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2024年3月19日发(作者：控件图片)

二次函数解析式的8种求法

河北 高顺利

二次函数的解析式的求法是数学教学的难点，学不易掌握．他的基本思想方法是待定

系数法，根据题目给出的具体条件，设出不同形式的解析式，找出满足解析式的点，求出

相应的系数．下面就不同形式的二次函数解析式的求法归纳如下，和大家共勉：

一、定义型：

此类题目是根据二次函数的定义来解题，必须满足二个条件：1、a ≠0； 2、x的最

高次数为2次．

例1、若 y =( m

2

+ m )x

m

2 – 2

m

－

1

是二次函数，则m = ．

解：由m

2

+ m≠0得:m ≠0，且 m ≠－ 1

由m

2

–2m –1 = 2得m =－1 或m =3

∴ m = 3 ．

二、开放型

此类题目只给出一个条件，只需写出满足此条件的解析式，所以他的答案并不唯一．

例2、(1)经过点A（0，3）的抛物线的解析式是 ．

分析：根据给出的条件，点A在y轴上，所以这道题只需满足

ya

b

c

中的

C=3，且a≠0即可∴

y

3

（注：答案不唯一）

三、平移型：

将一个二次函数的图像经过上下左右的平移得到一个新的抛物线．要借此类题目，应

先将已知函数的解析是写成顶点式y = a( x – h)

2

+ k，当图像向左（右）平移n个单位时，

就在x – h上加上（减去）n；当图像向上（下）平移m个单位时，就在k上加上（减去）

m．其平移的规律是：h值正、负，右、左移；k值正负，上下移．由于经过平移的图像形

状、大小和开口方向都没有改变，所以a得值不变．

2

2

第5页 共5页

例3、二次函数

y

1

2

51

3

的图像是由

y

2

的图像先向 平移

222

个 单位，再向 平移 个单位得到的．

1

2

51

3

=

3

2

2

，

222

151

二次函数

y

2

3

的图像是由

y

2

的图像先向左平移3个

222

解：

y

单位，再向下平移2个单位得到的．

这两类题目多出现在选择题或是填空题目中

四、一般式

当题目给出函数图像上的三个点时，设为一般式

ya

b

c

，转化成一个三元

一次方程组，以求得a，b，c的值；

五、顶点式

若已知抛物线的顶点或对称轴、极值，则设为顶点式

ya

xh

k

．这顶点坐标

2

2

为（ h，k ），对称轴方程x = h，极值为当x = h时，y极值=k来求出相应的系数；

六、两根式

已知图像与 x轴交于不同的两点

x

1

，0

，0

，设二次函数的解析式为

x

2

，

ya

xx

1



xx

2

，根据题目条件求出a的值．

例4、根据下面的条件，求二次函数的解析式：

1．图像经过（1，－4），（－1，0），（－2，5）

2．图象顶点是（－2，3），且过（－1，5）

3．图像与x轴交于（－2，0），（4，0）两点，且过（1，－

2

9

）

2

解：1、设二次函数的解析式为：

a

b

c

，依题意得：

a1

4abc



0abc

解得：



b2

54a2bc

c3

第5页 共5页

yx

2

2x3

2、设二次函数解析式为：y = a( x – h)

2

+ k，

图象顶点是（－2，3）

h=－2，k=3，

依题意得：5=a( －1 + 2)

2

+3，解得：a=2

y = 2( x +2)

2

+ 3=

2x

2

8x11

3、设二次函数解析式为：y = a( x –

1

)

( x –

2

)．

图像与x轴交于（－2，0），（4，0）两点，

1

=－2，

2

=4

依题意得：－

9

= a( 1 +2)

( 1– 4)

2

1

2

113

y = ( x +1)

( x – 4)=

2

x2

．

222

a=

七、翻折型（对称性）：

已知一个二次函数

a

b

c

，要求其图象关于

x

轴对称（也可以说沿

x

轴翻

2

折）；

y

轴对称及经过其顶点且平行于

x

轴的直线对称，（也可以说抛物线图象绕顶点旋

转180°）的图象的函数解析式，先把原函数的解析式化成y = a( x – h)

2

+ k的形式．

（1）关于

x

轴对称的两个图象的顶点关于

x

轴对称，两个图象的开口方向相反，即

a

互为相反数．

（2）关于

相同．

（3）关于经过其顶点且平行于

x

轴的直线对称的两个函数的图象的顶点坐标不变，

开口方向相反，即

a

互为相反数．

2

y3x6x5

，求满足下列条件的二次函数的解析式：（1）例6 已知二次函数

y

图象关于

x

轴对称；（2）图象关于轴对称；（3）图象关于经过其顶点且平行于

x

轴的

y

轴对称的两个图象的顶点关于

y

轴对称，两个图象的形状大小不变，即

a

直线对称．

第5页 共5页


本文标签： 函数 解析 顶点 图象 题目

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