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2024年3月21日发(作者：二进制转换菜鸟)

反函数

知识精要：

1、反函数定义

一般地，对于函数y=f(x)，设它的定义域为D，值域为A，如果对A中任意

一个值y，在D中总有唯一确定的x值与它对应，使y=f(x),这样得到的

x=f

1

y

。在习惯上，自变量用x表示，而函数用y表示，所以把它改写为

yf

1

x



xA

2、关于反函数的结论

（1）关于反函数的定义域与值域分别是其原函数的值域和定义域，

（2）互为反函数的两个函数y=f(x)与

yf

1

x

图像关于直线y=x对称；若点M

（a，b）在y=f(x)的图像上，则点

M

'

(b,a)必在

yf

1

x

图像上；

（3）一般地，偶函数不存在反函数(y=c,

x

0

除外，其中c为常数)，奇函数不

一定有反函数，若有反函数，则反函数也是奇函数；

（4）原函数与其反函数的单调性相同，但单调区间不一定相同，单调函数必有

反函数，有反函数的函数不一定是单调的，比如

y

1

；

x

（5）y=f(x)与

yf

1

x

互为反函数，设f(x)定义域为D，值域为A，则有

f[

f

1

x

]=x

xA

,

f

1

f

x

x

xD

;

（6）如果函数y=f(x)的图像关于直线y=x 对称，那么它存在反函数，并且其反

函数就是它本身；

（7）反函数存在条件：函数的定义域与值域之间的对应关系一一对应；

（8）x=f(y),

yf

1

x

,

xf

1

y

与函数y=f(x)的比较；

函数

x=f(y)

自变量

y是自变量

图像

与y=f(x)的图像关于y=x 对称

和y=f(x)的图像相同

和y=f(x)的图像关于直线y=x 对称

（9

xf

1

y

y是自变量

x是自变量

yf

1

x

）y=f(x)与

yf

1

1

并非一定在y=x上，例如：f(x)=



x

图像若有公共点，

16

x

与

f

1

x

log

1

x

有两个公共点(1/2,1/4)与(1/4,1/2)关于y=x对称



16

3、求反函数的步骤

（1）求反函数y=(x)的值域(若值域显然，解题时常略去不写)；

（2）反解：由y=(x)解出xf

1

y

；

（3）改写：在xf

1

y

中，将x,y互换得到yf

1

x

；

（4）标明反函数的定义域，即（1）中求出的值域。

名题精解

1．求函数的反函数问题

例1、求函数

y

x5

的反函数

2x1

解题策略：按求反函数的常规步骤求解。

1

11

11

x



1

x5

1x51

2

2

1



4

yR且y

解：

y

=

1

2

11

22

2x1

2

xxx

222

由

y

y5

x5

(2x-1)y=x+5

(2y-1)x=5+y

x

原函数反函数为

2y1

2x1

x5

1

xR且x



注意：要养成标明反函数定义域习惯：仿

2x1

2

a

axb

c0

的函数值域为

y/y,yR

。

c

cxd



yf

1

x

=

本例做法如

y

例2、求函数y=

x

2

-8x+13(x≤4)的反函数

解题策略：按求反函数的常规步骤求解。

解：由y=

x

2

-8x+13

y=

x4

3又x4y3

由

y=

x4

3

x4

y3又x4x4y3x4y3

原函数的反函数为y=

x3

x3

22

2

注意：又y=f(x)解出

xf

1

y

时遇到开平方，要根据x的范围确定取“+”号还是

取“-”号。

2

x1

x0

例3、求函数f(x)=

的反函数

2x1

x0

解题策略：按分段函数的反函数分段来求。

解：(1)由y=x

2

1

x0

y≥-1,

由

x

2

1x

2

y1xy1yx

2

1

x0

的反函数是

y=

x1

x1

(2)由y=2x-1(x<0)

y<-1,

由y=2x-1

x=

y1

y2x1

x0

的反函数为

2

y

1

x1



x1

2

x1

x1

由(1) (2)知，原函数的反函数为

f

1

x

1

x1



x1

2

注意：分段函数的反函数要写成分段函数形式。

例4、已知函数f(x-1)=

x

2

-2x+3(x≤0),求

f

1

x

解题策略：先求f(x),再求

f

1

x

解：f(x-1)=

x1

2

x11

f(x)x

2

2

x1

f(x)

3,

又由y=

x

2

+2

x

2

=y-2

x=-

y2

原函数的反函数为

yx2

x3

注意：外函数定义域为内函数值域。

2

x2x3x

,求f

1

()

例5 已知

f()

3x3

x

解题策略：首先求f(x),在求

f

1

x

，最后求

f

1

()

3

x2x331

2,

∴

f(x)2(x0)得f(x)2

解：

f()

3xxx


本文标签： 函数 值域 定义域 分段 解题

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