非对称博弈的一种一般描述及其ESS

第２３卷第６期　

２０Ｏ８年ｌ２月　

成都信息工程学院学报　

ＶｏＩ．２３　Ｎｏ．６　

Ｄｅｅ．２０ｏ８　

ＪＯＵＲＮＡＬ　ＯＦ　ＣＨＥＮＧＤＵ　ＵＮＩＶＥＲＳＩＴＹ　ＯＦ　ＩＮＦＯＲＭＡＴＩＯＮ　ＴＥＣＨＮＯ１Ｘ）ＧＹ　

文章编号：１６７１　１７４２（２００８）０６—０６９８—０６　

非对称博弈的一种一般描述及其ＥＳＳ　

张春华，　丁占文　

（江苏大学理学院，江苏镇江２１２０１３）　

摘要：考虑到博弈进化过程中群体状态的改变会影响参与人的收益支付，给出非对称博弈的一种一般描述，在　

相应的描述下定义非对称博弈的ＥＳＳ。相关结果表明，所定义的非对称博弈的ＥＳＳ具有和对称博弈ＥＳＳ的一些相　

似性质，并且在支付线性的条件下，还具有和对称博弈ＥＳＳ相似的一阶和二阶最优反应条件。最后研究了支付线　

性的刻画方式，给出了具有这种描述特征的一个矩阵博弈实例。　

关键词：非对称博弈；ＥＳＳ；线性支付映射；矩阵博弈　

文献标识码：Ａ　中图分类号：０２２５　

１　引言　

进化博弈理论最重要的基本概念是进化稳定策略ＥＳＳ。Ｍａｙｎａｒｄ　Ｓｍｉｔｈ和Ｐｒｉｃｅ针对单个无限种群的对称　

博弈提出了最原始的ＥＳＳ的概念＿ｌ　Ｊ。该概念提出以后，为了使其与现实更加接近，许多学者就种群内个体数量　

规模有限情形（有限种群）及多种群非对称博弈情形下的ＥＳＳ概念进行了拓展和研究。Ｖｉｃｋｅｒｙ证明如果ＥＳＳ的　

定义放在有限种群下考虑，该种群就可能被突变者入侵，同时得到有限群体的ＥＳＳ并不是纳什均衡的结论［２Ｉ。　

Ｓｃｈａｆｆｅｒ放开种群规模无限大的假定，考察了有限种群的进化稳定性并提出了有限规模种群ＥＳＳ的概念［３。３］　

Ｄａｎｉｅｌ　Ｂ．Ｎｅｉｌｌ在分析Ｓｃｈａｆｆｅｒ有限规模群体模型的基础上定义了大种群的ＥＳＳ［　，证明该种群不会被突变者入　

侵（如果假设群体规模足够大，但不是无穷大）。这些研究是单种群对称博弈在种群规模不是无穷大情形下关于　

ＥＳＳ概念的拓展。现实中许多博弈可能发生在两类或者多类群体的个体之间，他们进行的是非对称博弈，Ｔａｙ—　

ｌｏｒ，Ｓｗｉｎｋｅｌｓ，Ｃｒｅｓｓｍａｎ和Ｈｏｆｂａｕｅｒ等给出了非对称博弈的一种ＥＳＳ的概念，但最后都等价于严格纳什均衡。　

Ｇａｒａｙ和Ｖａｒｇａ对多种群非对称博弈定义了严格Ｎ种群ＥＳＳ的概念ｌ５　Ｊ。Ｃｒｅｓｓｍａｎ、Ｇａｒａｙ和Ｈｏｆｂａｕｅｒ认为　

Ｇａｒａｙ和Ｖａｒｇａ定义的ＥＳＳ条件要求太严格，最终状态可能不会实现。于是他们研究了Ｎ类频率依赖的种群进　

化稳定策略，并提出了此博弈下ＥＳＳ充要条件，然后分别从单态和多态两方面对ＥＳＳ进行了研究ｌ６］。这些研究　

工作是ＥＳＳ概念在非对称多种群博弈下的一些推广，但这些工作中关于个体收益及种群平均收益都能够由各种　

群的策略组合确定，而且可以由支付矩阵刻画。试图给出非对称博弈的较为一般的描述，并在此描述下定义相应　

的ＥＳＳ。　

对称博弈考虑仅有一种类型的博弈群体，每个参与人都有　种纯策略ｅ　，ｅ　，…，　，策略空间为Ｓｆ＝｛（　１，　

ｌ　

２，…，ｚ　）：∑　＝１｝，博弈的收益是对称的，使用策略ｚ的参与人与策略Ｙ的参与人博弈时，其收益支付为Ｕ　

（ｚ，Ｙ）。对称博弈就描述为Ｇ＝｛Ｓ，；“（．３７，　）｝。Ｍａｙｎａｒｄ　Ｓｍｉｔｈ定义，策略　称为博弈的一个ＥＳＳ，如果它满足　

以下一阶和二阶最优反应条件：　

“（ｙ－，　）　“（Ｙ，２），Ｖｙ６Ｓｌ　

Ｕ（Ｙ，　）２“（　，　）　“（　，Ｙ）＞“（Ｙ，Ｙ），Ｙ　≠　

（１）　

（２）　

非对称博弈则考虑参与人有多种类型，例如两种类型从而有两个群体：群体１和群体２。类型１有　个纯策　

略　，　，…，　，类型２有７７＂／个纯策略　，　，…，　。类型１和类型２的策略空间分别为Ｓ　＝｛（　ｌ＇　２，…，　

”　ｉｌ，ｌ　

ｚ　）．　＝１｝及ｓ　＝｛（Ｙｌ，Ｙ２，…，Ｙ　）．　＝１｝。博弈在类型１和类型２的参与人之间进行，类型１的策略　

与类型２的策略Ｙ构成的策略组合（ｚ，　）完全确定了两种类型参与人各自的支付：类型１的支付ａ（　，Ｙ）及类　

型２的支付ｂ（　，Ｙ），此时两种类型的非对称博弈就描述为Ｇ＝｛Ｓ　Ｓ　；ａ（．Ｔｇ，Ｙ），ｂ（．２７，Ｙ）｝。这是博弈只在不　

收稿日期：２００８．０４—２２　

基金项目：国家自然科学基金资助项目（９０６１００３１）　

第６期　张春华等：非对称博弈的一种一般描述及其ＥＳＳ　６９９　

同类型之间进行时人们通常使用的非对称博弈的一种描述方式。　

虽然只研究不同类型之间的博弈，博弈只在不同类型之间进行，但参与人的收益是否完全取决于自己和其他　

群体的策略选择呢？以生态进化为例，不同类型的种群相互博弈而演化。种群演化的收益是适应度，可以认为，　

每个个体其策略选择的适应度除了与自己和其他群体的策略选择有关外，还应该与其所在群体目前的进化状态　

有关，个体适应度与其所在群体休戚相关。博弈进化过程中，从一般意义讲，群体状态的演化和改变同时改变了　

参与人个体的博弈环境，从而影响收益支付。所以非对称博弈的描述可以更具一般性，把参与人的收益还与自己　

所在群体的状态有关这一因素纳入到模型中去。对非对称博弈进行这种更具一般性的描述，并在此描述下定义　

博弈的ＥＳＳ。　

２非对称博弈的一种一般表示　

博弈不对称时，存在多种类型的参与人，博弈只在不同类型之间进行。为了叙述方便，后面以两种类型为例　

一

（文中的分析方法对多种类型同样适用）。设两种类型都只有有限个纯策略，但参与博弈的参与人数量很大。第　

种类型的纯策略设为　，　，…，　，第二种类型的纯策略用　，　，…，　表示。类型ｌ的策略空间Ｓ　＝　

｛（　１，ｚ２，…，　）．　＝１｝，类型２的策略空间Ｓ　＝｛（Ｙｌ，Ｙ２，…，　）．　

Ｊ一■　

＝１｝。类型１的混合策略ｚ∈Ｓ　可　

以表示为．２７：　ｚ　，类型２的混合策略　∈Ｓ　可以表示为Ｙ＝　。设群体ｌ使用纯策略　的参与人比例为　

ｚ　，则　＝（　。，ｚ２，…，ｚ　）表示其状态向量，作为策略组合它也可以解释为在此状态下群体中每个参与人都在使　

用的同一个混合策略。群体２的状态向量记为Ｙ：（Ｙｌ，Ｙ２，…，Ｙ　）。（ｚ，　）称为两个群体的联合状态，或称为博　

弈的状态。　

类型ｌ的参与人使用策略与群体２进行博弈时，他的支付取决于３个方面：（１）类型１的状态ｚ；（２）类型２　

的状态Ｙ；（３）自己使用的策略Ｐ。故其期望支付可以表示为　

Ｕ＝“（　，Ｙ）（Ｐ）　（３）　

其中，“（．２７，　）是Ｓ　上的实值函数，是类型１的参与人个体策略Ｐ的函数。在博弈状态（ｚ，　）下，参与人选择策　

略Ｐ后，其支付收益就由函数“（ｚ，　）确定。或者说，存在Ｓ　×Ｓ　到定义于Ｓ　上的函数空间Ｆ（Ｓ　）的映射Ｕ：　

Ｓ　×Ｓ　一Ｆ（Ｓ　），使得在任意博弈状态（ｚ，　）下，确定了类型１的参与人的支付函数Ｕ（ｚ，Ｙ）：当他使用策略Ｐ　

参与博弈时，他的收益是Ｕ（ｚ，Ｙ）（Ｐ）。　

同样，博弈状态（　，　）下，类型２的参与人使用策略ｑ的（期望）支付可以表示为　

＝　

（　，Ｙ）（ｑ）　（４）　

（　，　）是由状态（．２７，　）决定的类型２的参与人的支付函数。　

定义１（支付映射）　映射Ｕ：Ｓ　×Ｓ　一Ｆ（ｓ　），７，３：Ｓ　×Ｓ　一Ｆ（Ｓ　），分别称类型１和类型２的支付函数映　

射，简称支付映射。　

于是两种类型的非对称博弈其一般描述可以表示为Ｇ＝｛Ｓ　，Ｓ　；“，　｝，其中“，　分别是该类型１和类型２　

的支付映射。　

３非对称博弈的ＥＳＳ　

３．１非对称博弈ＥＳＳ的定义　

现在考虑两种类型的非对称博弈Ｇ＝｛Ｓ　，Ｓ　，；Ｕ，　｝。假设博弈位于状态（土，夕），即群体１和群体２使用各　

自纯策略人数的比例向量分别为　和９，或者群体１的参与人都在使用混合策略　，群体２的参与人都在使用混　

合策略　。　

若群体ｌ中有策略Ｐ入侵，入侵比例为ｅ（群体中比例为￡的参与人使用策略Ｐ），则入侵后群体１的状态为　

ｅ　＋（１一ｅ）　。　能成为类型１的进化稳定策略，是指量能抵抗变异策略Ｐ的人侵。　

定义２称为类型１关于类型２的状态．　的进化稳定策略（ＥＳＳ），如果对任意的策略Ｐ∈Ｓ　（ｐｖａ　），存在　

７００　成都信息　工程学　院　学报　第２３卷　

（Ｐ）＞０，使得当０＜￡＜　（Ｐ）时，成立不等式　

“（￡　＋（１一ｅ）　，　）（　）＞“（￡　＋（１一￡）　，　）（Ｐ）　（５）　

不等式（５）的含义是，在变异策略入侵后的状态下，在位策略　比变异策略Ｐ获得更高的收益。从进化选择　

的观点看，变异策略Ｐ最终会被淘汰。　

定义３（ＥＳＳ）博弈状态（ｙ－，　）称为博弈的一个进化稳定策略（ＥＳＳ），如果萱是类型１关于９的ＥＳＳ，并且　

也是类型２关于　的ＥＳＳ。也就是说，对任意的（Ｐ，ｑ）∈Ｓ　×Ｓ　（户≠　，ｑ≠　），存在　（Ｐ）＞０，否（ｑ）＞０，使得　

当０＜￡＜；（Ｐ），０＜　＜　（ｑ）时，下面两个不等式都成立　

“（￡　＋（１一￡）皇，　）（５ｃ）＞“（ｅｐ＋（１一￡）　，　）（Ｐ）　（６）　

（　，曲＋（１一　）夕）夕）＞　（ｙ－，曲＋（１一　）　）（ｑ）　（７）　

下面去推导，当类型１与类型２的支付映射“（ｚ，　），　（ｚ，　）都是线性映射时，这样定义的ＥＳＳ具有和对称　

博弈相似的一阶和二阶最优反应条件刻画方式。　

３．２线性支付映射下的ＥＳＳ的等价形式　

当“，　是线性映射时，（６）、（７）式可化为　

￡［“（Ｐ，　）（　）一“（Ｐ，　）（Ｐ）］＋（１一ｅ）［“（士，　）（　）一“（　，　）（Ｐ）］＞０　（８）　

艿［　（卫，ｑ）（　）一　（　，ｑ）（ｑ）］＋（１一　）［　（　，　）（夕）一　（　，夕）（ｑ）］＞０　

由于￡可以充分小，（６）式等价于以下两个条件：　

“（　，　）（　）　“（堂，夕）（　），Ｖ　Ｐ∈Ｓ　

（９）　

（１０）　

“（　，夕）（　）＝“（　，　）（Ｐ）＝　（Ｐ，夕）（２）＞“（Ｐ，　）（Ｐ），ＶＰ≠２　（１１）　

（１２）　

（１３）　

同样（７）式等价于以下两个条件　

（２，夕）（夕）　（土，　）（ｑ），Ｖ　ｑ∈Ｓ　

（　，　）（夕）＝　（卫，　）（ｑ）＝￣ｖＣｔ，ｑ）（　）＞　（２，ｑ）（口），Ｖ　ｑＣ：ｐ　

（８）一（９）式以及（１０）一（１１）式就是类似于对称博弈中ＥＳＳ所满足的一阶和二阶最优反应条件（１）一（２）。　

当然，这样的结果是由“，　，线性条件保证的。后面第４部分研究在非对称博弈中，线性支付映射Ｕ，　，的　

刻画方式。　

３．３　ＥＳＳ与纳什均衡　

对于上述非对称博弈Ｇ＝｛Ｓ　，Ｓ　；“（　，　），　（ｚ，．ｙ），（ｚ，＿），）∈Ｓ　×Ｓ　｝，容易定义它的纳什均衡。　

定义４（纳什均衡）策略组合（士，夕）称为博弈的一个纳什均衡，如果它满足下面两个不等式：　

“（　，　）（　）三三三“（　，夕）（Ｐ），ＶＰ∈Ｓ　（１４）　

（土，　）（夕）　（童，　）（ｑ），Ｖ　ｑ∈Ｓ　（１５）　

如果户≠　，ｑ≠夕时（１４）和（１５）严格不等式成立，则称（２，夕）为博弈的严格纳什均衡。　

性质１如果类型１与类型２的支付映射“（　，　），　（　，　）都是连续的，则博弈的任何ＥＳＳ都是纳什均衡。　

证明在（６）、（７）式中分别令ｅ一０，　一０，即得（１４）、（１５）式。证毕。　

用△　，ｚ￣Ｅｓｓ分别表示博弈的纳什均衡集合与ＥＳＳ集合。性质１指出，△￡ＳＳ　△　。这一结果与对称博弈完　

全一致。　

性质２如果支付映射“（　，　）与ｚ无关，　（　，＿ｙ）与　无关，则博弈的ＥＳＳ等价于严格纳什均衡。　

证明　当“（　，　）与ｚ无关，　（　，．ｙ）与　无关时，“（　，ｙ）－－“（．ｙ），　（ｚ，．ｙ）三　（ｚ），则不等式（６）、（７）式等　

价于　

“（　）（２）＞“（　）（Ｐ）ＶＰ∈Ｓ　，户≠　

（　）（　）＞　（　）（ｑ）Ｖ　ｑ∈Ｓ，　，ｑ≠　

显然，（１６）和（１７）就是此时严格纳什均衡的定义。证毕。　

（１６）　

（１７）　

引言中已经指出，Ｔａｙｌｏｒ，Ｓｗｉｎｋｅｌｓ，Ｃｒｅｓｓｍａｎ和Ｈｏｆｂａｕｅｒ等给出的非对称博弈ＥＳＳ概念，最后都等价于严格　

纳什均衡。在那些模型中他们使用的都是非对称博弈的描述：一个类型的支付只取决于其他类型的状态和自己　

的策略选择，而与所在类型的状态无关。在这里，条件“（　，　）与　无关、　（　，　）与　无关正好对应那样的情　

第６期　张春华等：非对称博弈的一种一般描述及其ＥＳｓ　７０ｌ　

形。性质２表明，在这种特殊情形下ＥＳＳ概念与Ｈｏｆｂａｕｅｒ等正好是一致的。　

４线性支付映射　

４．１纯支付函数矩阵　

已经知道，ＥＳＳ的一阶和二阶最优反应条件是由支付函数的线性保证的。对称博弈其支付的线性由支付矩　

阵决定，下面讨论非对称博弈其支付映射线性的刻画方式。　

对任意的（　，　）∈Ｓ，　×Ｓ　（　，　）＝（墨　，．　）。注意到∑ｚ　＝１，∑∞＝１，有　

（Ｘ，Ｙ）：ｚ１（　，Ｅｙｊ￣ｊ）＋　２（　，∑　，　）＋…＋ｚ　（　，∑　）　

＝Ｘｌ　Ｅｙｊ（　，　）＋ｘ２∑　（　，　）＋…＋　Ｅｙｊ（　，　）　

＝

∑∑ｚ　，（　，　）　．　（１８）　

记“　“（　，　），它是博弈状态（　，　）下确定的类型１的支付函数，称为类型１关于纯策略状态（　，　）的　

支付函数。注意，“ｆ　是定义在－ｓ　上的函数，“　Ｆ（Ｓ　），类型１的参与人使用策略Ｐ参与博弈，其（期望）支付是　

ｕｉｊ（　）。　

如果Ｕ是线性映射，由（１８）式得到　

“（　，Ｙ）＝∑Ｙ］ｘｉｙｊｕ（　，　）：∑Ｅｘｉｙ￣ｕ　＝　・ｕｙ　（１９）　

其中Ｕ＝（“　）　，“　“（　，　）是定义在在ｓ　上的函数。　

反之，对任意的“ｆ　∈Ｆ（ｓ　），Ｓ　上的函数矩阵【，按照（１９）式可以确定（类型１）的支付映射Ｕ。　

定义５（纯支付函数矩阵）　Ｕ＝（Ｕ　称为支付映射Ｕ确定的（类型１的）纯策略状态支付函数矩阵，　

简称为映射“的纯支付函数矩阵。　

根据上面的讨论，有　

性质３（类型１的）线性支付映射“由其纯支付函数矩阵Ｕ：（“　）　唯一确定，（类型２的）线性支付　

映射　由其纯支付函数矩阵　：（　）　唯一确定。　

已知ｕ和Ｖ后，根据（１９）式，状态（ｚ，　）下类型１的策略Ｐ和类型２的策略ｑ各自的支付分别由以下（２０）　

式和（２１）式确定：　

“（　，Ｙ）（Ｐ）＝ｚ・Ｕ（ｐ）ｙ　（２０）　

（　，Ｙ）（ｑ）＝ｚ・Ｖ（ｑ）Ｙ　（２１）　

其中ｕ（ｐ）、Ｖ（ｇ）分别是纯支付函数矩阵己，和Ｖ确定的策略Ｐ和ｑ的支付矩阵。　

４．２特殊情形　

如果类型１的纯支付函数矩阵Ｕ＝（“　）　各行是同一个函数向量Ｕ＝（“ｌ，　２，…，Ｕ　），注意到∑　ｆ＝１，　

则类型１策略Ｐ的支付为　

Ｕ（　，Ｙ）（Ｐ）＝　・Ｕ（Ｐ）　＝“（Ｐ）・ｙ　（２２）　

如果每个　（Ｐ）也是Ｐ的线性函数，则存在　维向量Ａ　使得，Ｕ　（Ｐ）＝Ｐ・Ａ　，于是类型１策略Ｐ的支付又　

可以化为　

Ｕ（　，ｊ，）（Ｐ）＝户・　（２３）　

其中Ａ是以Ａ　（　１，２，…，　）为列向量的矩阵。（２３）式就是非对称博弈人们常用的关于支付的矩阵表示，Ａ　

就是通常的支付矩阵。　

５一个实例・Ｉ矩阵博弈　

最后，给出具有文中描述特征的非对称博弈的一个示例——可有支付矩阵刻画的矩阵博弈。　

考虑两个群体，每个群体内部进行对称博弈的同时还进行两个群体之间的非对称博弈，这些博弈都使用矩阵　

成都信息工程学　院学报　第２３卷　

描述。用Ｓ　、Ｓ　分别表示群体ｌ和群体２的策略空间。群体ｌｌ中进行对称博弈Ｇｌ＝｛Ｓ　；Ａ｝，群体２中进行对　

称博弈Ｇ２＝｛Ｓ　；Ｂ｝，其中Ａ、Ｂ分别是Ｇ１和Ｇ２的支付矩阵。两个群体之间进行非对称博弈Ｇ１２：｛ｓ　，Ｓ　；　

Ｃｌ，Ｃ２｝，其中Ｃｌ为类型１的支付矩阵，Ｃ２为类型２的支付矩阵。博弈Ｇ要求每个参与人的策略选择同时参与　

两个子博弈，即与所在群体进行的内部对称博弈及与另一群体的外部非对称博弈。参与人的支付为内外两个子　

博弈的支付之和。若群体ｌ的状态为ｚ，群体２的状态为Ｙ，则类型１的参与人策略Ｐ的期望支付为　

“＝Ｐ‘　＋Ｐ’Ｃｒｙ　（２４）　

类型２的参与人策略ｑ的期望支付为　

＝ｑ。Ｃ２ｘ＋ｑ。Ｂｙ　（２５）　

（２６）　

对任意（ｚ，Ｙ）∈Ｓｌ×Ｓ２，（２４）式定义了Ｓｌ上的函数“（　，Ｙ）：　

Ｕ（　，Ｙ）（　）＝Ｐ・Ａｒ＋Ｐ‘Ｃ１Ｙ，Ｖ　Ｐ∈Ｓ１　

对任意（　，Ｙ）∈Ｓｌ×Ｓ２，（２５）式定义了Ｓ２上的函数　（ｚ，Ｙ）：　

（ｚ，　）（ｑ）＝ｑ・Ｃ２ｘ＋ｑ・Ｂ　，Ｖ　ｑ∈Ｓ２　（２７）　

于是，博弈Ｇ：｛Ｓ　，Ｓ　；“，　｝，Ｕ、　由（２６）式和（２７）式定义，表示类型１和类型２的支付映射。显然映射　

（ｚ，　）一“（　，ｊ，）及（　，　）一　（ｚ，　）都是线性的。　

下面两个命题给出子博弈Ｇｌ、Ｇ２、Ｇ１２和博弈Ｇ之间纳什均衡和ＥＳＳ的关系。命题ｌ的结论很明显，证明　

从略。　

命题１如果ｄｒ是Ｇｌ的对称纳什均衡，　是Ｇ２的对称纳什均衡，并Ｎ＿（ｄｒ，夕）是Ｇｌ２的纳什均衡，则（　，夕）是　

博弈Ｇ的纳什均衡。　

命题２如果　是对称博弈Ｇｌ的ＥＳＳ，夕是对称博弈Ｇ２的ＥＳＳ，并且（卫，夕）是Ｇｌ２的纳什均衡，则（　，　）是　

博弈Ｇ的ＥｓＳ。　

一

证：由于Ｇ中支付映射是线性的，只需验证策略组合（ｄｒ，夕）满足一阶和二阶最优反应条件（１Ｏ）一（１３）式。　

阶最优反应条件（１０）式及（１２）式就是纳什均衡条件，由命题１可以推出。下面验证二阶最优反应条件。　

设Ｕ（土，夕）（　）＝“（　，夕）（Ｐ），由（２６）得　・Ａ　＋　・Ｃ１　：Ｐ・Ａｙｃ＋Ｐ・Ｃ１　，或者　

Ｐ。Ａ　一２。　：　‘Ｃ１．９一Ｐ。Ｃ１．９　（２８）　

因为（２，　）是Ｇｌ２的纳什均衡，（２８）式的右端非负。又因为Ｇｌ的ＥＳＳ也是Ｇｌ的纳什均衡，又得到（２８）式的左　

端非正。所以（２８）式的两端为零。从而　，　

Ｐ・Ａ卫＝　・Ａ　（２９）　

根据对称博弈的二阶最优反应条件，（２９）式意味着Ｐ・Ａｐ＜ｄｒ・Ａｐ。又因为（　，　）是Ｇ１２的纳什均衡，Ｐ・　

Ｃ１９．　・Ｃ１９。所以有Ｐ・Ａｐ＋Ｐ・Ｃｌ．夕＜　・Ａｐ＋　・Ｃ１　，由（２６）式得Ｍ（Ｐ，夕）（　）＜“（Ｐ，　）（士）。于是证得二　

　。

“（　，　）（ｄｒ）＝“（　，夕）（Ｐ）＝＞“（Ｐ，　）（Ｐ）＜“（Ｐ，夕）（ｄｒ）　

阶最优反件（１１）：　

同样可证二阶最优反件（１３）。证毕。　

参考文献：　

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—

３３２．　

［１３］　

Ｔａｙｌｏｒ，Ｐ．Ｅｖｏｌｕｔｏｎａｒｙ　Ｓｔａｂｌｅ　Ｓｔｒａｔｅｇｉｅｓ　ｗｉｔｈ　Ｔｗｏ　Ｔｙｐｅｓ　ｏｆ　Ｐｌａｙｅｒ［Ｊ］．Ｊｏｕｍａｌ　ｏｆ　ａｐｐｌｉｅｄ　Ｐｒｏｂａｂｉｌｉｔｙ，１９７９，　

１６：７６—８３．　

［１４］　

Ｗｅｉｂｕｌｌ，Ｊ．Ｅｖｏｌｕｔｉｏｎａｒｙ　Ｇａｍｅ　Ｔｈｅｏｒｙ［Ｍ］．Ｃａｍｂｒｉｄｇｅ，Ｍａｓｓａｃｈｕｓｅｔｔｓ：ＭＩＴ　Ｐｒｅｓｓ．１９９５．　

Ａ　ｇｅｎｅｒａｌ　ｆｏｒｍ　ｏｆ　ａｓｙｍｍｅｔｒｙ　ｇａｍｅ　ａｎｄ　ｉｔｓ　ＥＳＳ　

ＺＨＡＮＧ　Ｃｈｕｎ—ｈｕａ，ＤＩＮＧ　Ｚｈａｎ—ｗｅｎ　

（Ｆａｃｕｌｔｙ　ｏｆ　Ｓｃｉｅｎｃｅ，Ｊｉａｎｇｓｕ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｚｈｅｎｊｉａｎｇ　２１２０１３，Ｃｈｉｎａ）　

Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔａｋｉｎｇ　ｉｎｔｏ　ｃｏｎｓｉｄｅｒａｔｉｏｎ　ｔｈｅ　ｉｎｆｌｕｅｎｃｅ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｐｏｐｕｌａｔｉｏｎ　ｓｔａｔｅｓ　ｏｎ　ｔｈｅ　ｉｎｄｉｖｉｄｕａｌ　ｐａｙｏｆｆｓ　ｉｎ　ｔｈｅ　ｅｖｏｌｕｔｉｏｎａｒｙ　

ｄｙｎａｍｉｃｓ　ａ　ｇｅｎｅｒａｌ　ｆｏｒｍ　ｏｆ　ｔｈｅ　ａｓｙｍｍｅｔｙ　ｒｇａｍｅ　ｉｓ　ｐｒｅｓｅｎｔｅｄ．Ｔｈｅ　ＥＳＳ　ｏｆ　ｔｈｅ　ａｓｙｍｍｅｔｒｙ　ｇａｍｅ　ｉｎ　ｔｈｉｓ　ｇｅｎｅｒａｌ　ｆｏｒｍ　

ｉｓ　ｔｈｅｎ　ｄｅｆｉｎｅｄ．Ｔｈｅ　ｒｅｓｕｌｔｓ　ｓｈｏｗ　ｔｈａｔ　ｔｈｅ　ＥＳＳ　ｈａｓ　ｔｈｅ　ｓｉｍｉｌａｒ　ｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓ　ｏｆ　ｔｈｅ　ＥＳＳ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｓｙｍｍｅｔｙ　ｒｇａｍｅ　ａｎｄ　ｍｅｅｔｓ　

ｔｈｅ　ｓｉｍｉｌａｒ　ｆｉｒｓｔ—ｏｒｄｅｒ　ａｎｄ　ｓｅｃｏｎｄ—ｏｒｄｅｒ　ｂｅｓｔ—ｒｅｐｌｙ　ｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｓｙｍｍｅｔｒｙ　ｇａｍｅ　ｗｈｅｎ　ｔｈｅ　ｐａｙｏｆｆ　ｉｓ　ｌｉｎｅａｒ

Ｆｉｎａｌｌｙ　

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ｔｈｅ　ｆｏｒｍｕｌａｔｉｏｎ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｌｉｎｅａｒ　ｐａｙｏｆｆ　ｉｓ　ｇｉｖｅｎ　ａｎｄ　ａｓ　ａｎ　ｅｘａｍｐｌｅ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｅｘｔｅｎｓｉｖｅ　ｆｏｒｍ　ａ　ｍａｔｒｉｘ　ｇａｍｅ　ｉｓ　ｓｔｕｄｉｅｄ

Ｋｅｙ　ｗｏｒｄｓ：ａｓｙｍｍｅｔｒｙ　ｇａｍｅ；ＥＳＳ；ｌｉｎｅａｒ　ｐａｙｏｆｆ—ｍａｐｐｉｎｇ；ｍａｔｒｉｘ　ｇａｍｅ　

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