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2024年4月16日发(作者：mysql access denied for user)

SBM模型

由于CCR和BCC模型无法衡量全部松弛变量，因此在效率评估中存在缺陷，ADD模型能

够从松弛变量入手，这样可以考虑到所有非效率的来源，但是ADD模型由于其自身设置的缺

陷，不能精确地衡量效率水平，从而在使用中具有很大的局限性，在这里我们将介绍另一种

非射线性的模型——SBM模型（Slack Based Model），这是一种较为完善的DEA拓展模型，

可以很好地解决ADD模型存在的问题。

（1）SBM模型介绍

SBM模型Tone（1997，2001），具有两个重要的特性：

① 对效率衡量的结果是不受衡量投入和产出项所用的单位影响的。

② 效率值与每个投入和产出的差额是单调递减的。

对于有

m

种投入和

r

种产出的生产，我们可以得到生产可能集合：

x,y

xX

,yY

,

0

（3.2）

P

使用SBM模型对具有

m

种投入和

s

种产出的DMU

(x

o

,y

o

)

的效率进行衡量，则式（3.3）

描述的是SBM模型的基本形式：

m

1

sx

io

k

k1

m

*min

S

1

1(

r1

s

r

y

ro

)

（3.3）

s

1

s.t.

x

o

X

s

y

o

Y

s

0,s

0,s

0,

在这个模型中，我们假定

X0

。如果

x

ko

0

，我们则删去目标函数中的

s

k

x

ko

。如

果

y

ro

0

，则用一个非常小的正数将其代替以保证

s

r

y

ro

在对效率的预测中发挥作用。

该目标函数值

满足上文中提到的第一个重要特性，这一点已经得到了证明，因为目

标函数里分子和分母中的每一部分都是采用的相同的单位。第二个特性也是满足的，通过下

文的分析我们可以清楚地看到这一点。

模型中，

*

表示DMU

(x

o

,y

o

)

的效率值，

s

k

表示第

k

种投入的冗余，

s

r

表示第

r

种产

1

出的不足，

是调整矩阵，

X

表示前沿上的投入量，

Y

则表示前沿上的产出量。

在该模型的目标函数中，

1

m

s/x

ko

为

m

项投入的冗余占各自实际投入量的比例

k1

k

m

的平均值，也即

m

项投入的平均非效率水平，因而分子则反映了各项投入的平均的效率水

平；

1

s

s

r

/y

ro

为

s

项产出的不足占各自实际产出量的比例的平均值，也即

s

项产出的

s

r1

1

S

1

(

r1

s

r

y

ro

)

则表示了产出的效率水平。可见，SBM

s

平均的非效率水平，因而

1

模型中，每个DMU的效率值是各项投入的平均效率水平与各项产出的平均效率水平的乘积。

投入和产出的效率水平都会对SBM效率值产生影响。

由模型（3.3）的目标函数形式，我们可以清楚地看到，SBM模型采用非射线式的方式

直接把松弛变量引入到目标函数之中，这样，相对于射线性的方式来说，因为考虑到了全

部的松弛变量，就能够更为准确地对效率值进行评估。由SBM模型的方程形式可以看出，

SBM效率值

*

满足

0

*1

，且

*

对于

s

k

和

s

r

单调递减，当且仅当

s

=

s

=

0

时，

*

=1，也即DMU

(x

o

,y

o

)

处在效率前沿上。

通过模型（3.3）的约束条件，我们可以观察到，对于任意

k

，

s

k

x

ko

总是成立的，

因而

0s

k

x

ko

1(k1,...,m)

，而只有当该生产不需要任何投入时，才会有

s

k

x

ko

1

。

因此会得到：

0

s

i1

m

k

x

ko

1

（3.4）

m

但这个约束关系对于产出并不成立，因为产出的不足有可能大于实际的产出量，但在任

何情况下都会有：

0

s

r1

s

r

y

ro

（3.5）

s

（2）SBM模型基本形式的求解

在式（3.3）所描述的SBM基本模型中引入一个标量

t

，则原模型可转化为式（3.6）

所描述的线性规划形式：

2

1

m

min

t

ts

k

x

ko

（3.6）

t,

,s

,s

m

k1

1

s

s.t.

1t

ts

r

y

ro

s

r1

x

o

X

s

y

o

Y

s

0,s

0,s

0,t0

在此，为了计算方便，我们定义三个新的变量：

S

ts

，

S

ts

，

t

（3.7）

则式（3.7）所描述的线性规划形式变为如式（3.8）所描述的关于

t

，

S

，

S

和

的

线性规划：



1

m

min

t

S

k

x

ko

（3.8）

m

k1

1

s

s.t.

1t

S

r

y

ro

s

r1

tx

o

XS

ty

o

YS

0,S

0,S

0,t0

假设式（3.8）的最优解是

(

,t,,S,S)

，则我们可以得到式（3.6）的最优解：

*****

*

*

，

*



*

t

*

,s

*

S

*

t

*

,s

*

S

*

t

*

（3.9）

当且仅当

*1

时，DMU

(x

o

,y

o

)

是SBM有效的。这个条件等同于

s

意味着在最优解情况下，不存在投入的过度使用和产出的不足。

对于一个SBM非效率的DMU

(x

o

,y

o

)

，其投入产出向量可以表示为式（3.10）和式（3.11）

的形式：

*

0

且

s

*

0

，

x

o

X

*

s

*

（3.10）

y

o

Y

*

s

*

（3.11）

而通过消除投入的过量和产出的不足，DMU

(x

o

,y

o

)

的效率可以得到提升，从非有效变

为SBM有效，这一过程被称作SBM投影：

ˆ

o

x

o

s

*

（3.12）

x

ˆ

o

y

o

s

*

（3.13）

y

3


本文标签： 模型 效率 产出 投入 水平

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