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数学分析之变量与函数 二、复合函数、反函数与基本初等函数

复合函数、反函数与基本初等函数

  • 复合函数
  • 反函数
  • 基本初等函数
    • 指数函数
    • 对数函数
    • 幂函数
    • 三角函数
    • 双曲线函数

复合函数

复合函数是一种形式上的称呼，我们可以从一个例子来认识它。
设 有 一 个 质 量 为 m 的 物 体 沿 直 线 运 动 ， 速 度 为 v ， 它 的 动 能 E 为 设有一个质量为m的物体沿直线运动，速度为v，它的动能E为 设有一个质量为m的物体沿直线运动，速度为v，它的动能E为
E = 1 2 m v 2 E=\frac{1}{2}mv^2 E=21​mv2
这 个 物 体 为 自 由 落 体 ， 其 速 度 为 这个物体为自由落体，其速度为 这个物体为自由落体，其速度为
v = g t v=gt v=gt
其 中 ， g 是 重 力 加 速 度 ， 将 上 式 代 入 帝 一 式 ， 得 到 它 的 动 能 为 其中，g是重力加速度，将上式代入帝一式，得到它的动能为 其中，g是重力加速度，将上式代入帝一式，得到它的动能为
E = 1 2 m ( g t ) 2 = 1 2 m g 2 t 2 E=\frac{1}{2}m(gt)^2=\frac{1}{2}mg^2t^2 E=21​m(gt)2=21​mg2t2
从 中 间 变 量 v 得 到 E 关 于 t 的 函 数 。 从中间变量v得到E关于t的函数。 从中间变量v得到E关于t的函数。
我们把这种形式的函数称为复合函数，它有一些重要的特性：
一般的说，复合函数的内函数的值域不超过外函数的定义域（即内函数值域包含在外函数定义域内），这是极为重要的。

反函数

反函数也是一种形式上的函数，同样使用一个例子展开它。
下 面 给 出 两 个 例 子 ： 下面给出两个例子： 下面给出两个例子：
y = x y=x y=x
y = x 2 y=x^2 y=x2
上 面 两 个 例 子 都 可 以 通 过 x 唯 一 确 定 y 的 值 但 是 反 过 来 思 考 ， 第 一 个 式 子 中 y 能 唯 一 确 定 x 的 值 ， 而 在 第 二 个 式 子 中 显 然 是 不 成 立 的 。 上面两个例子都可以通过x唯一确定y的值但是反过来思考，第一个式子中y能唯一确定x的值，而在第二个式子中显然是不成立的。 上面两个例子都可以通过x唯一确定y的值但是反过来思考，第一个式子中y能唯一确定x的值，而在第二个式子中显然是不成立的。
这 样 ， 我 们 把 第 一 个 式 子 记 为 y = f ( x ) , 把 y 看 作 一 个 自 变 量 ， 通 过 f 能 唯 一 确 定 x 的 值 ， 这 个 对 应 函 数 是 由 f 产 生 的 ， 我 们 把 新 产 生 的 函 数 称 为 这样，我们把第一个式子记为y=f(x),把y看作一个自变量，通过f能唯一确定x的值，这个对应函数是由f产生的，我们把新产生的函数称为 这样，我们把第一个式子记为y=f(x),把y看作一个自变量，通过f能唯一确定x的值，这个对应函数是由f产生的，我们把新产生的函数称为函数f的反函数 , 记 为 f − 1 ,记为f^{-1} ,记为f−1。
反函数的概念是相对于原函数来说的，原本不存在反函数的函数通过限定定义域也可能变成存在反函数的函数。如上面的第二个例子，如果把 y y y的值限定在 ( y > 0 ) (y>0) (y>0)，那么第二个例子也就有了反函数 x = y x=\sqrt{y} x=y ​，在考虑反函数时定义域和值域也是一个很重要的因素。
下面给出一个反函数存在定理（丐版）
设 y = f ( x ) 在 某 个 区 间 X 内 严 格 单 调 增 加 ( 或 减 少 ) ， 又 设 和 这 个 X 相 对 应 的 值 域 是 Y ， 那 么 必 存 在 反 函 数 x = f − 1 ( y ) , 反 函 数 的 定 义 域 为 Y ， 值 域 为 X ， 它 在 Y 内 也 是 严 格 单 调 增 加 （ 或 减 少 ） 的 。 设y=f(x)在某个区间X内严格单调增加(或减少)，又设和这个X相对应的值域是Y，那么必存在反函数x=f^{-1}(y),反函数的定义域为Y，值域为X，它在Y内也是严格单调增加（或减少）的。 设y=f(x)在某个区间X内严格单调增加(或减少)，又设和这个X相对应的值域是Y，那么必存在反函数x=f−1(y),反函数的定义域为Y，值域为X，它在Y内也是严格单调增加（或减少）的。

基本初等函数

简单复习一下初等函数：凡基本初等函数经过有限次四则运算及（或）有限次复合所得到的函数称为初等函数。

指数函数

y = a x y=a^x y=ax

对数函数

y = l o g a x y=log_ax y=loga​x

幂函数

y = x μ y=x^{\mu} y=xμ

三角函数

正弦函数 y = sin ⁡ x y=\sin{x} y=sinx
余弦函数 y = cos ⁡ x y=\cos{x} y=cosx
正切函数 y = tan ⁡ x y=\tan{x} y=tanx
余切函数 y = cot ⁡ x y=\cot{x} y=cotx
正割函数 y = sec ⁡ x y=\sec{x} y=secx
余割函数 y = csc ⁡ x y=\csc{x} y=cscx

双曲线函数

双曲线函数在工程中有很重要的应用,和三角函数十分相似。
双曲正弦 sh ⁡ x = e x − e − x 2 \sh{x}=\frac{e^x-e^{-x}}{2} shx=2ex−e−x​
双曲余弦 ch ⁡ x = e x + e − x 2 \ch{x}=\frac{e^x+e^{-x}}{2} chx=2ex+e−x​
双曲正切 th ⁡ x = sh ⁡ x ch ⁡ x = e x − e − x e x + e − x \th{x}=\frac{\sh{x}}{\ch{x}}=\frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}} thx=chxshx​=ex+e−xex−e−x​
双曲余切 coth ⁡ x = ch ⁡ x sh ⁡ x = e x + e − x e x − e − x \coth{x}=\frac{\ch{x}}{\sh{x}}=\frac{e^x+e^{-x}}{e^x-e^{-x}} cothx=shxchx​=ex−e−xex+e−x​

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