算子非精确条件下确定正则化参数的种方法

第３８卷第１期　江西师范大学学报（自然科学版）　Ｖ０１．３８　Ｎｏ．１　２０１４年１月　Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｊｉａｎｇｘｉ　Ｎｏｒｍａｌ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（Ｎａｔｕｒａｌ　Ｓｃｉｅｎｃｅ）　Ｊａｎ．２０１４　文章编号：１０００－５８６２（２０１４）０１－００６５－０５　算子非精确条件下确定正则化参数的一种方法　胡彬，夏赘，喻建华　（东华理工大学理学院，江西南昌３３００１３）　摘要：基于非标准的广义偏差原则，在算子及观测数据都有扰动的条件下，对于求解不适定问题的Ｔｉｋ．　ｈｏｎｏｖ正则化方法，给出了一种选取正则化参数的简单迭代算法，并阐明了该迭代算法是一种线性模型函　数算法．进一步地，利用线性模型函数方法，在一定条件下证明了所提出的选取正则化参数的简单迭代算　法是收敛的，并通过数值算例验证了该方法的有效性．　关键词：不适定问题；正则化方法；正则化参数；模型函数；广义偏差原则　中图分类号：０　２４１．８；Ｏ　２４１．６　文献标志码：Ａ　０　引言　本文针对在算子和观测数据都非精确的条件下，基　于广义偏差原理研究正则化参数选取的模型函数方　数学物理反问题主要是指由事物的观测数据来　法与求解不适定算子方程的正则化解，并讨论了正　预测它的不可测数据或不可知信息．但在实际测量　则化解的一些性质．　时，测量数据不可避免的带有某些微小扰动，这些微　小扰动可能造成解的急剧变化．因此这类问题往往　１　Ｔｉｋｈｏｎｏｖ正则化与广义偏差原理　是不适定或者说是不稳定的．常用正则化方法来克　服这类问题求解中的不稳定性，求得稳定数值解，其　求解不适定的第１类算子方程　中最具有代表的是Ｔｉｋｈｏｎｏｖ正则化方法Ｈ　４。．在实　Ｋｘ＝Ｙ，　（１）　际求解过程中，正则化方法是否有效关键在于正则　是Ｈｉｌｂｅｒｔ空间　到Ｉ，上的有界线性算子．设　为　化参数的选取．选取正则化参数的策略有先验和后　的近似算子，也是Ｈｉｌｂｅｒｔ空间　到ｙ上的有界线　验两种，这些在实际计算和理论研究上都不是令人　性算子，且满足ｌＩ　—　ｌｌ≤ｈ．设　为方程右端项　非常满意．因此，找到更有效的选取正则化参数的方　Ｙ的观测值，这里记右端项的真值仍然为Ｙ，且满足　法，不仅可以节约计算代价，还可以进一步提升正则　ｌｌ　ｙ８一Ｙ　ｌｌ≤６．记７１＝（ｈ，６），则不适定算子方程　化方法的适用性。　（１）的实际求解问题是：在　的某个闭凸集Ｄ上，由　Ｍｏｒｏｚｏｖ偏差原理的选取正则化参数是重要策　｛　，　，　｝近似求出算子方程（１）的解，即在闭凸　略之一，但更多的是基于这一原理在算子精确的前　集Ｄ上求解近似方程　提条件下展开研究的．如文献［５．１０］研究了正则化　＝Ｙ　，ｙ８∈Ｙ，　（２）　参数选取的模型函数方法，特别是文献［８．１０］提出　从而获得算子方程（１）的近似解，其中闭凸集Ｄ是　了线性模型、指数模型、双曲模型与对数模型的概念　由问题的先验信息决定的．方程（２）的求解归结为　及其新的模型函数，并从单正则化参数的选取推广　极小化泛函ｌ　ｌＫｈｘ～Ｙ　，当算子是紧线性算子和　到多正则化参数的选取．　值域是无穷维时，方程（２）本质上是不适定的，从而　在许多实际应用领域，如大气气溶胶遥感反演、　极小化泛函Ｉｌ　一　Ｉ　ｌ也是不适定的．克服不适　电磁场反演等领域，算子方程中的算子往往是　精　定的典型方法是Ｔｉｋｈｏｎｏｖ正则化，即给极小化泛函　确的，即算子带有扰动误差．众所周知，算子非精确　加上一个惩罚项，再极小化新的目标泛函，即极小化　条件下正则化参数选取的研究未见广泛展开　１０－１１］．　正则化泛函　收稿日期：２０１３—１０－２５　基金项目：国家自然科学基金（１１１６１００２），江西省青年科学基金（２Ｏ１３２ＢＡＢ２ｌ１０ｌ４）和江西省教育厅科技课题（ＧＪＪ１３４６０）　资助项目．　作者简介：胡彬（１９８２－），女，江西南丰人，讲师，主要从事数学物理方程反问题理论及计算的研究：　

江西师范大学学报（自然科学版）　Ｊ　（　）＝ｌｌ＾　—Ｙ　Ｉ　＋Ｏｌ／ｌ　ｌｌ　，ｌ　（３）　２０１４正　（ｉｉ）］ｉａｒ　ｄ（　）＝ｌｌ　ｌｌ　一６　一（　（　，Ｙ　））　；　（ｉｉｉ）ｌｉａｄ（ｒ　）≤一　；　其中Ｏ／＞０为正则化参数．记上述正则化泛函的极　小元为　（　，　）．由文献［１１］可知，当　（　，田）为Ｄ　的内点或者Ｄ＝Ｘ时，则求解Ｇ（Ｏ／）等价于求解下述　欧拉方程　（ｉｖ）设　萑研，若『ｌ　ｌＩ　＞　＋（　（　，　））　，　则存在唯一的　＞０，使得ｄ（ａ　）＝０，对应的正则　化解也是唯一确定的，且此时ｄ（　）是严格单调递　Ｋ＾　（　，ｒ／）＋似（　，ｒ／）＝Ｋｈ　．　（４）　方程（４）的求解关键取决于正则化参数ＯＬ有效　选取．选取的原则：选取　（７１），当　０时，　（ＯＬ，　叼）一，其中　（　，叼）为正则化解（方程（４）的解），　为方程（１）的精确解．　定义１　（　，　）＝ｉ　ｌＩ　一　ｌＩ，称　（　，　）为近似算子　与　在闭凸集Ｄ　上的不相容度．　显然，当），　∈　Ｄ时，　（　，ｙ　）＝０．　引理１　设ＩＩ　ｙ—ｙ８　ＩＩ≤６，ＩＩ　Ｋ—Ｋｈ　ｌＩ≤ｈ，　Ｙ＝Ｋｘ，　∈Ｄ，则当叼一０时，有　（　，ｙ８）：０．　事实上，　（　，ｙ８）≤ＩＩ　一ｙ８　ｌｌ≤ｌｌ　Ｋｈｘ一　ｌｌ＋Ｉ　１一Ｙ　Ｉｌ≤ｈ　ｌ１　Ｉｌ＋６．定义３个正则化　参数　的函数为　Ｆ（　）＝Ｉｌ￣ｘ（ｏＬ，ｒ１）一　Ｉ　ｌ＋　ｌ　Ｊ（　，叼）ｌ　Ｉ，　Ｄ（　）＝ｌ　ｌＫｈＸ（　，７１）一ｙ８　，　（　）＝　Ｉ　ｌ（　，　，７）ｌ　ｌ，　其中　∈（０，＋∞）．　弓ｌ理２　“　（ｉ）函数Ｆ（　），Ｄ（　），　（　）在　区间（０，＋∞）内都连续；　（ｆ１）函数Ｆ（　）是凸的可微函数，且　Ｆ　（　）＝　（　）；　（ｉｉｉ）函数Ｆ（　）与Ｄ（　）是单调非减的，　（ＯＬ）　是单调非增的；　（ｉｖ）满足下列等式：　ｌｉｒａ　（　）＝ｌｉａｒ　ａ　（　）＝０，ｌｉ　０ｃ　（　）＝０，　ｌｉａｒ　Ｆ（　）＝ｌｉａｒ　Ｄ（　）＝ｌ１），５　ｌ　ｌ，　ｌｉ　Ｆ（　）＝ｌｉ　Ｄ（０［）＝（　（　，ｙ８））　．　这里引进如下非标准广义偏差函数　（　）＝　ｌ　ｌＫｈ　（　，ｒ１）一ｙ８　ｌＪ　＋　ｌ　ｌ（　，ｒ１）『　ｌ一　（　＋ｈ　ｌ　ｌ（　，ｒ１）ｌＪ）　一（　（　，　））　，（５）　显然，当去掉（５）式右端第２项时，即文献［１ｌ一１２］　中所给出的广义偏差函数．确定正则化参数的非标　准广义偏差原理是：当Ｉｌ　ｌ　ｌ≤　＋（　（　，　））　时，取　（　，ｒ１）＝０作为算子方程（１）的近似解；否则，　选取非标准广义偏差函数ｄ（　）的正零点　作为正　则化参数，从而获得方程（１）的近似解　（　，叼）．　定理１　ｄ（０ｃ）具有如下性质：　（ｉ）ｄ（　）是区间（０，＋ｏ。）内的连续函数，且单　调非减的；　增的．　证　由Ｆ（　）和　（ＯＬ）的定义知ｄ（　）为　ｄ（　）＝Ｆ（　）一（　＋　（　））　一（　（　，，，　））　．　（ｉ）连续性直接由引理２可得，下证单调性．　取０＜　１＜　２，则　ｄ（　２）一ｄ（仅１）＝Ｆ（　２）一Ｆ（　１）＋　（　（　１）一　（　２））＋２　（　（　１）一　（　２））．　由Ｆ（　）与　（　）的单调性，得　（　）≥　（　：），　Ｆ（　１）≤Ｆ（　２）．所以ｄ（　２）一ｄ（　１）≥０．　（ｉｉ）由引理２可得　ｌｉｍ　ｄ（ＯＬ）＝ｌ　ｌＹ　ｌｌ　一　一（　（　，　））２．　（ｉｉｉ）由ｌｉｍ　Ｆ（　）＝（　（　，　））　得证．　（ｉｖ）因为　譬Ｋｈ‘，所以由（４）式知　（０ｃ，　）≠　０，则Ｆ（　）严格单调递增，从而得ｄ（　）也严格递　增．因为　ｌｉａｒ　ｄ（　）＝ｌ　ｌＩＩ　一６　一（　（Ｋｈ，Ｙ　））　，　Ｉ　１Ｉ　１＞６　＋（　（Ｋｈ，ｙ　））　，　所以ｌｉａｒ　ｄ（　）＞０．又ｌｉｒａｄ（　）≤一８　．由ｄ（　）是　区间（０，＋∞）内的连续函数，所以存在唯一的　仅　＞０，使得ｄ（ＯＬ　）＝０．　２　确定正则化参数的迭代算法　根据（５）式，将偏差函数方程ｄ（ａ）＝０改写成　＝［（８＋ｈ　ｌＩ　（　，ｒ１）ｌ１）　＋（　（Ｋ＾，　））　一　Ｉｌ　Ｋｈｘ（ａ，ｒ１）一　ｌＩ　］／ｌＩ　（　，ｒ１）　由此，得到下述确定正则化参数的简单迭代算法．　算法１　正则化参数选取的迭代算法．　给定初始　，且８＞０，置　＝０，　Ｓｔｅｐ　１　把初始正则化参数　。代入（４）式，解　（４）式得　（　。，＇７），计算ｄ（　。），若ｄ（　）＝０输出　。，计算停止；　Ｓｔｅｐ　２　否则计算　＝＋　［（６＋　Ｉｌ　（　，ｒ１）Ｉ１）　＋（ｉｘ　（Ｋ＾，ｒ１））　一　ｌ　ｌ，＾　（ＯＬ　，７１）一　Ｉ　Ｉ］／ｌ　ｌ（　，ｒ１）ｌ　Ｊ；　Ｓｔｅｐ　３　把　代人（４）式求得　（　，ｒ１），并　计算ｄ（ＯＬ　）．　Ｓｔｅｐ　４　如果ｄ（　）ｄ（　）≤０或Ｉ　一　Ｊ／ＯＬ　≤８，则输出　．否则置　＝　十１并转到　

第１期　胡彬，等：算子非精确条件下确定正则化参数的一种方法　６７　Ｓｔｅｐ　２．　定理２　设ｙ８　，ｌ　ＩＩｌ　＞　＋（　（　，　Ｙ８））　，ｄ（　）＝０，假设　。从０开始迭代，算法１不因　ｄ（Ｏｔ　）ｄ（ＯＬ　）＜０而停止，则由算法１所得的正则　化参数序列｛　｝或者只有有限个或者是无限且当　ｙ８∈ＫｈＤ时，有　＿　，　＿＋＋Ｏ０．　为了证明该定理，先引进线性模型函数的思想　方法　驯．由引理２可知Ｆ　（Ｏｔ）＝　（Ｏ１），则确定正则　化参数的迭代算法１实际上是线性模型函数的算　法，即设第Ｊｉ｝步的线性模型函数为ｍ　（Ｏ／）＝Ｃ　Ｏｔ＋　，其中ｃ　，　为待定参数．显然，由文献［８，１０］中　的方法得Ｃ　＝　（Ｏｔ　），　＝Ｄ（Ｏｔ　）．当算子是精确　时，文献［１Ｏ］首次从Ｈｅｒｍｉｔｅ插值出发得到确定正　则化参数的线性模型函数．而ｄ（Ｏ／）可改写为Ｆ（ＯＬ）　的形式，即　ｄ（Ｏｔ）＝Ｆ（　）一（　＋ｈ　Ｆ　（Ｏ／））　一（　（　，ｙ　））　．　在迭代计算中，用ｍ　（　）替代了Ｆ（ＯＬ），得到的　线性模型函数算法即为算法１．记　ｄ　（　）＝／７／，ｋ（Ｏｔ）一（６＋ｈ￣／ｍ　（　））‘一（　（　，％））　，　显然，ｄ　（　）是单调递增的，且当ｙ　隹Ｋｈ　时严格单　调递增．　定理２的证明　当　（　。）＝０时，算法１停止，　。是所要求的正则化参数．以下只要证明ｄ。（ＯＬ。）＞０　与ｄ。（ＯＬ。）＜０这２种情况下结论是成立的．　（ｉ）当ｄ。（　。）＞０时，因为　ｄｏ（　）＝　＋　一（　＋ｈ√ｃ０）‘一　，　则由引理２的（ｉｉｉ）知７＂ｏ＝Ｉｘ：，所以得ｄ。（０）＜０．又　由ｄ０（Ｏ１）的单调性，可得存在唯一的　∈（０，Ｏｌ。）　使得ｄｏ（　。）：０．显然当ｄ０（　。）ｄ　（ＯＬ　）≤０时，序列　｛　｝是有限的且严格单调．因此，只需证明当　（　）ｄ　（ＯＬ　）≤０不成立时，ＯＬ　收敛于ＯＬ　．此时，序　列｛　｝满足ｄ　（ＯＬ　）＞０（．ｉ｝＝１，２，…）．　由　ｄ　（　川）＝０和ｄ　（　）的单调性得　＞　．再由　ｄ（　）的单调性和ｄ　（ＯＬ　）＝ｄ（　），ｄ（　）＝０得　＞　．然后，根据单调有界序列必收敛得｛　｝是　收敛的．　记　＝，ｌｉａｒ　ＯＬ　．当Ｙ　∈ＫｈＤ时，　（Ｋｈ，Ｙ　）：０．　下证ｄ（　）：０．此时，　ｄ　（　）＝７孔　（　）一（６＋ｈ￣／ｍ　（ＯＬ　））‘＝　Ｆ（０【　）一（６＋ｈ√Ｆ　（　））．　又因为Ｆ（　）和　（　）都是连续的，所以　．１ｉａｒｄ　（　）＝．１ｉａｒｄ　（　＋１）．　ｋ－－－￣＋∞　—＋＋∞　又ｄ　（　）＝０和ｄ　（　）＝ｄ（　）得　ｄ（　）＝．１ｉａｒｄ（　）＝．１ｉａｒｄ　（　）＝０．　（ｉｉ）当　（％）＜０时只需证明算法１能够产生　序列｛　｝．因为　ｌｉａｒ　ｄ０（　）＝ｌｉｍ［ｃｏ　＋　一（　＋ｈ￣／ｃ０）‘一　ｉｘ　（Ｋｈ　，Ｙ　）］＝＋ｏｏ，　由ｄ。（　）的单调性可知｛　｝存在．后面的证明与　（ｉ）类似．　３　数值实例及误差估计　为说明本文所给方法的有效性，给出２个数值　实算例．　例１　求解第１类Ｆｒｅｄｈｏｌｍ积分方程　。　ｒ１　＝ｆ　Ｋ（ｓ，ｔ）　（ｓ）ｄｓ＝ｙ（ｔ），一２≤ｔ≤２，　其中　Ｋ（　）　，　，、ｅｘｐ（一　）＋ｅｘｐ（一　）　Ｌ　—————　———一一　０．０５２　１３０　９ｌ３．　用梯形公式来离散以上第１类Ｆｒｅｄｈｏｌｍ积分方　程，得线性方程组　Ａ　＝Ｙ，　（６）　其中积分核Ｋ（ｓ，ｔ）离散成矩阵Ａ　…　（ｓ）离散成ｎ　维列向量　．对（６）式两端同时加入随机扰动，即　Ａ＾＝Ａ＋ｈ・ｒａｎｄｎ（ｍ　ｘ　ｎ）・Ａ，　Ｙ　＝Ｙ＋　・ｒａｎｄｎ（ｎ）・Ｙ．　注１　ｒａｎｄｎ为Ｍａｔｌａｂ软件中的随机函数．初始　值　＝０，取不同的误差值６，ｈ．求出相应的正则化　参数，并求出由此参数求解的正则化解与真解之间　的相对误差，同时也给出正则化解与真解的拟合图　像．如图１所示，线形线为无扰动下方程的数值解，　星形线为在不同扰动水平下方程的正则化解．记　ｈ＝Ｉ　ＩＡ　一Ａ　ｌＩ，　＝｝　ｌＹ—Ｙ　ｌｌ，　Ｐ＝Ｉ　Ｉ（ＯＬ，叼）一　ｌｌ／Ｉ　ｌｌ１．　情形１　当ｈ＝９．３５８　８ｅ一００７，　＝９．３５８　８ｅ一　００７时，正则化参数　＝３．７９０　８ｅ一００９，正则化解的　相对误差Ｐ＝１．２７４　ｌｅ一００２．正则化解与真解的对　比图（见图１和图２），其中图１是该情形下未作正则　化处理的计算结果（即当　＝０时的最小二乘解），　图２为算法ｌ所得结果．　情形２　当ｈ＝４．３８５　０ｅ一００５，艿＝３．０２２　４ｅ一　００４时，正则化参数　＝１．３２５　０ｅ一００８，正则化解的　

江西师范大学学报（自然科学版）　２０１４正　相对误差ｐ＝１．５３６　５ｅ一００２，如图３所示．∞∞∞如　Ｏ　们印舳　　●　●　●　●●　●　●●　’●　●　●　●　●　．　●　●　。＾　●　●　●●●　。　●●　●　●　。　●　●　●　●　●　●　●　●　－　●　０　０．２　０．４　０．６　０．８　１．０　图１　＝０　５　４　３　２　Ｏ图２　Ｏｔ＝３．７９０　８ｅ一００９　图３　＝１．３２５　０ｅ一００８　例２考虑求解第１类Ｆｒｅｄｈｏｌｍ积分方程　ｒ１　Ｋｘ＝Ｉ　Ｋ（ｓ，ｔ）　（５）ｄｓ＝），（ｔ），　Ｊ　０　其中　Ｋ（ｓ，ｔ）＝￣／２ｇ（ｔ—ｓ），ｇ＝９．８０，　（ｓ）＝ｅ　（２￣ｒｃｏｓ（１Ｔｓ）＋（１Ｔ　一１）ｓｉｎ（１Ｔ　））．　同理，把积分方程离散成线性方程组Ａｘ＝歹，方　程两端的算子及测量数据都加入随机扰动．正则化　解与真解的对比图如下，线形线、星形线分别为无扰　动下与不同扰动水平下方程的正则化解．　情形１　当ｈ＝９．４７４　９ｅ一００７，　＝１．６ｅ一００３　时，正则化参数Ｏｔ＝１．０１９　２ｅ一００９，正则化解的相　对误差ｐ＝０．０５３　７．正则化解如图４与图５所示，其　中图４是该情形下未作正则化处理的计算结果，图５　为算法１所得结果．　情形２　当ｈ＝７．７６５　０ｅ一００８，　＝１．３９６　７ｅ一　００５时，正则化参数　＝９．２２１　７ｅ一０１４，正则化解的　相对误差ｐ＝０．０４３　５，正则化解如图６所示．　●　●　．　’　●　●●　●　●　▲●．　▲ｔ　▲．．～●．上—　～●．．…．．．　●　’’　’’一’，　’　’～・　’●●．　●　．　‘　●　０　１０　２０　３Ｏ　４０　５０　６Ｏ　７０　８Ｏ　图４　＝０　图５　ａ＝１．０１９　２ｅ一００９　图６　＝９．２２１　７ｅ一０１４　比较算例的数值模拟结果知，方程未做正则化　　

第１期　胡彬，等：算子非精确条件下确定正则化参数的一种方法　１９９８，１４（５）：１２４７－１２６４．　直接得到的解与方程的真解偏离甚远，拟合效果也　较差．而基于非标准广义偏差函数原理的线性模型　函数算法（即算法１），在不同的扰动水平下确定的　正则化参数所求得的正则化解都与真解的相对误差　很小，拟合效果都较好．这就说明了本文所提出的方　法能够有效选取正则化参数，并且用这种方法更新　得到的正则化参数ａ是全局收敛的．　本文提出的方法仅针对单正则化参数的选取进　行了研究，对于如何把这种线性模型函数，在方程两　端都有扰动的条件下，应用到多个正则化参数的选　取中去有待进一步研究．　［６］Ｘｉｅ　Ｊｉａｎｌｉ，Ｚｏｕ　Ｊａｎ．Ａｎ　ｉｍｐｒｏｖｅｄ　ｍｏｄｅｌ　ｆｕｎｃｔｉｏｎ　ｍｅｔｈｏｄ　ｆｏｒ　ｃｈｏｏｓｉｎｇ　ｒｅｇｕｌａｒｉｚａｔｉｏｎ　ｐａｒａｍｅｔｅｒｓ　ｉｎ　ｌｉｎｅａｒ　ｉｎｖｅｒｓｅ　ｐｒｏｂｌｅｍｓ［Ｊ］．Ｉｎｖｅｒｓｅ　Ｐｒｏｂｌｅｍｓ，２００２，１８（３）：６３１－６４３．　［７］Ｌｉｕ　Ｊｉｊｕｎ，Ｎｉ　Ｍｉｎｇ．Ａ　ｍｏｄｅｌ　ｆｕｎｃｔｉｏｎ　ｍｅｔｈｏｄ　ｆｏｒ　ｄｅｔｅｒｍｉ．　ｎｉｎｇ　ｔｈｅ　ｒｅｇｕｌａｒｉｚｉｎｇ　ｐａｒａｍｅｔｅｒ　ｉｎ　ｐｏｔｅｎｔｉａｌ　ａｐｐｒｏａｃｈ　ｆｏｒ　ｔｈｅ　ｒｅｃｏｖｅｒｙ　ｏｆ　ｓｃａｔｔｅｒｅｄ　ｗａｖｅ［Ｊ］．Ａｐｐｌｉｅｄ　Ｎｕｍｅｒｉｃａｌ　Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ，２００８，５８（８）：１１１３．１１２８．　［８］Ｗａｎｇ　Ｚｅｗｅｎ，Ｌｉｕ　Ｊｉｊｕｎ．Ｎｅｗ　ｍｏｄｅｌ　ｆｕｎｃｔｉｏｎ　ｍｅｔｈｏｄｓ　ｆｏｒ　ｄｅｔｅｒｍｉｎｉｎｇ　ｒｅｇｕｌａｒｉｚａｔｉｏｎ　ｐａｒａｍｅｔｅｒｓ　ｉｎ　ｌｉｎｅａｒ　ｉｎｖｅｒｓｅ　ｐｒｏｂｌｅｍｓ［Ｊ］．Ａｐｐｌｉｅｄ　Ｎｕｍｅｉｒｃａｌ　Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ，２００９，５９　（１０）：２４８９－２５０６．　［９］Ｗａｎｇ　Ｚｅｗｅｎ．Ｍｕｌｔｉ－ｐａｒｍｅｔａｅｒ　Ｔｉｋｎｏｎｏｖ　ｒｅｇｕｌａｒｉｚａｔｉｏｎ　ａｎｄ　４参考文献　［１］Ｋｉｔｓｃｈ　Ａ．Ａｎ　ｉｎｔｒｏｄｕｃｔｉｏｎ　ｔｏ　ｔｈｅ　ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ　ｔｈｅｏｒｙ　ｏｆ　ｉｎｖｅｒｓｅ　ｐｒｏｂｌｅｍｓ［Ｍ］．２ｎｄ　ｅｄ．Ｎｅｗ　Ｙｏｒｋ：Ｓｐｒｉｎｇｅｒ—Ｖｅｒ－　ｌａｇ，２０１１．　ｍｏｄｅｌ　ｆｕｎｃｔｉｏｎ　ａｐｐｒｏａｃｈ　ｔｏ　ｔｈｅ　ｄａｍｐｅｄ　Ｍｏｒｏｚｏｖ　ｐｒｉｎｃｉｐｌｅ　ｆｏｒ　ｃｈｏｏｓｉｎｇ　ｒｅｇｕｌａｒｉｚａｔｉｏｎ　ｐａｒｍｅｔａｅｒｓ［Ｊ］．Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎａｌ　ａｎｄ　Ａｐｐｌｉｅｄ　Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ，２０１２，２３６（７）：　１８１５．１８３２．　［１０］Ｗａｎｇ　Ｚｅｗｅｎ，Ｘｕ　Ｄｉｎｇｈｕａ．Ｏｎ　ｔｈｅ　ｌｉｎｅａｒ　ｍｏｄｅｌ　ｆｕｎｃｔｉｏｎ　ｍｅｔｈｏｄ　ｆｏｒ　ｃｈｏｏｓｉｎｇ　Ｔｉｋｏｎｏｖ　ｒｅｇｕｌａｒｉｚａｔｉｏｎ　ｐａｒａｍｅｔｅｒｓ　ｉｎ　［２］Ｅｎｄ　Ｈ　Ｗ，Ｈａｎｋｅ　Ｍ，Ｎｅｕｂａｍｅｒ　Ａ．Ｒｅｇｕｌａｒｉｚａｔｉｏｎ　ｏｆ　ｉｎ—　ｖｅｒｓｅ　ｐｒｏｂｌｅｍｓ［Ｍ］．Ｄｏｒｄｒｅｃｈｔ：Ｋｌｕｗｅｒ　Ａｃａｄｅｍｉｃ　Ｐｕｂ—　ｌｉｓｈｅｒｓ，１９９６．　ｌｉｎｅａｒ　ｉｌｌ—ｐｏｓｅｄ　ｐｒｏｂｌｅｍｓ［Ｊ］．Ｃｈｉｎｅｓｅ　Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｅｎｇｉ－　ｎｅｅｉｆｎｇ　Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ，２０１３，３０（３）：４５１－４６６．　［３］刘继军．不适定问题的正则化方法及应用［Ｍ］．北京：　科学出版社，２００５．　［１１］Ｔｉｋｈｏｎｏｖ　Ａ　Ｎ，Ｇｏｎｅｈａｒｓｋｙ　Ａ　Ｖ，Ｓｔｅｐａｎｏｖ　Ｖ　Ｖ，ｅｔ　ａ１．Ｎｕ．　ｍｅｒｉｃａｌ　ｍｅｔｈｏｄｓ　ｆｏｒ　ｔｈｅ　ｓｏｌｕｔｉｏｎ　ｏｆ　ｉｌｌ—ｐｏｓｅｄ　ｐｒｏｂｌｅｍｓ　［４］Ｃｈｅｎｇ　Ｊｉｎ，Ｙａｍａｍｏｔｏ　Ｍ．Ｏｎｅ　ｎｅｗ　ｓｔｒａｔｅｇｙ　ｆｏｒ　ａ　ｐｒｉｏｒｉ　ｃｈｏｉｃｅ　ｏｆ　ｒｅｇｕｌａｒｉｚｉｎｇ　ｐａｒａｍｅｔｅｒｓ　ｉｎ　Ｔｉｋｈｏｎｏｖ’Ｓ　ｒｅｇｕｌａｒｉ—　［Ｍ］．Ｄｏｒｄｒｅｅｈｔ：Ｋｌｕｗｅｒ　Ａｃａｄｅｍｉｃ　Ｐｕｂｌｉｓｈｅ１＂８，１９９５．　［１２］樊树芳，马青华，王彦飞．算子及观测数据都非精确情　况下一种新的正则化参数选择方法［Ｊ］．北京师范大　学学报：自然科学版，２００６，４２（１）：２５－３１．　［１３］王彦飞．反演问题的计算方法及其应用［Ｍ］．北京：高　等教育出版社，２００７．　ｚａｔｉｏｎ［Ｊ］．Ｉｎｖｅｒｓｅ　Ｐｒｏｂｌｅｍｓ，２０００，１６（４）：３１－３８．　［５］Ｋｕｎｉｓｃｈ　Ｋ，Ｚｏｕ　Ｊｕｎ．ｈｅｒａｔｉｖｅ　ｃｈｏｉｃｅｓ　ｏｆ　ｒｅｇｕｌａｒｉｚａｔｉｏｎ　ｐａ－　ｒａｍｅｔｅｒｓ　ｉｎ　ｌｉｎｅａｒ　ｉｎｖｅｓｅｒ　ｐｒｏｂｌｅｍｓ［Ｊ］．Ｉｎｖｅｒｓｅ　Ｐｒｏｂｌｅｍｓ，　Ｔｈｅ　Ｍｅｔｈｏｄ　ｆｏｒ　Ｄｅｔｅｒｍｉｎｉｎｇ　Ｒｅｇｕｌａｒｉｚａｔｉｏｎ　Ｐａｒａｍｅｔｅｒｓ、　ｔｈ　Ｐｅｒｔｕｒｂｅｄ　Ｏｐｅｒａｔｏｒｓ　ＨＵ　Ｂｉｎ，ＸＩＡ　Ｙｕｎ，ＹＵ　Ｊｉａｎ・ｈｕａ　（Ｓｃｈｏｏｌ　ｏｆ　Ｓｃｉｅｎｃｅ，Ｅａｓｔ　Ｃｈｉｎａ　Ｉｎｓｔｉｔｕｔｅ　ｏｆ　Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ｎａｎｅｈａｎｇ　Ｊｉａｎｇｘｉ　３３００１３，Ｃｈｉｎａ）　Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｂａｓｅｄ　ｏｎ　ｔｈｅ　ｎｏｎ—ｓｔａｎｄａｒｄ　ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄ　ｄｉｓｃｒｅｐａｎｃｙ　ｐｒｉｎｃｉｐｌｅ，ａ　ｓｉｍｐｌｅ　ｉｔｅｒａｔｉｏｎ　ｍｅｔｈｏｄ　ｉｓ　ｇｉｖｅｎ　ｆｏｒ　ｃｈｏｏ－　ｓｉｎｇ　ｒｅｇｕｌａｒｉｚａｔｉｏｎ　ｐａｒａｍｅｔｅｒｓ　ｗｉｔＩｌ　ｐｅｒｔｕｒｂｅｄ　ｏｐｅｒａｔｏｒ　ａｎｄ　ｎｏｉｓｅ　ｄａｔａ　ｆｏｒ　ｔｈｅ　Ｔｉｋｈｏｎｏｖ　ｒｅｇｕｌａｒｉｚａｔｉｏｎ　ｍｅｔｈｏｄ．ｗｈｉｃｈ　ｉｓ　ａ　ｃｌａｓｓｉｃａｌ　ｍｅｔｈｏｄ　ｆｏｒ　ｓｏｌｖｉｎｇ　ｉｌｌ—ｐｏｓｅｄ　ｐｒｏｂｌｅｍｓ．Ａｎｄ　ｉｔ　ｉｓ　ｃｌａｒｉｉｆｅｄ　ｔｈａｔ　ｔｈｅ　ｐｒｏｐｏｓｅｄ　ｉｔｅｒａｔｉｏｎ　ｍｅｔｈｏｄ　ｉｓ　ａ　ｌｉｎｅａｒ　ｍｏｄｅｌ　ｆｕｎｃｔｉｏｎ　ａｌｇｏｒｉｔｈｍ．Ｆｕｒｔｈｅｒｍｏｒｅ，ｔｈｅ　ｓｉｍｐｌｅ　ｉｔｅｒａｔｉｏｎ　ｍｅｔｈｏｄ　ｆｏｒ　ｃｈｏｏｓｉｎｇ　ｒｅｇｕｌａｒｉｚａｔｉｏｎ　ｐａｒａｍｅｔｅｒｓ　ｉｓ　ｐｒｏｖｅｄ　ｔｏ　ｂｅ　ｃｏｎｖｅｒｉｎｇ　ｕｎｄｅｒｇ　ｓｏｍｅ　ｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ　ｂｙ　ｕｓｉｎｇ　ｈｅ　ｌｔｉｎｅａｒ　ｍｏｄｅｌ　ｆｕｎｃｔｉｏｎ　ｍｅｔｈｏｄ．Ｎｕｍｅｒｉｃａｌ　ｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔｓ　ｓｈｏｗ　ｈａｔｔ　ｔｈｅ　ｍｅｔｈｏｄ　ｉＳ　ｅｆｆｉｃｉｅｎｔ．　Ｋｅｙ　ｗｏｒｄｓ：ｉｌｌ—ｐｏｓｅｄ　ｐｒｏｂｌｅｍ；ｒｅｇｕｌａｒｉｚａｔｉｏｎ　ｍｅｔｈｏｄ；ｒｅｇｕｌａｒｉｚａｔｉｏｎ　ｐａｒａｍｅｔｅｒ；ｍｏｄｅｌ　ｆｕｎｃｔｉｏｎ；ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄ　ｄｉｓｃｒｅｐ－　ａｎｃｙ　ｐｒｉｎｃｉｐｌｅ　（责任编辑：曾剑锋）