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2024年4月15日发(作者：微量元素表口诀)

有限元分析的基本原理

有限元原理和基本概念是用较简单的问题代替复杂问题后再求解。它将求解域看成是

由许多称为有限元的小的互连子域组成，对每一单元假定一个合适的(较简单的)近似解，

然后推导求解这个域总的满足条件(如结构的平衡条件)，从而得到问题的解。这个解不是

准确解，而是近似解，因为实际问题被较简单的问题所代替。由于大多数实际问题难以得

到准确解，而有限元不仅计算精度高，而且能适应各种复杂形状，因而成为行之有效的工

程分析手段。

有限元是那些集合在一起能够表示实际连续域的离散单元。有限元的概念早在几个世

纪前就已产生并得到了应用，例如用多边形(有限个直线单元)逼近圆来求得圆的周长，但

作为一种方法而被提出，则是最近的事。

有限元法最初被称为矩阵近似方法，应用于航空器的结构强度计算，并由于其方便性、

实用性和有效性而引起从事力学研究的科学家的浓厚兴趣。经过短短数十年的努力，随着

计算机技术的快速发展和普及，有限元方法迅速从结构工程强度分析计算扩展到几乎所有

的科学技术领域，成为一种丰富多彩、应用广泛并且实用高效的数值分析方法。

有限元方法与其他求解边值问题近似方法的根本区别在于它的近似性仅限于相对小的

子域中。

20世纪60年代初首次提出结构力学计算有限元概念的克拉夫(Clough)教授形象地将

其描绘为：“有限元法=Rayleigh-Ritz法+分片函数”，即有限元法是Rayleigh-Ritz法

的一种局部化情况。不同于求解(往往是困难的)满足整个定义域边界条件的允许函数的

Rayleigh-Ritz法，有限元法将函数定义在简单几何形状(如二维问题中的三角形或任意四

边形)的单元域上(分片函数)，且不考虑整个定义域的复杂边界条件，这是有限元法优于其

他近似方法的原因之一。

对于不同物理性质和数学模型的问题，有限元求解法的基本步骤是相同的，只是具体

公式推导和运算求解不同。有限元求解问题的基本步骤通常为：

第一步：问题及求解域定义

根据实际问题近似确定求解域的物理性质和几何区域。

第二步：求解域离散化

将求解域近似为具有不同有限大小和形状且彼此相连的有限个单元组成的离散域，习

惯上称为有限元网络划分。显然单元越小(网络越细)则离散域的近似程度越好，计算结果

也越精确，但计算量及误差都将增大，因此求解域的离散化是有限元法的核心技术之一。

有限元原理和基本概念

第三步：确定状态变量及控制方法

一个具体的物理问题通常可以用一组包含问题状态变量边界条件的微分方程式表示，

为适合有限元求解，通常将微分方程化为等价的泛函形式。

第四步：单元推导

对单元构造一个适合的近似解，即推导有限单元的列式，其中包括选择合理的单元坐


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