指数函数,对数函数,幂函数的图像与性质

,.

指数函数、对数函数、幂函数的图像与性质

（一）指数与指数函数

1．根式

（1）根式的概念

根式的概念

如果xna,那么x叫做a的n次方根

当n为奇数时,正数的n次方根是一个正数,负数的n次方根是一个负数

当n为偶数时,正数的n次方根有两个,它们互为相反数

（2）．两个重要公式

n为奇数

a

nn①aa(a0) ；

|a|a(a0)n为偶数

n②(na)a（注意a必须使na有意义）。

n符号表示

备注

n1且nN

零的n次方根是零

a

na(a0)

负数没有偶次方根

2．有理数指数幂

（1）幂的有关概念

①正数的正分数指数幂:amnnam(a0,m、nN,且n1);

mn②正数的负分数指数幂:

a1amn1nam(a0,m、nN,且n1)

③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义.

注：分数指数幂与根式可以互化，通常利用分数指数幂进行根式的运算。

（2）有理数指数幂的性质

①aras=ar+s(a>0,r、s∈Q);

②(ar)s=ars(a>0,r、s∈Q);

③(ab)r=arbs(a>0,b>0,r∈Q);.

3．指数函数的图象与性质

,.

y=ax

图象

a>1 0

定义域

值域

性质

R

（0，+）

（1）过定点（0，1）

（2）当x>0时，y>1;

x<0时,0

(2) 当x>0时，0

x<0时, y>1

(3)在（-，+）上是增函数 （3）在（-，+）上是减函数

注：如图所示，是指数函数（1）y=ax,（2）y=bx,（3）,y=cx（4）,y=dx的图象，如何确定底数a,b,c,d与1之间的大小关系？

提示：在图中作直线x=1，与它们图象交点的纵坐标即为它们各自底数的值，即c1>d1>1>a1>b1,∴c>d>1>a>b。即无论在轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大。

（二）对数与对数函数

1、对数的概念

（1）对数的定义

如果aN(a0且a1)，那么数x叫做以a为底，N的对数，记作xloga，其中a叫做对数的底数，N叫做真数。

（2）几种常见对数

对数形式

一般对数

常用对数

自然对数

2、对数的性质与运算法则

1a（1）对数的性质（a0,且a1）：①loga0，②loga1，③axN特点

底数为aa0,且a1

底数为10

底数为e

记法

logaN

lgN

lnN

logaNN，④logaaN。

N

,.

（2）对数的重要公式：

①换底公式：logbNlogaN(a,b均为大于零且不等于1,N0)；

bloga②logab1。

alogb（3）对数的运算法则：

如果a0,且a1，M0,N0那么

①loga(MN)logaMlogaN；

②logaMlogaMlogaN；

Nn③logaMnlogaM(nR)；

④logambnnlogab。

m3、对数函数的图象与性质

a1

图象

性（1）定义域：（0,+）

质

（2）值域：R

（3）当x=1时，y=0即过定点（1，0）

（4）当0x1时，y(,0)；

当x1时，y(0,)

（5）在（0,+）上为增函数

0a1

（4）当x1时，y(,0)；

当0x1时，y(0,)

（5）在（0,+）上为减函数

注：确定图中各函数的底数a，b，c，d与1的大小关系

提示：作一直线y=1，该直线与四个函数图象交点的横坐标即为它们相应的底数。

∴0

,.

4、反函数

指数函数y=ax与对数函数y=logax互为反函数，它们的图象关于直线y=x对称。

（三）幂函数

1、幂函数的定义

α形如y=x（a∈R）的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数

注：幂函数与指数函数有本质区别在于自变量的位置不同，幂函数的自变量在底数位置，而指数函数的自变量在指数位置。

2、幂函数的图象

注：在上图第一象限中如何确定y=x3，y=x2，y=x，yx，y=x-1方法：可画出x=x0；

1212当x0>1时，按交点的高低，从高到低依次为y=x3，y=x2， y=x，yx， y=x-1；

当0

3、幂函数的性质

y=x

定义域

值域

奇偶性

单调性

R

R

奇

增

R

[0，）

偶

R

R

奇

[0，）

[0，）

非奇非偶

增

y=x2 y=x3

1212yx

y=x-1

x|xR且x0

y|yR且y0

奇

x∈(0,+)时，减；

x∈(-,0)时，减

x∈[0，）时，增； 增

x∈(,0]时，减

定点 （1，1）

三：例题诠释，举一反三

知识点1：指数幂的化简与求值

例1.(2007育才A)

3340.53[(3)(5)(0.008)(0.02)2(0.32)2]0.06250.2589（1）计算：；

2211

,.

a8ab3（2）化简：4b2aba23234313(a2323ba3a2)5aa3a

变式：（2007执信A）化简下列各式（其中各字母均为正数）:

(ab)ab123121213（1）6ab5;

211513213322（2）ab(3ab)(4ab).

62700.25423631.5()82(23)()63 (3)

13知识点2：指数函数的图象及应用

1a1b()()，下列五个关系式：①0＜b＜a;②a＜b例2.(2009广附A)已知实数a、b满足等式23＜0;③0＜a＜b;④b＜a＜0;⑤a=b.其中不可能成立的关系式有 （ ）

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

变式：（2010华附A）若直线y2a与函数y|a1|(a0

且a1)的图象有两个公共点，则a的取值范围是_______.

知识点3：指数函数的性质

例3.（2010省实B）已知定义域为R的函数（Ⅰ）求b的值；

（Ⅱ）判断函数fx的单调性;

（Ⅲ）若对任意的tR，不等式f(t2t)f(2tk)0恒成立，求k的取值范围．

22x2xbf(x)x1是奇函数。

22exa变式：（2010东莞B）设a＞0,f(x)=是R上的偶函数.

aex（1）求a的值；

（2）求证：f(x)在（0，+∞）上是增函数.

知识点4：对数式的化简与求值

例4.（2010云浮A）计算：（1）log23(23)

2（2）2(lg2)+lg2·lg5+(lg2)lg21;

2

,.

（3）lg12324-lg8+lg245.493

变式：（2010惠州A）化简求值.

（1）log217+log212-log242-1;2482

（2）(lg2)+lg2·lg50+lg25;

（3）(log32+log92)·(log43+log83).

知识点5：对数函数的性质

例5.（2011深圳A）对于0a1，给出下列四个不等式：

①loga(1a)loga(a);③a1a11②loga(1a)loga(1)；

a

a1aa11a;

④aa11a;

其中成立的是（ ）

11,logab,logb的大小关系是

bb（A）①与③（B）①与④（C）②与③（D）②与④

变式：（2011韶关A）已知0＜a＜1,b＞1,ab＞1，则loga（ ）

1111logbloglogablogb

B.

logbloga logalogab

bbbb例6.（2010广州B）已知函数f(x)=logax(a＞0,a≠1)，如果对于任意x∈［3，+∞）都有|f(x)|≥1成立，试求a的取值范围.

变式：（2010广雅B）已知函数f（x）=log2(x-ax-a)在区间（-∞,函数.求实数a的取值范围.

知识点6：幂函数的图象及应用

12)在幂函数f(x)的图象上，点2，，在幂函数g(x)的图例7.(2009佛山B)已知点(2，4象上．问当x为何值时有：（１）f(x)g(x)；（２）f(x)g(x)；（３）f(x)g(x)．

21-3］上是单调递减变式：（2009揭阳B）已知幂函数f(x)=xm22m3（m∈Z）为偶函数，且在区间（0，+∞）上b的奇偶性.xf（x）是单调减函数.（1）求函数f(x);（2）讨论F（x）=af（x）

四：方向预测、胜利在望

1．（A）函数f(x)lg1x的定义域为（ ）

x4A．(1，4) B．[1，4) C．(－∞，1)∪(4，＋∞) D．(－∞，1]∪(4，＋∞)

2.（A）以下四个数中的最大者是（ ）

(A) (ln2)

2 (B) ln(ln2) (C) ln2 (D) ln2

3（B）设a>1，函数f(x)=logax在区间［a,2a］上的最大值与最小值之差为,则a=( )

(A)2 （B）2 （C）22 （D）4

12

,.

4.（A）已知f(x)是周期为2的奇函数，当0x1时，f(x)lgx.设635af(),bf(),cf(),则（ ）

522 （A）abc （B）bac （C）cba （D）cab

x12e,x2,5.（B）设f(x)=

则不等式f(x)>2的解集为（ ）

2log3(x1),x2,(A)（1，2）（3，+∞） (B)（10，+∞）

(C)（1，2） （10 ，+∞） (D)（1，2）

6．（A）设Plog23，Qlog32，Rlog2(log32)，则（ ）

Ａ．RQP Ｂ．PRQ Ｃ．QRP Ｄ．RPQ

7．(A)已知log1blog1alog1c，则( )

A．222

b2a2cB．22b2c C．2c2b2a D．2c2a2b

2a8．（B）下列函数中既是奇函数，又是区间1,1上单调递减的是（ ）

（A）f(x)sinx (B)

f(x)x1

1x2x

(aax) (D)

f(x)ln22x9.（A）函数ylog1(3x2)的定义域是：（ ）

(C)

f(x)222A

[1,) B

(23,) C

[3,1] D

(3,1]

10.(A)已知函数ylog1x与ykx的图象有公共点A，且点A的横坐标为2，则k（ ）

41111 B． C． D．

4422x11．（B）若函数f(x)ab1(a0且a1)的图象经过第二、三、四象限，则一定A．有（ ）

A．0a1且b0 B．a1且b0

C．0a1且b0 D．a1且b0

12．(B)若函数f(x)logax(0a1)在区间[a,2a]上的最大值是最小值的3倍，则a=（ ）

A.

2

4B.

2

2C.

1

4 D.

1

213.(A)已知0＜x＜y＜a＜1，则有（ ）

（A）loga(xy)0 （B）0loga(xy)1

（C）1loga(xy)2 （D）loga(xy)2

14.（A）已知f(x)log2x，那么f(8)等于（ ）

（A）64

3 （B）8 （C）18 （D）1

215．（B）函数y＝lg|x| （ ）

A．是偶函数，在区间(－∞，0)上单调递增 B．是偶函数，在区间(－∞，0)上单调递减

C．是奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递增 D．是奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递减

16.（A）函数ylg(4x)的定义域是 ____________________________.

x3

,.

17．（B）函数ya(a0，a1)的图象恒过定点A，若点A在直线11mxny10(mn0)上，则的最小值为 ．

mnex,x0.118．（A）设g(x) 则g(g())__________

2lnx,x0.19．（B）若函数f(x) =

21.(B)已知函数f(x)性.

1x2x22axa1的定义域为R，则a的取值范围为___________.

x22a2)是奇函数，则a= ． 20．(B)若函数f(x)loga(x11x，求函数f(x)的定义域，并讨论它的奇偶性和单调log2x1x

参考答案：

三：例题诠释，举一反三

例1. 解：（1）16133222，（2）a

9351515ab2b(ab)变式：解：ab2. (3)110

2（1）1, （32）44ab4ab3例2. 解：B

变式：解：(0,)；

例3. 解：（Ⅰ）b1 （Ⅱ）减函数。 （Ⅲ）k变式：解：（1）a=1.（2）略

例4. 解：（1）-1.（2）1.（3）.3log2变式：解：log22(1).24842222121

312

712132（2）2.（3）5

4例5. 解：选D。

变式：解： C

例6. 解：(1，3］∪［，1）

变式：解：{a|2-23≤a＜2}

例7. 解：（1）当x1或x1时，f(x)g(x)；

（2）当x1时，f(x)g(x)；

（3）当1x1且x0时，f(x)g(x)．

变式：解：（1）f(x)=x.

（2）F（x）=ax2bx3， ∴F（-x）=ax2-4313+bx.

①当a≠0，且b≠0时，F（x）为非奇非偶函数；

,.

②当a=0,b≠0时，F（x）为奇函数；

③当a≠0,b=0时，F（x）为偶函数；

④当a=0,b=0时，F（x）既是奇函数，又是偶函数.

四：方向预测、胜利在望

1—5 ADDDC； 6—10 AADDA； 11—15 CADDB.

16. (-, 3)(3,4) 17. 4 18.21 19.[-1,0] 20.

22x01x21．[解]x须满足1x,由0得1x1,

01x1x所以函数f(x)的定义域为（－1，0）∪（0，1）.

因为函数f(x)的定义域关于原点对称，且对定义域内的任意x，有

11x11xf(x)log2(log2)f(x)，所以f(x)是奇函数.

x1xx1x研究f(x)在（0，1）内的单调性，任取x1、x2∈（0，1），且设x1

1x111x21f(x1)f(x2)log2log2x11x1x21x2(由1122)[log2(1)log2(1)],

x1x21x21x111220,log2(1)log2(1)0,x1x21x21x1得f(x1)f(x2)>0，即f(x)在（0，1）内单调递减，

由于f(x)是奇函数，所以f(x)在（－1，0）内单调递减.