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2024年3月19日发(作者：reader的意思)
求二次函数解析式的三种基本方法
四川 倪先德
二次函数是初中数学的一个重要内容，也是高中数学的一个重要基础。熟练地求出二次函数的
解析式是解决二次函数问题的重要保证。
二次函数的解析式有三种基本形式：
1、一般式：y=ax
2
+bx+c (a≠0)。
2、顶点式：y=a(x－h)
2
+k (a≠0)，其中点(h,k)为顶点，对称轴为x=h。
3、交点式：y=a(x－x
1
)(x－x
2
) (a≠0)，其中x
1
,x
2
是抛物线与x轴的交点的横坐标。
求二次函数的解析式一般用待定系数法，但要根据不同条件，设出恰当的解析式：
1、若给出抛物线上任意三点，通常可设一般式。
2、若给出抛物线的顶点坐标或对称轴或最值，通常可设顶点式。
3、若给出抛物线与x轴的交点或对称轴或与x轴的交点距离，通常可设交点式。
探究问题，典例指津：
例1、已知二次函数的图象经过点
(1,5),(0,4)
和
(1,1)
．求这个二次函数的解析式．
分析：由于题目给出的是抛物线上任意三点，可设一般式y=ax
2
+bx+c (a≠0)。
解：设这个二次函数的解析式为y=ax
2
+bx+c (a≠0)
abc5
a2
依题意得：
c4
解这个方程组得：
b3
c4
abc1
∴这个二次函数的解析式为y=2x+3x－4。
例2、已知抛物线
yaxbxc
的顶点坐标为
(4,1)
，与
y
轴交于点
(0,3)
，求这条抛物线
的解析式。
分析：此题给出抛物线
yaxbxc
的顶点坐标为
(4,1)
，最好抛开题目给出的
2
2
2
yax
2
bxc
，重新设顶点式y=a(x－h)
2
+k (a≠0)，其中点(h,k)为顶点。
解：依题意，设这个二次函数的解析式为y=a(x－4)－1 (a≠0)
又抛物线与
y
轴交于点
(0,3)
。
2
1
4
11
22
∴这个二次函数的解析式为y=(x－4)－1，即y=x－2x+3。
44
∴a(0－4)－1=3 ∴a=
2
例3、如图，已知两点A（－8，0），（2，0），以AB为直径的半圆与y轴正半轴交于点C。求经
过A、B、C三点的抛物线的解析式。
分析：A、B两点实际上是抛物线与x轴的交点，所以可设交点式y=a(x－x
1
)(x－x
2
) (a≠0)，
其中x
1
,x
2
是抛物线与x轴的交点的横坐标。
解：依题意，设这个二次函数的解析式为y=a(x+8)(x－2)
又连结AC、BC，利用射影定理或相交弦定理的推论易得：
OC
2
=AC·BC=8×2 ∴OC=4
即C(0,4)。
∴a(0+8)(0－2)=4 ∴a=
∴这个二次函数的解析式为y=
变式练习，创新发现
1、在图的方格纸上有
A
、
B
、
C
三点（每个小方格的边长为1个单位长度）．
（l）在给出的直角坐标系中分别写出点
A
、
B
、
C
的坐标；
（2）根据你得出的
A
、
B
、
C
三点的坐标，求图象经过这三点的二次函数
的解析式．
2、已知抛物线的顶点坐标为
(2,1)
，与
y
轴交于点
(0,5)
，求这条抛物线的解析式。
3、已知抛物线过A（－2，0）、B（1，0）、C（0，2）三点。求这条抛物线的解析式。）
参考答案：
1、（1）A(2,3);B(4,1);C(8,9)。 （2）y=
2、y=(x－2)+1，即y=x－4x+5。
3、y=－(x+2)(x－1)，即y=－x－x+2。
2
22
1
4
3
11
(x+8)(x－2)，即y=
x
2
－x+4。
2
44
1
2
x－4x+9。
2
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