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2024年4月23日发(作者：json依赖于jquery框架吗)

1．三角形基本公式：

（1）内角和定理：A+B+C=180°，sin(A+B)=sinC, cos(A+B)= -cosC,

CABCAB

=sin, sin=cos

22

22

111

（2）面积公式：S=absinC=bcsinA=casinB

222

abc

S= pr =

p(pa)(pb)(pc)

(其中p=, r为内切圆半径)

2

cos

（3）射影定理：a = bcosC + ccosB；b = acosC + ccosA；c = acosB + bcosA

2．正弦定理：

abc

2R

外

sinAsinBsinC

证明：由三角形面积

111

SabsinCbcsinAacsinB

222

abc

得



sinAsinBsinC

abc

画出三角形的外接圆及直径易得：

2R

sinAsinBsinC

b

2

c

2

a

2

3．余弦定理：a=b+c-2bccosA,

cosA

；

2bc

222

证明：如图ΔABC中，

C

b

a

CHbsinA,AHbcosA,BHcbcosA

a

2

CH

2

BH

2

b

2

sin

2

A(cbcosA)

2

bc2bccosA

22

A

H

c

B

当A、B是钝角时，类似可证。正弦、余弦定理可用向量方法证明。

要掌握正弦定理、余弦定理及其变形，结合三角公式，能解有关三角形中的问题．

4．利用正弦定理，可以解决以下两类问题：（1）已知两角和任一边，求其他两边和一角；

（2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角；

有三种情况：bsinA

5．利用余弦定理，可以解决以下两类问题：

（1）已知三边，求三角；（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角。

6．熟练掌握实际问题向解斜三角形类型的转化，能在应用题中抽象或构造出三角形，标出已知量、未知量，

确定解三角形的方法；提高运用所学知识解决实际问题的能力

历年考题

如图，在

ABC

中，

AC2

，

BC1

，

cosC

（1）求

AB

的值；

（2）求

sin

2AC

的值.

解（1）： 由余弦定理，

3

．

4

ABACBC

41221

∴

AB

222

3

2.

4

2.

（2）解：由

cosC

3

，且

0C

,

得

4

7

.

4

sinC1cos

2

C

由正弦定理:

ABBC

,

sinCsinA

BCsinC1452

。所以，

cosA

。由倍角公式

AB88

57

，

16

解得

sinA

sin2Asin2AcosA

且

cos2A12sinA

2

9

，故

16

37

.

8

sin

2AC

sin2AcosCcos2AsinC

解题方法

：已知两边夹角,用余弦定理,由三角函数值求三角函数值时要注意“三角形内角”的限制.

在ΔABC中，已知a=

3

,b=

2

,B=45°，求A,C及边c．

asinB3sin45

3

解：由正弦定理得：sinA=,因为B=45°<90°且b



b2

2

所以有两解A=60°或A=120°

bsinC

(1)当A=60°时,C=180°-(A+B)=75°， c=

sinB

bsinC

(2)当A=120°时,C=180°-(A+B)=15 °，c=

sinB

2sin75

sin45

2sin15

sin45

62

,

2

62

2

解题方法

：已知两边和其中一边的对角解三角形问题，用正弦定理求解，必需注意解的情况的讨论．

如图，当甲船位于A处时获悉，在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救 甲船立即前往救援，

同时把消息告知在甲船的南偏西30，相距10海里C处的乙船，试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往B

处救援（角度精确到

1

）？

[解] 连接BC,由余弦定理得

BC

2

=20

2

+10

2

－2×20×10COS120°=700

于是,BC=10

7

北

_

∵

3

sinACBsin120

, ∴sin∠ACB=,

7

20

107

_

C

A_

_

10

_

20

_

B

∵∠ACB<90° ∴∠ACB=41°

30°

∴乙船应朝北偏东71°方向沿直线前往B处救援

已知⊙O的半径为R，，在它的内接三角形ABC中，有

2Rsin

2

Asin

2

C

解：由已知条件得



2absinB

成立，求△ABC面积S的最大值．

2R

2

sin

2

Asin

2

B2RsinB

2ab

．即有

a

2

c

2

2abb

2

，

3

a

2

b

2

c

2

2

又

cosC

∴

c

．

AB

2ab2

4

4

∴

S

122

absinCab4R

2

sinAsinB

244

2R

2

sinAsin(

2R

2

sinA(

2

3

A)

4

22

cosAsinA)

22

R

(sin2A1cos2A)

2

R

2

[2sin(2A)1]

24

当

2A

4

2

,即A

3

21

2

(B)

时,

S

max

R

．

2

8

如图,已知△

ABC

是边长为

1

的正三角形,

M

、

N

分别是边

AB

、

AC

上的点,线段

MN

经过△

ABC

的中心

G

.设

MGA

(

3

2

)

.

3

(1) 试将△

AGM

、△

AGN

的面积(分别记为

S

1

与

S

2

)表示为

的函数;

(2) 求

y

解:

(1)因为

G

为边长为

1

的正三角形

ABC

的中心,

所以

AG

11

的最大值与最小值.

2

S

1

2

S

2

233

, MAG.

3236

由正弦定理

GM

sin

6

GA

sin(

)

6

,

得GM

3

6sin(

)

6

,

则S

1

1sin

1

GMGAsin

(或).

2

6(3cot

)

12sin(

)

6

又

GN

sin

6

GA

sin(

)

6

,得GN

3

6sin(

)

6

,

1sin

1

则S

2

GNGAsin(

)(或).

2

6(3cot

)

12sin(

)

6

(2)y

11144



2

S

1

2

S

2

sin

2





22

sin(

)sin(

)

72(3cot

2

).

66



2

2

,所以当

或

时,

y

的最大值

y

max

240

; 因为

333

当

2

时,

y

的最小值

y

min

216

.

3


本文标签： 三角形 正弦 定理 余弦定理 问题

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