基于并行神经网络的二维FIR数字滤波器设计

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第３３卷第６期　湖南大学学报（自然科学版）　

ＶｏＩ＿３３．Ｎｏ．６　

２　０　０　６年１　２月　

Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｈｕｎａｎ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（Ｎａｔｕｒａｌ　Ｓｃｉｅｎｃｅｓ）　

Ｄｅｃ．２　０　０　６　

文章编号：１０００．２４７２｛２００６）０６．００７２．０４　

基于并行神经网络的二维ＦＩＲ　

数字滤波器设计　

王小华　．一，龙英　，何怡刚　十　

（１．湖南大学电气与信息工程学院，湖南长沙４１００８２；　

２．长沙理工大学电气与信息工程学院，湖南长沙４１００７７；　

３．长沙学院电子与通信工程系，湖南长沙４１０００３）　

摘要ｉ通过对二维ＦＩＲ线性相位滤波器的幅频响应特性的分析，提出了一种用并行　

神经网络算法来设计二维ＦＩＲ线性相位数字滤波器的新方法，其主要思想是使幅频响应误　

差函擞最小化．该方法避免了矩阵的求逆运算，而且因为采用了并行算法，能快速获得滤波　

器系数．给出了二雏ＦＩＲ圆对称线性相位低通数字滤波器优化设计实例．计算机仿真结果　

表明由该方法设计的二雏数字滤波器，通带和阻带范围波动小，所需计算量非常少，稳定性　

强．　

关键词：二维数字滤波器；线性相位；并行神经网络算法；优化设计　

中图分类号：ＴＰ１８３　文献标识码：Ａ　

Ｄｅｓｉｇｎ　ｏｆ　２一Ｄ　ＦＩＲ　Ｄｉｇｉｔａｌ　Ｆｉｌｔｅｒｓ　

Ｕｓｉｎｇ　Ｐａｒａｌｌｅｌ　Ｎｅｕｒａｌ　Ｎｅｔｗｏｒｋｓ　Ａｌｇｏｒｉｔｈｍ　

ＷＡＮＧ　Ｘｉａｏ—ｈｕａ　，ＬＯＮＧ　ｒｉｎｇ　，ＨＥ　Ｙｉ—ｇａｎｇ　’　

（１　Ｃｏｌｌｅｇｅ　ｏｆ　Ｅｌｅｃｔｒｉｃａｌ　ａｎｄ　Ｉｎｆｏｒｒｎａｔｉ￣ａ　Ｅｎｇｉｎ￣－ｉｎｇ。Ｈｕｍｎ　Ｕｎｉｖ．Ｃｈａｎ　ｈ．Ｈｕｎａｎ　４１００８２，Ｃｈｉｎａ；　

（２．Ｃｏｌｌｅｇｅ　ｏｆ　Ｅｌｅｃｔｒｉｃａｌ　ａｎｄ　Ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ　Ｅｎｇｉｎ￣ｉｎｇ．Ｃｈａｇｎ￣Ｕｎｉｖ　ｏｆ　Ｓｃｉｅｎｃｅ＆Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ。Ｃｈａｎ　ｈａ．Ｈｕｎａｎ　４１００７７，Ｃｈｉｎａ；　

３．Ｄｅｐｔ　ｏｆ　Ｅｌｅｃｔｒｏｎｉｃ　ａｎｄ　Ｃｃｒｎｍｕｍｃａｆｉｏｎ　Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ。Ｃ　ｈａ　Ｕｎｉｖ，Ｃ　ｈａ．Ｈｕｎａｎ　４１０００３．Ｃｌａｉｍ）　

Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ａ　ｎｅｗ　ａｐｐｒｏａｃｈ　ｆｏｒ　ｔｈｅ　ｄｅｓｉｇｎ　ｏｆ　ｔＷＯ—ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ（２一Ｄ）ｆｉｎｉｔｅ—ｉｍｐｕｌｓｅ　ｒｅｓｐｏｎｓｅ（ＦＩＲ）ｌｉｎｅａｒ—　

ｐｈａｓｅ　ｄｉｇｉｔａｌ　ｆｉｌｔｅｒｓ　ｉｓ　ｐｒｅｓｅｎｔｅｄ　ｂａｓｅｄ　ｏｎ　ａ　ｐａｒａｌｌｅｌ　ｎｅｕｒａｌ　ｎｅｔｗｏｒｋｓ　ａｌｇｏｒｉｔｈｍ（ＰＮＮＡ）ｂｙ　ａｎａｌｙｚｉｎｇ　ｔｈｅ　ｃｈａｒａｃ—　

ｔｅｒｉｓｔｉｃｓ　ｏｆ　２一Ｄ　ＦＩＲ　ｌｉｎｅａｒ—ｐｈａｓｅ　ｆｉｌｔｅｒｓ，ｉｔｓ　ｍａｉｎ　ｉｄｅａ　ｉｓ　ｔＯ　ｍｉｎｉｍｉｚｅ　ｔｈｅ　ａｍｐｌｉｔｕｄｅ—ｆｒｅｑｕｅｎｃｙ　ｒｅｓｐｏｎｓｅ　ｅｒｒｏｒ　ｆｕｎｃ—　

ｔｉｏｎ．Ｔｈｅ　ｍｅｔｈｏｄ　ａｖｏｉｄｓ　ｍａｔｒｉｘ　ｉｎｖｅｒｓｉｏｎ。ａｎｄ　ｍａｋｅｓ　ａ　ｖｅｒｙ　ｆａｓｔ　ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｆｉｌｔｅｒ’Ｓ　ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔｓ　ｐｏｓｓｉｂｌｅ　

ｂｅｃａｕｓｅ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｕｔｉｌｉｚａｔｉｏｎ　ｏｆ　ｐａｒａｌｌｅｌ　ａｌｇｏｒｉｔｈｍ．Ｏｐｔｉｍａｌ　ｄｅｓｉｇｎ　ｅｘａｍｐｌｅ　ｏｆ　２一Ｄ　ＦＩＲ　ｃｉｒｃｕｌａｒｌｙ　ｓｙｍｍｅｔｒｉｃ　ｌｉｎｅａｒ．　

ｐｈａｓｅ　ｌｏｗｐａｓｓ　ｆｉｌｔｅｒｓ　ａｒｅ　ｇｉｖｅｎ，ａｎｄ　ｔｈｅ　ｒｅｓｕｌｔｓ　ｓｈｏｗ　ｔｈａｔ　ｔｈｅ　ｒｉｐｐｌｅ　ｉｎ　ｐａｓｓｂａｎｄ　ａｎｄ　ｓｔｏｐｂａｎｄ　ｉｓ　ｍｕｃｈ　ｓｍａｌｌ，ａｎｄ　

ｔｈｅ　ＰＮＮＡ—ｂａｓｅｄ　ｍｅｔｈｏｄ　ｉｓ　ｏｆ　ｓｔｒｏｎｇ　ｓｔａｂｉｌｉｔｙ　ａｎｄ　ｒｅｑｕｉｒｅｓ　ｃｏｎｓｉｄｅｒａｂｌｙ　ｌｉｔｔｌｅ　ａｍｏｕｎｔ　ｏｆ　ｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎｓ．　

Ｋｅｙ　ｗｏｒｄｓ：２—・Ｄ　ｄｉｇｉｔａｌ　ｆｉｌｔｅｒｓ；ｌｉｎｅａｒ—－ｐｈａｓｅ；ｐａｒａｌｌｅｌ　ｎｅｕｒａｌ　ｎｅｔｗｏｒｋ　ａｌｇｏｒｉｔｈｍ；ｏｐｔｉｍａｌ　ｄｅｓｉｇｎ　

在过去的３０年里，二维数字滤波器的设计受到　

最优化方法实现．虽然窗函数法［　具有设计简单、　

了研究人员的广泛重视［　９Ｊ．二维数字滤波器通常　

方便等特点，但设计精度不高，且难以确定最优的窗　

要求满足期望的幅度和相位响应特性，因此，保证二　

函数．ＭｃＣｌｅｌｌａｎ变换法［　］对某些频率响应的滤波器　

维数字滤波器的线性相位显得非常重要．二维ＦＩＲ　

具有很好的逼近效果，但对任意幅度响应的滤波器　

数字滤波器主要采用窗函数法，ＭｃＣｌｅｌｌａｎ变换法及　

设计，变换法难以奏效，特别在设计高阶变换时要求　

基金项目：县家自然科学鼍　（２

００６０５３２００２）；湖南大学撷英计划资助项目（ＮＣＥＴ一０４—０７６７）

．眇　．目．（．５０　６．７７０１４）；湖南省自然科学基金资助项目（０６Ｊ

Ｊ２０２４）；高校博－ｋ点基金资助项目　

作者简介：王小华（１９６８一）．男。湖南常德人。湖南大学博士研究生，长沙理工大学副教授　

通讯联系人。Ｅ．ｍａｉｌ：ｙｇｈｅ＠ｈｎｕ．ｃｎ　

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第５期　王小华等：基于并行神经网络的二维ＦＩＲ数字滤波器设计　７３　

出变换函数的最大值和最小值很困难．最优化方法　

能得到在　。范数意义上最优的滤波器系数，基于　２　

Ｈ（６０１，∞２）＝ｅ－ｊ‘”１　Ｉ　２　２’ｃ　（∞１）Ｈｃ２（∞２）　

（４）　

范数逼近的加权最小二乘法ｌ３－７　Ｊ被认为是一种行　

之有效的优化设计方法，然而在加权最小二乘法中　

不可避免地要进行高阶矩阵的求逆运算，而且矩阵　

的阶数与滤波器的阶数的平方成正比．解析最小二　

乘法ｌ＿８　Ｊ虽然不要进行高阶矩阵的求逆运算，但可能　

式中：ｃ　（∞　）＝［１，ＣＯＳ（∞１），…，ＣＯＳ（７／ｉ０６　）Ｔ，　＝１，　

２；Ｈ＝［ｈ２２，２　Ｊｌ　；２ｈ３２，４Ｈ３３］．该二维线性相位　

ＦＩＲ数字滤波器的幅频响应可表示为　

Ｈａ（∞ｌ，∞２）＝ｃ｝（∞１）Ｈｃ２（∞２），　（５）　

因此，二维线性相位ＦＩＲ数字滤波器的设计问题可　

转化为使全局误差Ｅ（ｃＵ。，∞２）平方和最小化的优化　

导致设计的滤波器不稳定．而文献［９］采用半定规划　

算法（ｓｅｍｉｄｅｆｉｎｉｔｅ　ｐｒｏｇｒａｍｍｉｎｇ）仅仅设计了第一象　

问题，其中Ｅ（∞１，６０２）＝Ｈ　（∞ｌ，∞２）一Ｍｄ（∞ｌ，　

限对称二维滤波器，且计算量较大．　

神经网络在一维ＦＩＲ滤波器优化设计的有效　

性－１　ｏｊ为我们设计二维滤波器提供了一个途径．本文　

提出一种基于并行神经网络的二维ＦＩＲ线性相位　

数字滤波器优化设计方法，基本思想是使神经网络　

的输出与期望二维滤波器的幅频响应之间的全局误　

差平方和最小化．应用该算法设计二维滤波器，不需　

要进行高阶矩阵的求逆运算，且计算量小，算法稳　

定．文中分析了二维ＦＩＲ线性相位数字滤波器的频　

率响应特性，提出了该神经网络算法的收敛定理，给　

出了由该方法设计的二维线性相位ＦＩＲ数字滤波　

器优化设计实例．　

１　二维线性相位ＦＩＲ滤波器幅频特性　

设二维ＦＩＲ数字滤波器的传递函数为　

ＮＩ一１Ｎ２一Ｉ　

Ｈ（Ｚ１，　２）＝∑∑ｈｏｚ　ｊｋ　ｚ　２．（１）　

ｉ＝０　Ｊ　０　

式中：Ｎｌ和Ｎ２为奇整数；ｚ１＝［１，　，…，　

（ＮＩ一　］Ｔ；ｚ２　＝　［１，　ｊ　，…，　（Ｎ２　］Ｔ；Ａ　∈　

ＲＮｌ　Ｎ２

．　

为了获得紧凑的二维线性相位ＦＩＲ数字滤波器　

传递函数表达式，设　

矗＝［Ｈ１ｌ。ｈｌ２，Ｈｌ３；Ｊｌ　，ｈ２２，Ｊｌ五，Ｈ３ｌ，ｈ３２，Ｈ３３］．　

（２）　

式中：Ｈｌｌ，Ｈｌ３，Ｈ３１，Ｈ３３　∈　Ｒ”ｌ　”　；ｈｌ２，ｈ３２　∈　

Ｒ”】　；　２Ｉ，ｈ２３∈Ｒ”　；ｈ２２∈Ｒ；　１＝（ＮＩ一　

１）／２；，ｚ　２＝（Ｎ２—１）／２．　

如要求该二维ＦＩＲ数字滤波器具有线性相位特　

性，则　

Ｈｌ１＝ｆｌｉｐｕｄ（ｆｌｉｐｌｒ（Ｈ３３）），Ｈｌ３＝ｆｌｉｐｕｄ（Ｈ３３），　

Ｈ３ｌ＝ｆｌｉｐｌｒ（Ｈ３３），ｈｌ２＝ｆｌｉｐｕｄ（ｈ３２），　

Ｊｌ　Ｔ１＝ｆｌｉｐｌｒ（Ｊｌ　）．　（３）　

其中ｆｌｉｐｕｄ（ｆｌｉｐｌｒ）分别表示矩阵的垂直翻转和水平　

翻转操作．因此该二维线性相位ＦＩＲ数字滤波器的　

频率响应可表示为　

∞２），Ｍｄ（∞ｌ，∞２）为期望二维滤波器的幅频响应．　

下面先研究求解该优化问题的并行神经网络算　

法，然后给出基于该神经网络算法的二维线性相位　

ＦＩＲ数字滤波器的优化设计实例．　

２　并行神经网络模型　

式（５）可表示为：　

Ｈａ（∞１，∞２）＝ｃ　（∞１）Ｈｃ２（∞２）＝　

ｃ　（∞１）Ｗｃ２（６０２）＝　

”１　２　

∑∑　ＣＯｓ（ｉ０６。）ｃｏｓ（ｊ０６２）．　（６）　

ｉ　０　ｊ　０　

如果获得矩阵ｗ，由式（２），式（３）即可获得二维线　

性相位ＦＩＲ数字滤波器的系数Ａ．对Ｈａ（ｃｃ，ｌ，６０２）均　

匀采样，可获得它的离散表达式　

Ｈｄ［∞ｌ（　２１），∞２（　２）］＝　

ｌ　２　

∑∑ｗ０ｃｏｓ［　ｌ（　）］ｃｏｓ［ｊｃｃ，２（ｍ２）］　

ｉ＝０　ｊ一０　

（７）　

式中：　２１＝１，２，…，Ｍ；　２＝１，２，…，Ｍ；Ｍ为ｃ￡，ｌ，　

ｃｃ，，

的训练样本数．　

由式（７）可建立如图１所示的并行神经网络模　

型，其中输入层至隐层各神经元的权值恒为１，隐层　

各神经元的激活函数分别为　

ｆｏ０：１，…，　ｊ＝ＣＯＳ［ｉ０６１（　１）］ｃｏｓ［ｊ６０２（　２）］，　

ｃｏｓ

：　

［　１６０１（”　１）］ＣＯＳ［ｎ２６０２（　２）］．（８）　

隐层第巧个神经元至输出层的权值均为　，ｃｃ，１，∞２　

∈［０，丌］．　

设　

１　ｏ０ｓ［ｃｃ，　）］　ＯＯ８［　ｍ（１）］　

１　ｏ０ｓ［ｃｃ，　（２）］　ＯＯ８［ｎ，ｏＪｉ（２）］　

：　：　

ｌ　ｏ０ｓ［　（Ｍ）］　

ｏ０ｓ［　（Ｍ）］　

ｉ＝Ｉ，２，　

（９）　

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７４　湖南大学学报（自然科学版）　２００６篮　

图１　并行神经网络模型　

Ｆｉｇ．１　Ｔｈｅ　ｍｏｄｅｌ　ｏｆ　ｐａｒａｌｌｅｌ　ｎｅｕｒａｌ　ｎｅｔｗｏｒｋｓ　

则式（７）的矩阵表达式为　

Ｍ　（ＣＯ１，ＣＯ２）＝　

ｎｄ　ｃｔＴ　Ｗｃｔ２

．　

（１０）　

ｆ　１，　Ｏ≤Ｒ≤ＣＯ６；　

误差函数　

（（Ｕ　一Ｒ）／（（Ｕ　一（Ｕ　），　（Ｕ　≤Ｒ≤（Ｕ　；　

Ｅ＝Ｍｄ　．　（１１）　

【０，　其他

．　

式中：Ｍｄ∈ＲＭ　Ｍ为期望输出；　∈ＲＭ　Ｍ为神经　

网络输出．　

式中：Ｒ＝√（Ｕｆ＋（Ｕ｛；（ＵＤ＝０．４２５ｒｒ；（Ｕ。＝０．５７５兀．　

性能指标　

用本文所介绍的方法设计阶数分别为（Ｎ，Ｎ）　

＝

（７，７），（１１，ｌ１），（１５，１５），（１９，１９），（２３，２３）的二　

Ｊ＝告∑∑Ｅ２（　，　）．　（１２）　

维圆对称低通线性相位ＦＩＲ滤波器，对ｃＵ１，ｃＵ２∈　

１　

ｌ　２　１　

［０，兀］的期望低通滤波器的幅频响应均匀取样Ｍ×　

由式（１０）～式（１２）有　

Ｍ个点，网络结构为Ｍ　×［（Ｎ＋１）／２］０×Ｍ　，将　

ＡＷ＝一７　＝一　器　＝　胁　．　

取样序列送神经网络训练获得神经网络权值ｗ，从　

设ｒ对应本次训练，则权值ｗ按下面的关系调　

而获得滤波器系数．在设计过程中，为提高训练速　

整：　

度，降低滤波器的通带波动，我们采用了变学习率算　

Ｗｆ＋１＝Ｗｆ＋　ｔｌ　ｒｉ．　（１３）　

法．所设计的二维圆对称线性相位滤波器的通带与　

阻带的最大波动、该算法的ＭＡＴＬＡＢ实现所需时间　

式中：　为学习率，且０＜　＜１．　

（ＣＰＵ为Ｃｅｌｅｒｏｎ７３５）见表１．为方便比较，表１中也　

定理　当学习率取为０＜刁＜２／（（　１＋１）（　２　

列出了文献［９］所设计的滤波器的通带与阻带的最　

＋１））时，该神经网络算法是收敛的，其中（　＋　

１）（　，＋１）是隐层神经元个数．　

大波动及所需时间（ＣＰＵ为Ｐｅｔｌｕｍ８６６）．为检验本　

文算法的速度，我们将值取得与文献［９］相同．显　

然，用本文介绍的方法设计的二维ＦＩＲ圆对称低通　

３　应用实例　

线性相位滤波器的性能要远优于用文献［９］介绍的　

半定规划方法所设计的二维滤波器，且本文介绍的　

为验证本文所介绍的并行神经网络算法的有效　

方法的计算量要远小于文献［９］介绍的方法．图２和　

性，我们对文献［９］中的实例进行设计．　

图３分别是阶数为（２３，２３）的二维圆对称低通线形　

设某期望的二维圆对称低通线性相位滤波器的　

相位ＦＩＲ滤波器的幅频响应及幅频响应误差．　

幅频响应为　

表１　本文算法设计的二维圆对称低通滤波器性能　

Ｔａｂ．１　Ｔｈｅ　ｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃｓ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｄｅｓｉｇｎｅｄ　２－Ｄ　ｃｉｒｃｕｌａｒｌｙ－ｓｙｍｍｅｔｒｉｃ　Ｉｏｗｐａｓｓ　ｆｉｌｔｅｒ　ｕｓｉｎｇ　ｐｒｏｐｏｓｅｄ　ｍｅｔｈｏｄ　

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第５期　王小华等：基于并行神经网络的二维ＦＩＲ数字滤波器设计　７５　

位数字滤波器系数　．由文中的实例可以看出，用　

该方法设计的二维圆对称低通线性相位ＦＩＲ数字　

１，０　

０．８　

滤波器，通带和阻带范围波动小，计算速度极快．由　

此可以推断，基于该并行神经网络算法的二维ＦＩＲ　

罾０．６　

●　

毫『０．４　

线性相位数字滤波器的设计方法是一种非常有效的　

０．２　

０　

∞ｌ／ｎ　

图２二维圆对称低通滤渡器幅频响应　

Ｆｉｇ．２　Ａｍｐｌｉｔｕｄｅ　ｒｅｓｐｏｎｓｅ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｄｅｓｉｇｎｅｄ　２－Ｄ　

ｃｉｒｃｕｌａｒｌｙ・ｓｙｍｍｅｔｒｉｃ　ｌｏｗｐａ￣ｆｉｌｔｅｒ　

０．０５　

０．０４　

营０．０３　

０－０２　

０．Ｏｌ　

０　

∞ｌ／ｎ　

图３二维圆对称低通滤波器幅频响应误差　

Ｆｉｇ．３　Ａｍｐｌｉｔｕｄｅ　ｒｅｓｐｏｎｓｅ　ｅｒｒｏｒ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｄｅｓｉｇｎｅｄ　

２一Ｄ　ｃｉｒｃｕｌａｒｌｙ－ｓｙｍｍｅｔｒｉｃ　ｌｏｗｐａｓｓ　ｆｉｌｔｅｒ　

以上的设计结果表明，用本文的神经网络算法　

设计的二维ＦＩＲ线性相位滤波器，得到的滤波器系　

数明显优于窗函数法和变换设计法，且当学习率选　

择适当时，该神经网络算法收敛速度极快，计算量极　

小．与基于加权的最小二乘设计法＿３　Ｊ及半定规划　

设计法＿９　Ｊ相比，所用计算量少两个数量级以上，尤　

其在设计高阶滤波器时，这种优越性更加明显．　

４结束语　

本文提出了一种有效的基于并行神经网络算法　

的二维线性相位ＦＩＲ数字滤波器优化设计方法．通　

过对ｆｉｔ）ｌ，山２∈［０，丌］的期望滤波器的幅频响应均匀　

取样获得训练样本值，再将训练样本值送神经网络　

训练，获得神经网络权值ｗ，从而得到二维线性相　

二维ＦＩＲ滤波器设计方法．　

参考文献　

［１］ＳＰＥＡＫＥ　Ｔ　Ｃ，ＭＥＲＳＥＲＥＡＵ　Ｒ　Ｍ．Ａ　ｎｏｔｅ　ｏｎ　ｔｈｅ　ｕｓｅ　ｏｆ　ｗｉｎ　

ｄｏｗｓｆｏｒ　２－Ｄ　ｆｉｌｔｅｒ　ｄｅｓｉｇｎ［Ｊ］．ＩＥＥＥ　Ｔｒａｎｓ　ＡＳＳＰ。１９８１，２９　

（２）：１２５—１２７．　

［２］ＮＧＵＹＥＮ　Ｄ　Ｔ，ＳＷＡＭＹ　Ｍ　Ｎ　Ｓ．Ｆｏｒｍｕｌａｓ　ｆｏｒ　ｐａｒａｍｅｔｅｒｓ　ｓｃａ１．　

ｉｎｇ　ｉｎ　ｔｈｅ　ＭｃＣｌｅｌｌａｎ　ｔｒａｎｓｆｏｒｍ［Ｊ］．ＩＥＥＥ　Ｔｒａｎｓ　Ｃｉｒｃｕｉｔｓ　Ｓｙｓｔ。　

１９８６，３３（Ｉ）：１０８—１０９．　

［３］ＡＬＧＡＺＩ　Ｖ　Ｒ．Ｄｅｓｉｇｎ　ｏｆ　ａｌｍｏｓｔ　ｍｉｎｉｍａｘ　ＦＩＲ　ｆｉｌｔｅｒｓ　ｉｎ　ｏｎｅ　ｍｉｄ　

ｔＷＯ　ｄｉｍｅｎｓｉｏｎｓ　ｂｙ　ｗＬＳ　ｔｅｃｈｎｉｑｕｅｓ［Ｊ］．ＩＥＥＥ　Ｔｒａｎｓ　Ｃｉｒｃｕｉｔｓ　

Ｓｙｓｔ，１９８６．３３（６）：５９０—５９６．　

［４］ＨＳＩＥＨ　Ｃ　Ｈ，ＫＵＯ　Ｃ　Ｍ，ＪＯＵ　Ｙ　Ｄ，ｅｔ　ａ１．Ｄｅｓｉｇｎ　ｏｆ　ｔｗｏ－ｄｉ．　

ｍｅｎｓｉｏｎａｌ　ＦＩＲ　ｄｉｇｉｔａｌ　ｆｉｌｔｅｒｓ　ｂｙ　ａ　ｔｗｏ－ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ　ＷＬＳ　ｔｅｃｈｎｉｑｕｅ　

［Ｊ］．ＩＥＥＥ　Ｔｒａｎｓ　Ｃｉｒｃｕｉｔｓ　Ｓｙｓｔ　Ｉ１，１９９７，４４（５）：３４８—４１２．　

［５］ＣＨＡＲＡＬＡＭＢＯＵＳ　Ｃ．Ｔｈｅ　ｐｅｒｆｏｒｍａｎｃｅ　ｏｆ　ａｎ　ａｌｇｏｒｉｔｈｍｏｎ　ｍｉｎｉ．　

ｍａｘ　ｄｅｓｉｇｎ　ｏｆ　ｔＷＯ．ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ　ｌｉｎｅａｒ　ｐｈａｓｅ　ＦＩＲ　ｆｉｌｔｅｒｓ［Ｊ］．ＩＥＥＥ　

Ｔｒａｎｓ　Ｃｉｒｃｕｉｔｓ　Ｓｙｓｔ，１９８５．３２（１０）：１０１６—１０２８．　

［６］ＬＡＭＧ　Ｍ，ＳＥＬＥＳＮＩＣＫ　Ｉ　Ｗ，ＢＵＲＲＵＳ　Ｃ　Ｓ．Ｃｏｎｓｔｒａｉｎｅｄ　ｌｅａｓｔ　

ｓｑｕａｒｅｓ　ｄｅｓｉｇｎ　ｏｆ　２－Ｄ　ＦＩＲ　ｆｉｌｔｅｒｓ［Ｊ］．ＩＥＥＥ　Ｔｒａｎｓ　Ｓｉｇｎａｌ　Ｐｒｏｃｅｓｓ．　

ｉｎｇ，１９９６，４４（５）：１２３４　１２４１．　

［７］ＴＳＥＮＧ　ｃ　Ｃ．Ｄ￣ｉｇｎ　ｏｆ　１－Ｄ　ａｎｄ　２－Ｄ　ｖａｒｉａｂｌｅ　ｆｒａｃｔｉｏｎａｌ　ｄｅｌａｙ　ａｌｌ－　

ｐａｓｓ　ｆｉｌｔｅｒｓ　ｕｓｉｎｇ　ｗｅｉｇｈｔｅｄ　ｌｅａｓｔ—ｓｑｕａｒｅ　ｍｅｔｈｏｄ［Ｊ］．ＩＥＥＥ　Ｔｒａｎｓ　

Ｃｉｒｃｕｉｔｓ　Ｓｙｓｔ　Ｉ，２００２，４９（１０）：１４１３—１４２２．　

［８］ＺＨＵ　Ｗ　Ｐ。ＡＨＭＡＤ　Ｍ　Ｏ，ＳＷＡＭＹ　Ｍ　Ｎ　Ｓ．Ａ　ｃｌｏｓｅｄ　ｆｏｒｍ　ｓｏ，　

ｌｕｔｉｏｎ　ｔＯ　ｔｈｅ　ｌｅａｓｔ　ｓｑｕａｒｅ　ｄｅｓｉｇｎ　ｐｒｏｂｌｅｍ　ｏｆ　２一Ｄ　ｌｉｎｅａｒ　ｐｈａｓｅ　ＦＩＲ　

ｆｉｌｔｅｒｓ［ｊ］．ＩＥＥＥ　Ｔｒａｎｓ　Ｃｉｒｃｕｉｔｓ　Ｓｙｓｔ　ＩＩ，１９９７，１２（４４）：１０３２一　

ｌ０３９．　

［９］ＬＵ　Ｗ　Ｓ，Ａ　ｕｎｉｆｉｅｄ　ａｐｐｒｏａｃｈ　ｆｏｒ　ｔｈｅ　ｄｅｓｉｇｎ　ｏｆ　２－Ｄ　ｄｉｇｉｔａｌ　ｆｉｌｔｅｒｓ　

ｖｉａ　ｓｅｍｉｄｅｆｉｎｉｔｅ　ｐｒｏｇｒａｍｍｉｎｇ［Ｊ］．ＩＥＥＥ　Ｔｒａｎｓ　Ｃｉｒｃｕｉｔｓ　Ｓｙｓｔ　Ｉ。　

２００２，４９（６）：８１４—８２５．　

［１０］王小华，何怡刚，彭玉楼，神经网络在４型ＦＩＲ高阶多通道滤　

波器的自适应优化设计研究［Ｊ］．湖南大学学报：自然科学版，　

２００４，３１（２）：６６—６９．　

ＷＡＮＧ　Ｘ　Ｈ，ＨＥ　Ｙ　Ｇ，ＰＥＮＧ　Ｙ　Ｌ．Ａｄａｐｔｉｖｅ　ｏｐｔｉｍａｌ　ｄｅｓｉｇｎ　ｓｔｕｄ），　

ｏｆ　ｔｈｅ　ｔｙｐｅ—ｆｏｕｒ　ＦＩＲ　ｈｉｇｈ—ｏｒｄｅｒ　ｍｕｌｔｉ—ｂａｎｄ・ｐａｓｓ　ｆｉｌｔｅｒ　ｂａｓｅｄ　ｏｎ　

ｎｅｕｒｌａ　ｎｅｔｗｏｒｋｓ［Ｊ］．Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｈｕｎａｎ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ：Ｎａｔｕｒｌａ　Ｓｃｉ・　

ｅｎｃｅｓ。２００４，３１（２）：６６～６９．（ＩｎＣｈｉｎｅｓｅ）