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2024年3月21日发(作者：我就是彩票专栏)
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求函数值域的十种方法
一
．
直接法（观察法）：
对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。
例1．求函数
yx1
的值域。
x1
的值域为
[1,)
。
【解析】∵
x0
，∴
x11
，∴函数
y
【练习】
1．
求下列函数的值域：
①
y3x2(1x1)
；
③
y
②
f(x)24x
；
2
4
y
x
1
1
，
x
1,0,1,2
。
○
x
；
x1
【参考答案】①
[1,5]
；②
[2,)
；③
(,1)(1,)
；
○
4
{1,0,3}
。
二
．
配方法
：适用于二次函数及能通过换元法等转化为二次函数的题型。形如
F(x)af
2
(x)bf(x)c
的函数的值域问题，均可使用配方法。
例2．求函数
yx
2
4x2
（
x[1,1]
）的值域。
【解析】
yx
2
4x2(x2)
2
6
。
∵
1x1
，∴
3x21
，∴
1(x2)
2
9
，∴
3(x2)
2
65
，∴
3y5
。
∴函数
yx
2
4x2
（
x[1,1]
）的值域为
[3,5]
。
例3．求函数
y2x
2
4x(x
0,4
)
的值域。
【解析】本题中含有二次函数可利用配方法求解，为便于计算不妨设：
f(x)x
2
4x(f(x)0)
配方得：
f(x)(x2)
2
4(x
0,4
)
利用二次函数的相关知识得
f(x)
0,4
，从而得出：
y
0,2
。
说明：在求解值域(最值)时，遇到分式、根式、对数式等类型时要注意函数本身定义域的限制，本题为：
f(x)0
。
例4．若
x2y4,x0,y0
，试求
lgxlgy
的最大值。
.
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【分析与解】本题可看成第一象限内动点
P(x,y)
在直线
x2y4
上滑动时函数
lgxlgylgxy
的最大
值。利用两点
(4,0)
，
(0,2)
确定一条直线，作出图象易得：
x(0,4),y(0,2),而lgxlgylgxylg[y(42y)]lg[2(y1)
2
2]
，y=1时，
lgxlgy
取最大
值
lg2
。
【练习】
2．求下列函数的最大值、最小值与值域：
①
yx
2
4
x
1
； ②
yx
2
4x1,x[3,4]
； ③
yx
2
4x1,x[0,1]
；
1
x
2
2x4
④
yx
4
x
1,
x
[0,5]
；
○
5
y
，
x[,4]
；
○
6
yx
2
2x3
。
4
x
2
【参考答案】①
[3,)
；②
[2,1]
；③
[2,1]
；④
[3,6]
；
○
5
[6,
73
]
；
○
6
[0,2]
4
三
．
反函数法
：反函数的定义域就是原函数的值域，利用反函数与原函数的关系，求原函数的
值域。
适用类型：分子、分母只含有一次项的函数(即有理分式一次型)，也可用于其它易反解出自变量的函数
类型。
例5．求函数
y
2x
的值域。
x1
分析与解：由于本题中分子、分母均只含有自变量的一次型，易反解出
x
，从而便于求出反函数。
y
y
2x
反解得
x
，故函数的值域为
(,2)(2,)
。
2y
x1
【练习】
1．求函数
y
2x3
的值域。
3x2
d
axb
，
c
0,
x
的值域。
c
cxd
2
3
2aa
(,)
；
(,)(,)
。
3cc
2．
求函数
y
【参考答案】1．
(,)
四
．
分离变量法
：
适用类型1：分子、分母是一次函数的有理函数，可用分离常数法，此类问题一般也可以利用反函数法。
.
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