admin 管理员组文章数量: 1086019
2024年4月15日发(作者：shell脚本写lunix命令)
测度论基础知识总结
测度论基础知识总结
1.集合论
1.1 集合与基本运算
·概念:具有一定性质的对象构成的全体（不严格定义).中间含有的对象叫元素。
全集：要研究的问题涉及到的最大集合.
空集：没有任何元素的集合。
表达方法：｛x(集合元素x）｜x应该有的性质}
·元素与集合的关系:xA，x∉A
·集合之间的关系
只有包含或者不包含
若对于任意元素xA，xB则A包含于B（证明就用这个方法)，A是B的子集（A
包含的特殊情况相等：A=B就是A包含于B同时B包含于A
真子集：A包含于B但AB
·集合的运算
①单个元素的幂集
对于一个集合X，它的幂集表示所有其子集为元素构成的集合。这种以集合为元素的集合,也叫集合族。
②两个集合的运算
交：AB=｛x｜ xA且xB｝
并:AB={x｜ xA或xB｝
差：AB(或写成A—B）=｛x｜ xA且x∉B｝
补：=UA（U是问题要研究的全集)
于是有等式AB=A
B则为B的真子集）
积：（直积）A×B={（x,y）| xA且yB ｝（把A、B中元素构成有序对）
③多个元素的运算
多个交表示所有以λ为角标的集合的并，要求λ
类似有多个并
注：可以是无穷个
【例】
·集合的分析相关性质
①上限集：一列集合｛｝,定义上限集为
②下限集：一列集合{}，定义下限集为
。类似于数列的上极限。
。类似于数列的下极限。
x｜ x>,A={x| x>0｝，则A=
，称为指标集。
③集合列的极限：当上限集等于下限集时极限存在，就是上限集（或下限集)。
④单调集合列:若始终有包含于,也就是集合越来越大，则为递增集合列；反之，若始终有
测度论基础知识总结
，则为递减列。
若为递增列，则有极限
=;若为递减列，则有=.
1.2映射
·定义：
X、Y是两个集合，对任意xX，存在唯一的y=f（x)
Y与之对应，则对应法则f为X到Y的一个映
射，记为f:X→Y.
像集：对于X的一个子集A,像集{f(x）｜ xA｝记为f(A），显然包含于Y
原像集：对于Y的一个子集B，原像集{x｜ x
·满射：f(X)=Y，即Y中所有元素都是像
单射：X中不同元素一定对应Y中不同的像
双射：既是单射又是满射。双射是一一对应的映射。
·逆映射：对于双射，建立一种Y到X的双射,将像映射到原像上。记为
·复合映射：f:X→Y,g:Y→Z，它们的复合g o f：X→Z，写成g（f（X)）
·函数，一个（n维实数向量）到R（实数)上的映射
·性质（映射与交并运算顺序可交换性）
对于f:X→Y，X若干个子集，Y若干个子集
f(U）=Uf()
=
f（
记为
：Y→X
)包含于（只有这一个不一定等于!！!)
不等于的例子：A={1} ,B={-1}，f（x)=｜x｜,则f(A
=
B）f（A)f（B）
用集合相等定义可证明.
1。3集合的势
·对等：如果集合A和B之间可以建立双射，则A对等于B。记为A~B
性质：①A到B有单射→A与B子集对等
A到B有满射→B与A子集对等
②A～B,B～C，则A～C（传递性）
③A～C,B～D，则A×B～C×D
判定:（康托—伯恩斯坦定理）若集合X与Y的一个真子集对等而且Y与X的一个真子集对等，则X～Y
·基数：有限个元素的集合为元素个数.
·势：若两个集合对等，则定义它们的势相等.在有限个元素的情况下，势就是基数。
无限个元素的情况下，定义自然数集的势是（阿列夫0).A的势用|A｜表示。
·若A与B的一个子集对等，则｜A|
|B|，若与B的真子集对等，则｜A｜<|B｜
1.4可数集
·可数集:与自然数集对等的称为可列集,元素有限的集合和可列集统称可数集。
版权声明：本文标题：测度论基础知识总结 内容由网友自发贡献，该文观点仅代表作者本人， 转载请联系作者并注明出处：http://www.roclinux.cn/b/1713177723a622666.html， 本站仅提供信息存储空间服务，不拥有所有权，不承担相关法律责任。如发现本站有涉嫌抄袭侵权/违法违规的内容，一经查实，本站将立刻删除。
发表评论