AM@邻域@数列和函数的极限@相关概念的辨析

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AM@邻域@数列和函数的极限@相关概念的辨析

文章目录

• • abstract
  • 邻域👺
  • • 邻域中心和半径
    • 去心邻域
  • 极限👺
  • • 极限的主要问题
    • 数列极限
    • • 数列极限的定义@ ( ϵ − N ) (\epsilon-N) (ϵ−N)语言描述
      • 极限表达式成立的证明
      • 常用数列极限
      • 几何意义
      • 例
    • 函数的极限
    • • 函数自变量趋于有限值的极限定义@ ( ϵ − δ ) (\epsilon-\delta) (ϵ−δ)语言描述
      • 单侧极限
      • • 左极限
        • 右极限
        • 左右极限判定极限存在
      • 函数自变量趋于无穷大的极限定义@ ( ϵ − X ) (\epsilon-X) (ϵ−X)语言描述
      • • 极限和水平渐近线
      • Note
    • 小结
    • 例子
    • • 例
      • 例
  • ϵ , δ \epsilon,\delta ϵ,δ的意义
  • • 各种极限定义的共同点
    • 几何意义
  • 极限定义中的极限过程临界值
  • 理解极限容易进入的误区👺
  • • 无限接近不同于越来越接近
    • • 例
      • 例
    • 越来越接近推不出无限接近

abstract

• 介绍基本概念–邻域及其记号
• 数列极限
• 函数极限
  • 函数自变量趋于有限制的极限
  • 函数在某处的左极限和右极限
  • 函数自变量趋于无穷大的极限
• 极限的含义&误区
• 极限定义中的符号梳理

邻域👺

• 设 x 0 ∈ R , δ > 0 x_0\in\mathbb{R},\delta\gt0 x0​∈R,δ>0,开区间 R δ = ( x 0 − δ , x 0 + δ ) R_\delta=(x_0-\delta,x_0+\delta) Rδ​=(x0​−δ,x0​+δ)称为** x 0 {x_0} x0​的 δ \delta δ 邻域**,记作 U ( x 0 , δ ) U(x_0,\delta) U(x0​,δ)或 U δ ( x 0 ) U_{\delta}(x_0) Uδ​(x0​)
  • 区间 R δ R_{\delta} Rδ​也可以表示为绝对值不等式: ∣ x − x 0 ∣ < δ |x-x_0|<\delta ∣x−x0​∣<δ的解集: { x ∣ ∣ x − x 0 ∣ < δ } \set{x||x-x_0|<\delta} {x∣∣x−x0​∣<δ}
  • 因为 ∣ x − x 0 ∣ < δ |x-x_0|<\delta ∣x−x0​∣<δ ⇔ \Leftrightarrow ⇔ − δ < x − x 0 < δ -\delta<x-x_0<\delta −δ<x−x0​<δ ⇔ \Leftrightarrow ⇔ x 0 − δ < x < x 0 + δ x_0-\delta<x<x_0+\delta x0​−δ<x<x0​+δ
  • 如果不需要说明 δ \delta δ,可简记为 U ( x 0 ) U(x_0) U(x0​)

邻域中心和半径

• x 0 x_0 x0​为邻域 U ( x 0 , δ ) U(x_0,\delta) U(x0​,δ)的中心,称为邻域中心, δ \delta δ称为邻域半径

去心邻域

• 点 x 0 x_0 x0​的去心 δ \delta δ邻域, R δ ˚ R_{\mathring{\delta}} Rδ˚​= ( x 0 − δ , x 0 ) ∪ ( x 0 , x 0 + δ ) (x_0-\delta,x_0)\cup(x_0,x_0+\delta) (x0​−δ,x0​)∪(x0​,x0​+δ)记作 U ˚ ( x 0 , δ ) \mathring{U}(x_0,\delta) U˚(x0​,δ),或 U ˚ δ ( x 0 ) \mathring{U}_{\delta}(x_0) U˚δ​(x0​)
  • 区间 R δ ˚ R_{\mathring{\delta}} Rδ˚​也可以表示为: { x ∣ 0 < ∣ x − x 0 ∣ < δ } \set{x|0<|x-x_0|<\delta} {x∣0<∣x−x0​∣<δ}
  • 如不需要说明 δ \delta δ,可简记为 U ˚ ( x 0 ) \mathring{U}(x_0) U˚(x0​)

极限👺

• 极限分为数列的极限和函数的极限
• 函数的极限又有6种极限过程:形式地记为 x → ∗ x\to{*} x→∗,其中 ∗ * ∗可能是:
  • x 0 , x 0 − , x 0 + x_0,x_0^{-},x_0^{+} x0​,x0−​,x0+​
  • ∞ , − ∞ , + ∞ \infin,-\infin,+\infin ∞,−∞,+∞

极限的主要问题

• 求给定数列或函数的极限值
• 证明给定数列或函数的极限是某个值(通常用极限的定义法作证明)

数列极限

数列极限的定义@ ( ϵ − N ) (\epsilon-N) (ϵ−N)语言描述

• 若对任何的 ϵ > 0 \epsilon>0 ϵ>0,若存在 N > 0 N>0 N>0,当 n > N n>N n>N时,有 ∣ a n − A ∣ < ϵ |a_{n}-A|<\epsilon ∣an​−A∣<ϵ,称 A A A为数列 { a n } \set{a_{n}} {an​}的极限,记为 lim ⁡ n → ∞ a n = A \lim\limits_{n\to{\infin}}{a_n}=A n→∞lim​an​=A或记为 x n → a ( n → ∞ ) x_n\rightarrow a(n\rightarrow \infin) xn​→a(n→∞),不引起混淆的情况下,还可以简写为 x n → a x_n\to{a} xn​→a
• 半形式化语言描述: ∀ ε > 0 , ∃ N > 0 , \forall \varepsilon>0,\exist N>0, ∀ε>0,∃N>0, when: n > N n>N n>N,then: ∣ a n − A ∣ < ε |a_n-A|<\varepsilon ∣an​−A∣<ε,记为 lim ⁡ n → + ∞ a n = A \lim\limits_{n\to{+\infin}}a_{n}=A n→+∞lim​an​=A

极限表达式成立的证明

• 证明数列极限的常用方法是用数列极限的定义证明
• 若 lim ⁡ n → ∞ x n = a \lim\limits_{n\to\infin}{x_n}=a n→∞lim​xn​=a,则 lim ⁡ n → ∞ ∣ x n ∣ = ∣ a ∣ \lim\limits_{n\to\infin}{|x_n|}=|a| n→∞lim​∣xn​∣=∣a∣
  • 由条件, ∀ ϵ > 0 \forall{\epsilon}>0 ∀ϵ>0, ∃ N > 0 \exist{N>0} ∃N>0,当 n > N n>N n>N时有 ξ = ∣ x n − a ∣ < ϵ \xi=|x_n-a|<\epsilon ξ=∣xn​−a∣<ϵ(1)
  • 构造 Δ = ∣ ∣ x n ∣ − ∣ a ∣ ∣ \Delta=||x_n|-|a|| Δ=∣∣xn​∣−∣a∣∣,只要说明 ∀ ϵ > 0 \forall{\epsilon}>0 ∀ϵ>0, ∃ N > 0 \exist{N>0} ∃N>0,当 n > N n>N n>N时有 Δ < ϵ \Delta<\epsilon Δ<ϵ,即可证明结论成立
  • 由绝对值不等式, Δ < ∣ x n − a ∣ \Delta<|x_n-a| Δ<∣xn​−a∣(2),(2)代入(1),得 Δ < ϵ \Delta<\epsilon Δ<ϵ,所以 lim ⁡ n → ∞ ∣ x n ∣ = ∣ a ∣ \lim\limits_{n\to\infin}{|x_n|}=|a| n→∞lim​∣xn​∣=∣a∣
  • Note:该命题的逆命题不成立,因为 Δ < ϵ \Delta<\epsilon Δ<ϵ ⇏ \not\Rightarrow ⇒ ξ < ϵ \xi<\epsilon ξ<ϵ;例如: x n = ( − 1 ) n x_n=(-1)^n xn​=(−1)n,则 lim ⁡ n → ∞ ∣ x n ∣ = 1 = ∣ 1 ∣ \lim\limits_{n\to\infin}{|x_n|}=1=|1| n→∞lim​∣xn​∣=1=∣1∣;而 lim ⁡ n → ∞ ( − 1 ) n \lim\limits_{n\to\infin}{(-1)^{n}} n→∞lim​(−1)n不存在
• 推论:
  • 若 lim ⁡ n → ∞ x n = 0 \lim\limits_{n\to\infin}{x_n}=0 n→∞lim​xn​=0,的充要条件是: lim ⁡ n → ∞ ∣ x n ∣ = 0 \lim\limits_{n\to\infin}{|x_n|}=0 n→∞lim​∣xn​∣=0
    • 有上结论可知必要性成立
    • 充分性:若 lim ⁡ n → ∞ ∣ x n ∣ = 0 \lim\limits_{n\to\infin}{|x_n|}=0 n→∞lim​∣xn​∣=0, ∀ ϵ > 0 \forall{\epsilon}>0 ∀ϵ>0, ∃ N > 0 \exist{N>0} ∃N>0,当 n > N n>N n>N时有 Δ = ∣ ∣ x n ∣ − 0 ∣ < ϵ \Delta=||x_n|-0|<\epsilon Δ=∣∣xn​∣−0∣<ϵ成立,即 ∣ ∣ x n − 0 ∣ ∣ = ∣ x n − 0 ∣ < ϵ ||x_n-0||=|x_n-0|<\epsilon ∣∣xn​−0∣∣=∣xn​−0∣<ϵ,从而 lim ⁡ n → ∞ x n = 0 \lim\limits_{n\to\infin}{x_n}=0 n→∞lim​xn​=0

常用数列极限

• lim ⁡ n → ∞ q n \lim\limits_{n\to\infin}{q^{n}} n→∞lim​qn= 0 0 0, ∣ q ∣ < 1 |q|<1 ∣q∣<1;
• lim ⁡ n → ∞ 1 n α = 0 \lim\limits_{n\to\infin}{\frac{1}{n^{\alpha}}}=0 n→∞lim​nα1​=0, α > 0 \alpha>0 α>0

几何意义

• lim ⁡ n → ∞ x n = a \lim\limits_{n\to{\infin}}x_n=a n→∞lim​xn​=a的几何意义是:以数轴为背景,对于 a a a点的任意 ϵ \epsilon ϵ邻域 U ( a , ϵ ) U(a,\epsilon) U(a,ϵ),即开区间 ( a − ϵ , a + ϵ ) (a-\epsilon,a+\epsilon) (a−ϵ,a+ϵ),一定存在 N N N,使得当 n > N n>N n>N,即第 N N N项后的点 x n x_n xn​都落在开区间 U ( a , ϵ ) U(a,\epsilon) U(a,ϵ)内,而只有有限个点落在该区间以外

例

• lim ⁡ n → ∞ ( n + 1 n ) ( − 1 ) n \lim\limits_{n\to\infin}(\frac{n+1}{n})^{(-1)^{n}} n→∞lim​(nn+1​)(−1)n= 1 1 1
• 分析: lim ⁡ n → ∞ ( 2 n 2 n − 1 ) \lim\limits_{n\to\infin}(\frac{2n}{2n-1}) n→∞lim​(2n−12n​)=1; lim ⁡ n → ∞ ( 2 n + 1 2 n ) \lim\limits_{n\to\infin}(\frac{2n+1}{2n}) n→∞lim​(2n2n+1​)=1

函数的极限

函数自变量趋于有限值的极限定义@ ( ϵ − δ ) (\epsilon-\delta) (ϵ−δ)语言描述

• 对任意 ϵ > 0 \epsilon>0 ϵ>0,存在 δ > 0 \delta>0 δ>0,当 0 < ∣ x − a ∣ < δ 0<|x-a|<\delta 0<∣x−a∣<δ时,有 ∣ f ( x ) − A ∣ < ϵ |f(x)-A|<\epsilon ∣f(x)−A∣<ϵ,称 A A A为 f ( x ) f(x) f(x)当 x → a x\to{a} x→a时的极限,记为 lim ⁡ x → a f ( x ) = A \lim\limits_{x\to{a}}f(x)=A x→alim​f(x)=A,或 f ( x ) → a ( x → a ) f(x)\rightarrow a(x\rightarrow a) f(x)→a(x→a)

• 使用邻域和半形式化语言描述: ∀ ϵ > 0 \forall{\epsilon>0} ∀ϵ>0, ∃ δ > 0 \exist{\delta>0} ∃δ>0, x ∈ U ˚ ( a , δ ) x\in\mathring{U}(a,\delta) x∈U˚(a,δ)内 f ( x ) ∈ U ( A , ϵ ) f(x)\in{U(A,\epsilon)} f(x)∈U(A,ϵ),则 lim ⁡ x → a f ( x ) = A \lim\limits_{x\to{a}}f(x)=A x→alim​f(x)=A

单侧极限

左极限

• 对任意 ϵ > 0 \epsilon>0 ϵ>0,存在 δ > 0 \delta>0 δ>0,当 a − δ < x < a a-\delta<x<a a−δ<x<a时,有 ∣ f ( x ) − A ∣ < ϵ |f(x)-A|<\epsilon ∣f(x)−A∣<ϵ,称 A A A为 f ( x ) f(x) f(x)当 x → a − x\to{a^{-}} x→a−时的左极限,可记为以下三种形式之一
  • lim ⁡ x → a − f ( x ) = A \lim\limits_{x\to{a^{-}}}f(x)=A x→a−lim​f(x)=A,
  • f ( a − ) = A f(a^{-})=A f(a−)=A
  • f ( a − 0 ) = A f(a-0)=A f(a−0)=A

右极限

• 对任意 ϵ > 0 \epsilon>0 ϵ>0,存在 δ > 0 \delta>0 δ>0,当 a < x < a + δ a<x<a+\delta a<x<a+δ时,有 ∣ f ( x ) − A ∣ < ϵ |f(x)-A|<\epsilon ∣f(x)−A∣<ϵ,称 A A A为 f ( x ) f(x) f(x)当 x → a + x\to{a^{+}} x→a+时的左极限,记为
  • lim ⁡ x → a + f ( x ) = A \lim\limits_{x\to{a^{+}}}f(x)=A x→a+lim​f(x)=A
  • f ( a + ) = A f(a^{+})=A f(a+)=A
  • f ( a + 0 ) = A f(a+0)=A f(a+0)=A

左右极限判定极限存在

• 函数在某处的左极限和右极限简称为左右极限或两侧极限

• 根据 x → x 0 x\to{x_0} x→x0​时, f ( x ) f(x) f(x)的极限定义和左右极限的定义,容易证明 f ( x ) f(x) f(x)当 x → x 0 x\to{x_0} x→x0​时极限存在的充要条件是左右极限各自存在并且相等,即 f ( x 0 − 1 ) f(x_0^{-1}) f(x0−1​)= f ( x 0 + ) f(x_0^{+}) f(x0+​)

• 推论:若 f ( a − ) , f ( a + ) f(a^{-}),f(a^{+}) f(a−),f(a+)不都存在或存在但不相等,则 lim ⁡ x → a f ( x ) \lim\limits_{x\to{a}}f(x) x→alim​f(x)不存在

函数自变量趋于无穷大的极限定义@ ( ϵ − X ) (\epsilon-X) (ϵ−X)语言描述

• 这一大类的情况延申于数列的极限,在定义上十分相似,数列本身是一种特殊的离散型函数

1. ∀ ϵ > 0 \forall{\epsilon>0} ∀ϵ>0, ∃ X > 0 \exist{X>0} ∃X>0, x > X x>X x>X时,有 ∣ f ( x ) − A ∣ < ϵ |f(x)-A|<\epsilon ∣f(x)−A∣<ϵ,则称 A A A为 x → + ∞ x\to{+\infin} x→+∞的极限,记为 lim ⁡ x → + ∞ f ( x ) = A \lim\limits_{x\to{+\infin}}f(x)=A x→+∞lim​f(x)=A
2. ∀ ϵ > 0 \forall{\epsilon>0} ∀ϵ>0, ∃ X > 0 \exist{X>0} ∃X>0, x < − X x<-X x<−X时,有 ∣ f ( x ) − A ∣ < ϵ |f(x)-A|<\epsilon ∣f(x)−A∣<ϵ,则称 A A A为 x → − ∞ x\to{-\infin} x→−∞的极限,记为 lim ⁡ x → − ∞ f ( x ) = A \lim\limits_{x\to{-\infin}}f(x)=A x→−∞lim​f(x)=A
3. ∀ ϵ > 0 \forall{\epsilon>0} ∀ϵ>0, ∃ X > 0 \exist{X>0} ∃X>0, ∣ x ∣ > X |x|>X ∣x∣>X时,有 ∣ f ( x ) − A ∣ < ϵ |f(x)-A|<\epsilon ∣f(x)−A∣<ϵ,则称 A A A为 x → ∞ x\to{\infin} x→∞的极限,记为 lim ⁡ x → ∞ f ( x ) = A \lim\limits_{x\to{\infin}}f(x)=A x→∞lim​f(x)=A

极限和水平渐近线

• 从几何上说, lim ⁡ x → ∞ f ( x ) = A \lim\limits_{x\to{\infin}}f(x)=A x→∞lim​f(x)=A的意义是直线 y = A − ϵ y=A-\epsilon y=A−ϵ和 y = A + ϵ y=A+\epsilon y=A+ϵ,总又一个正数 X X X存在,使得当 x < − X x<-X x<−X或 x > X x>X x>X时, f ( x ) f(x) f(x)的图形位于两直线之间,直线 y = A y=A y=A时函数 f ( x ) f(x) f(x)的图形的水平渐近线

Note

• 容易看出,如果同时满足前2种情况,则一定满足第3种情况
• ∣ x ∣ > X |x|>X ∣x∣>X ⇔ \Leftrightarrow ⇔ x > X x>X x>X或 x < − X x<-X x<−X

小结

• 极限的定义可以用来判定某个数列等于某个极限值是否成立,但是并未给出求一个数列的极限的方法
• 极限定义法证明 f ( x ) → a ( x → ∗ ) f(x)\to{a}(x\to{*}) f(x)→a(x→∗)类型的问题,通常要构造绝对值表达式 Δ = Δ ( x ) = ∣ f ( x ) − a ∣ \Delta=\Delta(x)=|f(x)-a| Δ=Δ(x)=∣f(x)−a∣辅助推理(证明 Δ \Delta Δ在给定极限过程中可以任意小);因此要掌握绝对值式的一些化简和变形技巧以及取绝对值的方法和经典问题模型
• 求极限的方法需要另外探索,例如极限存在准则中夹逼法

例子

例

• 证明 lim ⁡ n → ∞ n + ( − 1 ) n − 1 n = 1 \lim\limits_{n\to\infin}{\frac{n+(-1)^{n-1}}{n}}=1 n→∞lim​nn+(−1)n−1​=1
  • 令 f ( n ) f(n) f(n)= n + ( − 1 ) n − 1 n \frac{n+(-1)^{n-1}}{n} nn+(−1)n−1​,构造 Δ = ∣ f ( n ) − 1 ∣ \Delta=|f(n)-1| Δ=∣f(n)−1∣,化简得 Δ = f ( n ) \Delta=f(n) Δ=f(n)= n + ( − 1 ) n − 1 n − 1 \frac{n+(-1)^{n-1}}{n}-1 nn+(−1)n−1​−1= ∣ 1 + ( − 1 ) n − 1 n − 1 ∣ |1+\frac{(-1)^{n-1}}{n}-1| ∣1+n(−1)n−1​−1∣= ∣ ( − 1 ) n − 1 n ∣ |\frac{(-1)^{n-1}}{n}| ∣n(−1)n−1​∣= 1 n \frac{1}{n} n1​
  • ∀ ϵ > 0 \forall{\epsilon}>0 ∀ϵ>0,为了使 Δ < ϵ \Delta<\epsilon Δ<ϵ,只要 n ∈ { n ∣ Δ < ϵ } n\in\set{n|\Delta<\epsilon} n∈{n∣Δ<ϵ}= { n ∣ 1 n < ϵ } \set{n|\frac{1}{n}<\epsilon} {n∣n1​<ϵ}即 n > 1 ϵ n>\frac{1}{\epsilon} n>ϵ1​,记 N 0 = 1 ϵ N_0=\frac{1}{\epsilon} N0​=ϵ1​
  • 因为 ϵ \epsilon ϵ是一个确定的实数,从而 N 0 N_0 N0​也是一个确定的数
  • 任取 N > N 0 N>N_0 N>N0​,当 n > N n>N n>N时有 Δ < ϵ \Delta<\epsilon Δ<ϵ成立,即 lim ⁡ n → ∞ n + ( − 1 ) n − 1 n = 1 \lim\limits_{n\to\infin}{\frac{n+(-1)^{n-1}}{n}}=1 n→∞lim​nn+(−1)n−1​=1成立

例

• 令 f ( n ) f(n) f(n)= ( − 1 ) n ( n + 1 ) 2 \frac{(-1)^n}{(n+1)^2} (n+1)2(−1)n​证明 lim ⁡ n → ∞ f ( n ) = 0 \lim\limits_{n\to{\infin}}f(n)=0 n→∞lim​f(n)=0
  • 构造 Δ ( n ) = ∣ f ( n ) − 0 ∣ \Delta(n)=|f(n)-0| Δ(n)=∣f(n)−0∣
  • ∀ ϵ \forall{\epsilon} ∀ϵ,为了使 Δ ( n ) < ϵ \Delta(n)<\epsilon Δ(n)<ϵ成立,只要 ∣ f ( n ) − 0 ∣ < ϵ |f(n)-0|<\epsilon ∣f(n)−0∣<ϵ,即 ∣ ( − 1 ) n ( n + 1 ) 2 − 0 ∣ |\frac{(-1)^n}{(n+1)^2}-0| ∣(n+1)2(−1)n​−0∣= 1 ( n + 1 ) 2 < ϵ \frac{1}{(n+1)^2}<\epsilon (n+1)21​<ϵ
  • − ϵ < 1 n + 1 < ϵ -\sqrt{\epsilon}<\frac{1}{n+1}<\sqrt\epsilon −ϵ ​<n+11​<ϵ ​,因为 1 n + 1 > 0 \frac{1}{n+1}>0 n+11​>0,所以 0 < 1 n + 1 < ϵ 0<\frac{1}{n+1}<\sqrt{\epsilon} 0<n+11​<ϵ ​,从而 n + 1 > 1 ϵ n+1>\frac{1}{\sqrt{\epsilon}} n+1>ϵ ​1​,即 n > 1 ϵ − 1 n>\frac{1}{\sqrt{\epsilon}}-1 n>ϵ ​1​−1;不妨取 N 0 = 1 ϵ N_0=\frac{1}{\sqrt\epsilon} N0​=ϵ ​1​
  • N 0 N_0 N0​是一个确定的实数,大于 N 0 N_0 N0​的正整数有无穷多个,任取一个记为 N N N,当 n > N n>N n>N就有 Δ ( n ) < ϵ \Delta(n)<\epsilon Δ(n)<ϵ
  • 所以 lim ⁡ n → ∞ f ( n ) = 0 \lim\limits_{n\to{\infin}}f(n)=0 n→∞lim​f(n)=0
  • Note:事实上,求 N 0 N_0 N0​或 N N N时可以借助方缩,使得不等式更加简化,本例中 Δ ( n ) = 1 ( n + 1 ) 2 < 1 n 2 \Delta(n)=\frac{1}{(n+1)^2}<\frac{1}{n^2} Δ(n)=(n+1)21​<n21​,
    • 根据放缩关系 Δ ( n ) = 1 ( n + 1 ) 2 < 1 n 2 \Delta(n)=\frac{1}{(n+1)^2}<\frac{1}{n^2} Δ(n)=(n+1)21​<n21​, 1 n 2 < ϵ \frac{1}{n^2}<\epsilon n21​<ϵ ⇒ \Rightarrow ⇒ 1 ( n + 1 ) 2 < ϵ \frac{1}{(n+1)^2}<\epsilon (n+1)21​<ϵ
    • 因此解 1 n 2 < ϵ \frac{1}{n^2}<\epsilon n21​<ϵ,得 n > 1 ϵ n>\frac{1}{\sqrt{\epsilon}} n>ϵ ​1​,取 N 0 = 1 ϵ N_0=\frac{1}{\sqrt{\epsilon}} N0​=ϵ ​1​, N N N可以任意地取自 { m ∣ m > N 0 , m ∈ N + } \set{m|m>N_0,m\in\mathbb{N_{+}}} {m∣m>N0​,m∈N+​}

ϵ , δ \epsilon,\delta ϵ,δ的意义

• ϵ \epsilon ϵ是用来刻画 f ( x ) f(x) f(x)与 A A A的接近程度(刻画函数值)
• δ \delta δ是用来刻画 x → x 0 x\to{x_0} x→x0​这个极限过程(刻画自变量)
  • x → x 0 x\to{x_0} x→x0​但 x ≠ x 0 x\neq{x_0} x=x0​
  • 极限 lim ⁡ x → x 0 f ( x ) \lim\limits_{x\to{x_0}}f(x) x→x0​lim​f(x)是否存在,若存在极限,极限值等于多少
    • 和" x = x 0 x=x_0 x=x0​处有没有定义,若有定义函数值等于多少"无关
    • 和 x = x 0 x=x_0 x=x0​的去心邻域 U ˚ ( x 0 , δ ) \mathring{U}(x_0,\delta) U˚(x0​,δ)函数值有关
  • 要使 lim ⁡ x → x 0 f ( x ) \lim\limits_{x\to{x_0}}f(x) x→x0​lim​f(x)存在, f ( x ) f(x) f(x)必须在 x = x 0 x=x_0 x=x0​的某去心领域 U ˚ ( x 0 , δ ) \mathring{U}(x_0,\delta) U˚(x0​,δ)处处有定义

各种极限定义的共同点

• 无论是数列极限还是函数极限,都用了正数 ϵ \epsilon ϵ来刻画极限存在的形式
• 当 ϵ \epsilon ϵ可以任意取(足够小)的时候,才能够体现极限的意义(它刻画了数列在靠近极限的过程的与极限的接近程度),因此定义中总是强调任意的正数 ϵ \epsilon ϵ( ∀ ϵ > 0 \forall{\epsilon>0} ∀ϵ>0)

几何意义

• 对任意给定的 ϵ > 0 \epsilon>0 ϵ>0,总存在 U ˚ ( x 0 , δ ) \mathring{U}(x_0,\delta) U˚(x0​,δ),当 x ∈ U ˚ ( x 0 , δ ) x\in{\mathring{U}(x_0,\delta)} x∈U˚(x0​,δ)时,曲线 y = f ( x ) y=f(x) y=f(x)夹在两直线 y = A − ϵ y=A-\epsilon y=A−ϵ,和 y = A + ϵ y=A+\epsilon y=A+ϵ之间

极限定义中的极限过程临界值

• 根据上述极限的定义,数列极限中的 N N N,函数极限中的 X X X或 δ \delta δ,都是给定 ϵ \epsilon ϵ后,构造极限过程的区间(例如 n > N , x > X , 0 < ∣ x − a ∣ < δ n>N,x>X,0<|x-a|<\delta n>N,x>X,0<∣x−a∣<δ)的参数,不妨称之为极限过程临界值
• X X X(或 N N N)和预先给定的 ϵ ( ϵ > 0 ) \epsilon(\epsilon>0) ϵ(ϵ>0)有关,但是 X X X并不是 ϵ \epsilon ϵ的函数

  • 因为同一个 ϵ \epsilon ϵ可以对应多个(甚至无穷多个)符合条件的 X X X

  • 若 X = X 1 X=X_1 X=X1​满足 x > X x>X x>X时 f ( x ) ∈ U ( A , ϵ ) f(x)\in{U(A,\epsilon)} f(x)∈U(A,ϵ),则 X = X 2 ( X 2 > X 1 ) X=X_2(X_2>X_1) X=X2​(X2​>X1​)也满足

理解极限容易进入的误区👺

• 这里要辨析的概念(假设 x → ∗ x\to{*} x→∗的极限过程中)
  • 可无限接近(要多接近有多接近)的值是极限
  • 越来越接近的值不一定是极限
  • 无限接近不同于越来越接近
    • 无限接近得不出越来越接近
    • 越来越接近也得不出无限接近

无限接近不同于越来越接近

• 无限接近于极限(趋近于极限) ⇎ \not\Leftrightarrow ⇔越来越接近极限

  • 极限强调的时无限接近,但不要求严格的越来越接近,只要总体上是越来越接近即可

  • lim ⁡ x n → ∞ x n = 0 \lim_{x_n\rightarrow \infin}x_n=0 limxn​→∞​xn​=0,我们不能够说, x n x_n xn​随着 n → ∞ n\rightarrow \infin n→∞ , x n ,x_n ,xn​越来越接近 x n x_n xn​

例

• 不单调也可以无限接近(有极限)

• x n = 1 n x_n=\frac{1}{n} xn​=n1​;极限 x n = 0 ( n → ∞ ) x_n=0(n\rightarrow \infin) xn​=0(n→∞)单调而且有极限0

• x n = ( − 1 ) n n x_n=\frac{(-1)^{n}}{n} xn​=n(−1)n​= ( − 1 ) n 1 n (-1)^{n}\frac{1}{n} (−1)nn1​;极限 x n = 0 ( n → ∞ ) x_n=0(n\rightarrow \infin) xn​=0(n→∞)不单调但是也有极限0

例

• 令 f 1 ( x ) f_1(x) f1​(x)= 1 x \frac{1}{x} x1​; f 2 ( x ) f_2(x) f2​(x)= 3 x \frac{3}{x} x3​

• f ( x ) = { f 1 ( x ) ( n 为奇数 ) f 2 ( x ) ( n 为偶数 ) f(x)=\begin{cases} f_1(x)&(n为奇数)\\ f_2(x)&(n为偶数) \end{cases} f(x)={f1​(x)f2​(x)​(n为奇数)(n为偶数)​

• f 1 ( x ) f_1(x) f1​(x), f 2 ( x ) f_2(x) f2​(x)都满足 x n → 0 ( n → ∞ ) x_n\rightarrow0(n\rightarrow\infin) xn​→0(n→∞);而 f ( x ) f(x) f(x)是振荡地趋近于0

• x 1 , x 2 , x 3 , x 4 , … x_1,x_2,x_3,x_4,\dots x1​,x2​,x3​,x4​,… 分别等于 1 , 3 2 , 1 3 , 3 4 1,\frac{3}{2},\frac{1}{3},\frac{3}{4} 1,23​,31​,43​

越来越接近推不出无限接近

• y = 1 x + 1 ( x > 0 ) y=\frac{1}{x}+1(x>0) y=x1​+1(x>0), x → ∞ x\to \infin x→∞ 的过程越来越接近于 y = 1 y=1 y=1,同时 y y y还越来越接近与 y = 0 y=0 y=0,

• 尽管 y y y可以无限接近于1,但是无法无限接近于 y = 0 y=0 y=0,因为我们可以肯定: y > 1 y>1 y>1;

本文标签： AM邻域数列和函数的极限相关概念的辨析