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2024年4月23日发(作者：lead的两种过去式)
三角函数的周期性、奇偶性及对称性考点与提醒归纳
考点一 三角函数的周期性
tan x
[典例] (1)(2018·全国卷Ⅲ)函数f(x)＝的最小正周期为( )
1＋tan
2
x
π
A.
4
C．π
π
B.
2
D．2π
π
kx＋
的最小正周期T满足1 (2)若函数f(x)＝2tan 3 sin xsin x cos xcos x tan x1 [解析] (1)由已知得f(x)＝＝＝＝sin xcos x＝ sin 2x，所 sin x 2 cos 2 x＋sin 2 x 2 1＋tan 2 x 1＋ cos x cos 2 x 2π 以f(x)的最小正周期为T＝＝π. 2 ππ (2)由题意知1<<2，即 k2 又因为k∈N * ，所以k＝2或k＝3. [答案] (1)C (2)2或3 [解题技法] 1．三角函数最小正周期的求解方法 (1)定义法； 2π (2)公式法：函数y＝Asin(ωx＋φ)(y＝Acos(ωx＋φ))的最小正周期T＝ ，函数y＝Atan(ωx |ω| π ＋φ)的最小正周期T＝； |ω| (3)图象法：求含有绝对值符号的三角函数的周期时可画出函数的图象，通过观察图象得 出周期． 2．有关周期的2个结论 π (1)函数y＝|Asin(ωx＋φ)|，y＝|Acos(ωx＋φ)|，y＝|Atan(ωx＋φ)|的周期均为T＝. |ω| 2π (2)函数y＝|Asin(ωx＋φ)＋b|(b≠0)，y＝|Acos(ωx＋φ)＋b|(b≠0)的周期均为T＝. |ω| [题组训练] ππ 2x＋ ，④y＝tan 2x－ 中，最小正周 1．在函数①y＝cos|2x|，②y＝|cos x|，③y＝cos 6 4 期为π的所有函数为( ) A．①②③ C．②④ B．①③④ D．①③ 解析：选A 因为y＝cos|2x|＝cos 2x， 2π 所以该函数的周期为＝π； 2 由函数y＝|cos x|的图象易知其周期为π； π 2π 2x＋ 的周期为＝π； 函数y＝cos 6 2 π π 2x－ 的周期为，故最小正周期为π的函数是①②③. 函数y＝tan 4 2 π π ωx－ ，x∈R的一个零点，且0<ω<10，则函数f(x)的最 2．若x＝ 是函数f(x)＝2sin 4 8 小正周期为________． π ωπ － π ＝0， 解析：依题意知，f ＝2sin 8 84 即 ωππ －＝kπ，k∈Z，整理得ω＝8k＋2，k∈Z. 84 又因为0<ω<10， 1 所以0<8k＋2<10，得－ 4 而k∈Z，所以k＝0，ω＝2， π 2x－ ，f(x)的最小正周期为π. 所以f(x)＝2sin 4 答案：π 考点二 三角函数的奇偶性 π 2x－ ＋φ ，φ∈(0，π)满足f(|x|)＝f(x)，则φ的值为( ) [典例] 函数f(x)＝3sin 3 π A. 6 5π C. 6 π B. 3 2π D. 3
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