，

2b(4acb)； ①当a>0时，则当x时，其最小值ymin2a4ay321-2-1O-1-2-3123456x②当a<0时，则当x2b时，其最大值ymax(4acb).

2a4a⑵若定义域为x [a,b],则应首先判定其顶点横坐标x0是否属于区间[a,b].

①若x0[a,b],则f(x0)是函数的最小值（a>0）时或最大值（a<0）时，再比较f(a),f(b)的大小决定函数的最大（小）值.

②若x0[a,b],则[a,b]是在f(x)的单调区间内，只需比较f(a),f(b)的大小即可决定函数的最大（小）值.

注：①若给定区间不是闭区间，则可能得不到最大（小）值；

②当顶点横坐标是字母时，则应根据其对应区间特别是区间两端点的位置关系进行讨论.

3．判别式法（△法）：

判别式法一般用于分式函数，其分子或分母只能为二次式，解题中要注意二次项系数是否为0的讨论

x25x6例3．求函数y2的值域

xx6

方法一：去分母得 (y1)x+(y+5)x6y6=0 ①

当 y1时 ∵xR ∴△=(y+5)2+4(y1)×6(y+1)0

由此得 (5y+1)20

21515检验

y 时

x2（代入①求根）

562()5∵2  定义域 { x| x2且 x3} ∴y

再检验 y=1 代入①求得 x=2 ∴y1

151x25x6综上所述，函数y2的值域为 { y| y1且 y}

5xx6方法二：把已知函数化为函数y 由此可得 y1

(x2)(x3)x36 (x2)

1(x2)(x3)x3x3∵ x=2时

y 即

y

1515x25x61 ∴函数y2的值域为 { y| y1且 y}

xx65说明：此法是利用方程思想来处理函数问题，一般称判别式法. 判别式法一般用于分式函数，其分子或分母只能为二次式.解题中要注意二次项系数是否为0的讨论.

4．换元法

例4．求函数y2x41x的值域

2解：设

t1x 则 t0 x=1t

222代入得

yf (t)2(1t)4t2t4t22(t1)4

∵t0 ∴y4

5．分段函数

例5．求函数y=|x+1|+|x-2|的值域.

y3-1O2x

2x1(x1)解法1：将函数化为分段函数形式：y3(1x2)，画出它的图象（下图），由图象可知，函2x1(x2)数的值域是{y|y3}.

解法2：∵函数y=|x+1|+|x-2|表示数轴上的动点x到两定点-1，2的距离之和，∴易见y的最小值是3，∴函数的值域是[3，+]. 如图

x-1O12

-1Ox12

-1O12x

两法均采用“数形结合”，利用几何性质求解，称为几何法或图象法.

说明：以上是求函数值域常用的一些方法（观察法、配方法、判别式法、图象法、换元法等），随着知识的不断学习和经验的不断积累，还有如不等式法、三角代换法等.有的题可以用多种方法求解，有的题用某种方法求解比较简捷，同学们要通过不断实践，熟悉和掌握各种解法，并在解题中尽量采用简捷解法.

三、练习：

1

yx219(x0)；

x21129(x)11，∴y11.

2xx192911

2x解：∵x0，yx2另外，此题利用基本不等式解更简捷：yx22

y5

22x4x32∵2x-4x+3>0恒成立(为什么？)，

∴函数的定义域为R，

∴原函数可化为2yx-4yx+3y-5=0，由判别式0，

即16y-4×2y(3y-5)=-8y+40y0(y0),

解得0y5，又∵y0, ∴0

注意：利用判别式法要考察两端点的值是否可以取到.

3 求函数的值域

①yx2x； ②y24xx2

解：①令u2222x0,则x2u2,

2原式可化为y2uu(u)1229,

4

∵u0，∴y99，∴函数的值域是（-，].

442②解：令 t=4xx0 得 0x4

在此区间内 (4xx)max=4 ，(4xx)min =0

∴函数y24xx2的值域是{ y| 0y2}

小结:求函数值域的基本方法（直接法、换元法、判别式法）；二次函数值域（最值）或二次函数在某一给定区间上的值域（最值）的求法.

22x2x1作业：求函数y=2值域

xx1解：∵xx1(x)2122330，

44∴函数的定义域R，原式可化为y(x2x1)x2x1,

整理得(y1)x2(y1)xy10，

若y=1,即2x=0,则x=0；

若y1,∵xR，即有0，

∴(y1)2-4(y-1)20,解得综上：函数是值域是{y|

1y3且 y1.

31y3}.

3

Andet land′


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