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2024年4月23日发(作者：帝国cms如何修改源码)

如何求三角函数的周期

三角函数的的周期是三角函数的重要性质，对于不同的三角函数式，如何求三角函数的周期也是一

个难点，下面通过几个例题谈谈三角函数周期的求法．

1、定义法

例1． 求下列函数的周期

(1) ysin2x

,

(2) ytan

2x

．

3

(1)分析：根据周期函数的定义，问题是要找到一个最小正数

T

，对于函数定义域内的每一个

x

值

都能使

sin2(xT)＝sin2x

成立，同时考虑到正弦函数

ysinx

的周期是

2

．

解：∵

sin2xsin(2x2

)sin2(x

)

, 即

sin2(x

)sin2x

．

∴ 当自变量由

x

增加到

x

时，函数值重复出现，因此

ysin2x

的周期是

．

(2) 分析：根据周期函数的定义，问题是要找到一个最小正数

T

，对于函数定义域内的每一个

x

值

都能使

tan

22x

(xT)tan

成立，同时考虑到正切函数

ytanx

的周期是

．

33

2x2x23232x

解：∵

tan

．

tan(

)tan(x

)

, 即

tan(x

)tan

3332323

2x

3

∴ 函数

ytan

的周期是

．

3

2

例2. 求函数（m≠0）的最小正周期。

解：因为

所以函数（m≠0）的最小正周期

例3. 求函数的最小正周期。

解：因为

1

所以函数的最小正周期为。

例4.求函数

y

＝｜sin

x

｜＋｜cos

x

｜的最小正周期.

解:∵

f(x)

＝｜sin

x

｜＋｜cos

x

｜

＝｜－sin

x

｜＋｜cos

x

｜

)｜＋｜sin(

x

＋)｜

22

＝｜sin(

x

＋)｜＋｜cos(

x

＋)｜

22

＝

f(x)

2



对定义域内的每一个

x

，当

x

增加到

x

＋时，函数值重复出现，因此函数的最小正周期是.

22

＝｜cos(

x

＋

注意：1、根据周期函数的定义，周期

T

是使函数值重复出现的自变量

x

的增加值，

如

f(2xT)f(2x),

周期不是

T

，而是

1

“f(xT)f(x)”

是定义域内的恒等式，

T

； 2、

2

即对于自变量

x

取定义域内的每个值时，上式都成立．

直接利用周期函数的定义求出周期。

2、公式法

对于函数

yAsin(

x

)B

或

yAcos(

x

)B

的周期公式是

T

2

，

|

|

对于函数

yAtan(

x

)B

或

ycot(

x

)B

的周期公式是

T

．

|

|

例1．求函数

y3sin(x

解：

T

3

2

6

)

的周期

2

4

．

3

3

2

的最小正周期。 例2． 求函数

解：因为

所以函数

的最小正周期为。

2

例3． 求函数的最小正周期。

解：因为，

所以函数

3、 同角函数法

的最小正周期为。

2

例4． 求函数

y23sinxcosx2sinx

的周期

2

解：

y23sinxcosx2sinx3sin2xcos2x1

2(

∴

T

31

sin2xcos2x)12sin(2x)1

226

2

．

2

的最小正周期。

例5． 求函数

解：因为

所以函数

的最小正周期为。

例5． 已知函数

f(x)sin

xxx

(sincos),

求周期

333

3

解：∵

f(x)sin

2

xxx12x12x

sincos(1cos)sin

3332323

∴

T

112x2x122x

(sincos)sin()

22332234

2

3

．

2

3

4、转化法：遇到绝对值时，可利用公式

|a|a

2

, 化去绝对值符号再求周期

例6. 求函数

y|cosx|

的周期

解：∵

y|cosx|

∴

T

cos

2

x

1cos2x

2

2

．

2

例7． 求函数

y|sinx||cosx|

的周期

解：∵

y|sinx||cosx|

1

|sinx||cosx|

2

1|sin2x|1sin

2

2x

1cos4x1

1(1cos4x)

22

2



．

42

∴ 函数

y|sinx||cosx|

的最小正周期

T

5、最小公倍数罚: 若函数

yf

1

(x)f

2

(x)f

k

(x)

，且

f

1

(x),f

2

(x),

,f

k

(x)

，都是周期函

数，且最小正周期分别为

T

1

,T

2

,T

k

，如果找到一个正常数

T

, 使

Tn

1

T

1

n

2

T

2

n

k

T

k

，

(

n

1

,n

2

,

,n

k

均为正整数且互质)，则

T

就是

yf

1

(

x

)

f

2

(

x

)

f

k

(

x

)

的最小正周期．

例1． 求函数

ysinxcos

1

x

的周期

2

1

x

的最小正周期是

T

2

4

．

2

解：∵

sinx

的最小正周期是

T

1

2

，

cos

∴ 函数

y

的周期

Tn

1

T

1

n

2

T

2

，把

T

1

，T

2

代入得

2

n

1

4

n

2

，即

n

1

2n

2

，

因为

n

1

,n

2

为正整数且互质， 所以

n

1

2, n

2

1

．

函数

ysinxcos

1

x

的周期

Tn

1

T

1

22

4

．

2

23

例2． 求函数

ysinxcosx

的周期

34

4

23

2

2

8

，

x

的最小正周期是

T

1

3

，

cosx

的最小正周期是

T

2



23

34

3

34

8

由

n

1

T

1

n

2

T

2

，

3

n

1

n

2

，

9n

1

8n

2

(

n

1

,n

2

为正整数且互质),

3

解： ∵

sin

得

n

1

8, n

2

9

．

所以 函数

ysin

23

xcosx

的周期是

Tn

1

T

1

83

24

．

34

例3. 求函数的最小正周期。

解：因为csc4x的最小正周期

公倍数是。

，的最小正周期，由于和的最小

所以函数的最小正周期为。

例4. 求函数的最小正周期。

解：因为

最小公倍数是

的最小正周期

，

，最小正周期，由于和的

所以函数

例5. 求函数

的最小正周期为T＝。

的最小正周期。

，的最小正周期， 解：因为sinx的最小正周期

sin4x的最小正周期

所以函数

，由于，的最小公倍数是2。

。 的最小正周期为T＝

例6.求函数

y

＝sin3

x

＋cos5

x

的最小正周期.

解：设sin3

x

、cos5

x

的最小正周期分别为

T

1

、

T

2

，则

T

1

的最小正周期

T

＝2

π

／1＝2

π

.

2

2

,T

2

，所以

y

＝sin3

x

＋cos5

x

35

5

2x

的最小正周期.

5

2x2

5

10

解：∵sin3

x

与tan的最小正周期是与，其最小公倍数是＝10

π

.

532

1

2x

∴

y

＝sin3

x

＋tan的最小正周期是10

π

.

5

例7.求

y

＝sin3

x

＋tan

注：1. 分数的最小公倍数的求法是：（各分数分子的最小公倍数）÷（各分数分母的最大公约数）。

2. 对于正、余弦函数的差不能用最小公倍数法。

6、图像法 利用函数图像直接求出函数的周期。

例1. 求函数

解：函数

的最小正周期。

的图像为图1。

图1

由图1可知：函数的最小正周期为

例2

.求

y

＝｜sin

x

｜的最小正周期.

。

解：由

y

＝｜sin

x

｜的图象：

可知

y

＝｜sin

x

｜的周期

T

＝

π

.

6


本文标签： 函数 分数 公倍数

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