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一、理论部分

1、用图形的方法提供对非线性效应的直观理解（相平面分析&描述函数法）

相平面分析

        19世纪数学家庞加莱等确定了一种称作相平面法的图形化方法，用图形来解二阶常微分方程，在线性系统中曾经介绍过轨线，而这种方法的核心就在于在二维平面上画出不同初始值的系统运动轨线，从而分析系统。

基本方法：解析法、图解法、实验法---应用相平面法分析非线性系统的前提就是要绘制相轨迹。

a.解析法

解析法就是用求解微分方程的方法找出和的关系，从而在相平面(到)能够绘制相轨迹。当描述系统运动的微分方程比较简单，或者可以分段线性化时，应用分析法比较方便。 对于一维变量，直接解方程求出。若该式可以分解为   ，找到

 b. 等倾线法和写函数法

图解法是一种不必求出微分方程的解，而是通过各种逐步作图的方法，直接在相平面上画出相轨迹的方法。当微分方程用解析法求解比较复杂，困难甚至不可能时，对于非线性系统，图解法尤为重要。二阶时不变系统一般可用常微分方程描述:，对于一维变量， 有

当不为0时，有

根据不同初始条件，它确定了不同的平面的相轨迹，把相轨迹上具备有等斜率点的连线称为等倾线。等倾线方程.若在相平面里作出足够多的等倾线,并在每跟等倾线上用短线标明和相轨迹通过该线的方向(切线方向)称方向场.按方向场从起点到终点,则可绘出相轨迹。典型的相平面图如下：

稳定焦点

 不稳定焦点

稳定节点

不稳定节点

鞍点

本文标签： 稳定性 理论 方法 系统

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