admin 管理员组文章数量: 1184232
2024年3月19日发(作者：datetimepicker不限制时间范围)
・
６２ ・ 数学教育研究 ２０１０年第５期
二次函数最值题型与解法
王福林 （江苏省句容市实验高级中学２１２４００）
二次函数，（ｚ）一ａＸ２＋妇＋ｃ（ａ≠ｏ）在区间［０， 上
位置关系不同，导致函数单调性及最值情况的不同．
＾
的最值一般分为两种情况讨论，即：①对称轴ｚ一一
２．１ 开口方向不确定：
例３ 已知忌∈Ｒ，求函数Ｙ＝ｋｘ ＋２ｋｘ＋１， ∈
在区间左或右边，函数在此区问上具有单调性；②对称
［～３，２］的最值．
Ｌ
轴ｚ一一 在区间之内，要注意端点与对称轴之间距
当ｋ：０，Ｙ…一Ｙ…一１；
“
离，系数ａ的符号对抛物线开口的影响．在这类问题中，
当 ＞０，Ｙ…一１一ｋ，Ｙ…一８ｋ＋１；
关键要把握对称轴与区间的关系．下面结合本人教学中
当ｋ＜Ｏ，Ｙ…一８ｋ＋１， …一１～ｋ
有关二次函数最值常见求法与应用加以研究归纳：
点评：当二次函数对称轴位置、给定区间固定，开
口方向不确定时，只要讨论开口方向向上和向下两种
１开口方向、对称轴、给定区间都确定
情况．
二次函数ｆ（ｚ）＝ｎ ＋ｂｘ＋ｃ（口≠０）在区间
２．２对称轴位置不确定
例４（２００９年江苏）设ｎ为实数，函数＿厂（ｚ）＝２
（一。。，一麦Ｊ和区间ｌ一 ｂ，＋ｏｏ）ｔ－／＋别单调，所以
＋（ —ｎ）｝ｚ～口１．求，（ｚ）的最小值；
当函数，（ ）开口方向、对称轴、给定区间都确定时函
解析：当ｚ≥ａ时，厂（ｚ）＝３ｘ 一２ａｘ＋ｎ ，，（ ）
数的最大、小值必在区间的端点或顶点处取得，因此最
ｆ，（ｎ），口≥０ ｆ２ａ ，ｎ≥０
值直接利用单调性或函数图像即可．
例１ （２０１０年北京）已知函数，（ｚ）一２ｃｏｓ２ｘ＋
１，（詈），。＜ｏ一１等， ＜ｏ
ｓｉｎ ｚ～４ｃｏｓｘ．求ｌ厂（ｚ）的最大值和最小值．
当ｚ≤ａ时，ｆ（ ）一ｚ。＋２ａｘ一口 ，ｆ（ ） ｉ 一
解析：利用二倍角公式展开，转化为二次函数
ｆ，（一ｎ），ｎ≥０ ｆ一２ａ ，ｏ≥０
厂（ｚ）＝２（２ｃｏｓ。Ｘ－－１）＋（１一ＣＯＳ ｚ）一４ｃｏｓｘ
Ｉ＿厂（口），口＜ｏ 一１ ２口ｚ，口＜ｏ
３ｃｏｓ ｚ一４ｃ０ｓｚ一１—３《ＣＯＳＸ一÷）一÷，ｚ∈Ｒ
ｆ一２ａ ，口≥Ｏ
因为ＣＯＳＸ∈［一ｌ，１］，所以，当ＣＯＳＸ￣－－一１时，厂（ｚ）
综上，（ｚ）… １ｌ＾＇
Ｌ
ｍ＜ｏ¨＼ｖ
取最大值６；当ｃｏｓｚ一÷时，，（ｚ）取最小值一÷．
点评：将函数转化为分段函数，对每一段函数，按
对称轴与定义域区间的位置关系合理分类，结合二次
例２ （２０１０年江苏）将边长为ｌｍ的正三角形薄
函数的图象，考虑对称轴与所给区间之间的关系，先讨
铁皮沿一条平行于某边的直线剪成两块，其中一块是
论对称轴在区间左右两侧，再讨论对称轴在区间中间，
梯形，记ｓ：譬 ，则ｓ的最小值是——
由易到难．
２．３区间不确定
解析：设梯形上底边长为ｚ，则梯形两腰为（１一
例５（２００６年福建理）已知函数＿厂（ｚ）一一 ＋
ｚ），高为 （１－－ｘ），ｏ＜ｚ＜１， 一 令３～．ｚ一
８ｘ，求，（ｚ）在区间［ｔ，￡＋１］上的最大值＾（￡）
竽（１一ｚ ）
解：厂（ｚ）一一ｚ ＋８ｘ一一（ｚ一４） ＋１６，当￡＋１＜
４，即ｔ＜３时，，（ｚ）在［￡，￡＋１］上单调递增，＾（￡）＝，（ｚ＋
￡， Ｅ（２，３），了１∈
１）一一（ｔ＋１） ＋８（￡＋１）一一 ＋６ｔ＋７
当 ≤４≤ｆ＋１时，即３≤ ≤４时，矗（￡）一，（４）＝１６；
ｓ一
４× １ ÷一詈一÷
当ｔ＞４时，ｌ厂（ｚ）在Ｃｔ， ＋１］上单词递减，ｈ（￡）：
，（￡）一一ｔ ＋８ｔ
ｒ一￡ ＋６ｔ＋７（￡＜３）
时，Ｓ的最小值是
０
综上，＾（￡）：＜１６ （３≤￡≤４）
点评：先配方，结合函数图象和单调性，二次函
【一￡。＋８￡ （￡＞４）
数最值容易求出；由于二次函数最值总是在闭区间
【延伸】若求厂（ｚ）在区间［￡，￡＋１］上的最小值ｍ（ｆ）
的端点或抛物线的顶点处取到，也可以将区间端点
解：当ｆ＋ｌ≤４，即￡≤３时，由函数图像对称性知，
和顶点处的函数值计算出来，通过比较大小，计算出
（ｚ）的最小值ｍ（ ）＝一ｔ ＋８ｔ；当￡＞３时， ，（童）在［￡，ｔ
最值．
＋１］上最小值ｒｅ（ｔ）一ｆ（ｔ＋１）＝一（ ＋１）。＋８（ｚ＋１）＝
～
２对称轴位置、区间、开口方向三元素中一个
ｔ ＋６ｔ＋７；
不确定
点评：配方研究区间和对称轴位置关系着手，考虑
区间端点与对称轴的距离，灵活运用单调性和二次函
参数取值导致函数类型不同，开口、对称轴与区间
数的对称性．
２０１０年第５期 数学教育研究 ・ ６３ ・
一
３ 对称轴位置、区间、开口方向三元素中两个
不确定
３．１开口方向和对称轴位置不确定
例６ 求二次函数＿厂（ ）一＆ 。＋（２ａ一１） 一３，ｄ≠
１２ａ－－８ａ。，②３—２ａ％ａ，即口＞１时，ｆ（ ）…一ｌ厂（口）
一
（ｎ一３） ．所以厂（ 一｛１（ｎ２ａ一－３８）ａ。，２（，“（＞Ｏ￣ｌ）ａ≤¨
ｏ在区间【～号，２ Ｉ的最大值．
点评：当二次函数开口方向确定，给定区间和对称
轴位置不确定时，要考虑对称轴和所给区间的位置，此
题只需分两种情况讨论即可．
解析：１当ｎ＞ｏ时，厂（ ）一ｎ（ｚ＋ ） 一
４ 已知最值求参数范围或参数的值
例８ 函数厂（ ）－＿ｚ（ ４）， ∈Ｅｏ，ｍ］上的最大
值为ｏ，最小值为一４，则ｍ的取值范围为
解析：因为厂（ｏ）一ｏ，＿厂（２）一一４，根据二次函数图
像对称性所以２４”ｚ≤４
例９ 已知二次函数，（ ）一ｎｚ ４－４ａｘ＋ｎ 一１在
区问［一４，１］上的最大值为５，求实数ａ的值．
解析：将二次函数配方得＿厂（ ）一ｎ（ －＋－２） ＋ｎ 一
４口一１，其对称轴方程为ｚ一一２，顶点坐标为（一２，ａ。一
４ｎ一１），图象开口方向由ｎ决定，其顶点横坐标在区间
［一４，１］上．
若ａｄＯ，函数图象开口向下，当ｚ一一２时，函数取
得最大值５
即ｌ厂（一２）一口 一４ａ一１—５解得“
一。．①当一 ≤
２ａ－－Ｉ＞
。≥号时，
３
“＜詈时，ｆ（ｚ 一 （一 ３）—一丢ａ一号．
２当ａ＜ｏ时 ｚ）一。（ｚ４－
３．①当一
） 一
≥２，ｎ≥÷，与ｎ＜ｏ矛盾，＿厂（ ）无最大
值．②当一—￣；ａ －ｉ≤一 ３
，口≥一１时，ｆ（ｚ）…一ｆ
（一号）—一÷ａ一号．③当一号＜一 ＜ｚ时ｆ
（ ）…一一 【二 一３．
ｎ
故ｎ＝２一￣厂 （ｎ一２４－、／， 舍去）
若ａ＞Ｏ时，函数图象开口向上当，２ｆ
１时，函数取
得最大值５
即厂（１）一５ａ４－ｎ 一１—５，解得“一１或０一一６
故ｎ一１（口＝一６舍去）
点评：当二次函数给定区间固定，开口方向和对称
轴位置不确定时，需分两种情况讨论，当ｎ＞０时，根据
对称轴和区间的位置关系，结合图象需分两种情况讨
论，当ａ＜Ｏ时，需分三种情况讨论．
３．２ 区间和对称轴位置不确定
综上讨论，函数ｌ厂（ｚ）在区间［一４，１］上取得最大值
５时，“一２ 而或ｎ一１
二次函数，它有丰富的内涵和外延．作为最基本的幂
例７ 已知Ｙ 一４ａ（ｚ一＆）（“＞０），求“一（ｚ一３）。
＋ 的最小值．
函数，可以以它为代表来研究函数的性质，建立起函数、方
程、不等式之间的联系，编出层出不穷、灵活多变的数学问
题，考查学生的数学基础知识和综合数学素质，特别是能
解析：由 ＝４ｎ（ｚ—ｎ），因为Ｙ。≥０，所以ｚ≥ｎ代
入“中，得“一［ｚ一（３—２ｎ）］ ＋１２ｎ一８ａ ，ｚ∈［ｎ，＋ｏ。）
①３～２ａ≥。，即Ｏ＜ａ≤１时，ｆ（ｚ）…一ｌ， （３—２ａ）
从解答的深入程度中，区分出学生运用数学知识和思想方
法解决数学问题的能力． ［责任编校 王 蓓］
（上接第４９页）
内在本质意义的探索，演变的目的是为了使学生在问题
形式的变化过程中抓住问题的本质，概括概念、公式、定
理、法则及数学思想方法的本质特征，发展应变能力．
中培养应变、求异、探究能力，这对启迪学生的创造性
思维大有作用．
参考文献：
２．例题、习题演变能使学生真正参与到学习数学、
研究数学、发现数学的过程中，学生的主体地位得以充
分体现，学生的知识面得以拓宽，有充分参与的机会，有
亲历成功的可能．学生每成功一次，能力就递进一步．
３．试题演变并非为了演变而变，它是手段而不是
目的．我们应该根据教学的实际情况有目的有选择地
灵活运用，这样既可减轻学生的课业负担，又能使学生
学得生动活泼，有效地培养学生的思维能力，优化个性
品质，进而促进学生整体素质的提高．
总之，例题、习题教学是数学教学中十分重要的形
式，但不是简单习题的累赘讲评．就题论题，将使人只
见树木，不见森林，形不成合理的认知结构，更不能提
高分析问题和解决问题的能力．只有充分发挥典型的
例题、习题的教学功能，在对其挖掘、变通、发散、演绎
７１］查有梁．课堂模式凳［Ｍ］．广西：广西师范大学出版
社．２ｏｏ１．
Ｅ２］张奠宙等著．数学教育学导论［Ｍ］．北京：高等教育
出版社．２００３．
Ｅｓ］刘长春张文娣．中学数学变式教学与能力培养
［Ｍ］．山东：山东教育出版社，２００１．
Ｅ４］王 伟．数学变式百例精讲［Ｍ］．浙江：宁波出版
社，２Ｏ０６．
Ｅｓ］范良火等编．华人如何学习数学ＥＭ］．凤凰出版传
媒集团，江苏教育出版社，２００５．
［６］王能生等编．全效学习（同步学练测７—９数学）
ｒＭ］．四川出版集团，天地出版社，２００８—２００９．
［责任编校钱骁勇］
版权声明：本文标题：二次函数最值题型与解法 内容由网友自发贡献，该文观点仅代表作者本人， 转载请联系作者并注明出处：http://www.roclinux.cn/b/1710856589a576529.html， 本站仅提供信息存储空间服务，不拥有所有权，不承担相关法律责任。如发现本站有涉嫌抄袭侵权/违法违规的内容，一经查实，本站将立刻删除。
发表评论