三角函数公式和图像大全

三角函数公式和图像大全

初等函数的图形

幂函数的图形

指数函数的图形

对数函数的图形

三角函数的图形

各三角函数值在各象限的符号

sinα·cscα cosα·secα

tanα·cotα

三角函数的性质

函数

y=sinx y=cosx y=tanx

｛x｜x∈R且x≠kπ+,k∈2Z｝

y=cotx

｛x｜x∈R且x≠kπ,k∈Z｝

定义域

R R

值域

［-1,1］

时x=2kπ时2ymax=1 ymax=1

x=2kπ+π时x=2kπ- 时ymin=-1

ymin=-1

2

［-1，1］x=2kπ+周期为2π

奇函数

周期为2π

偶函数

R

无最大值

无最小值

R

无最大值

无最小值

周期性

奇偶性

周期为π

奇函数

周期为π

奇函数

在(kπ，kπ+π)内都是减函数(k∈Z)

单调性

,2kπ+ ］22上都是增函数；在2［2kπ+ ,2kπ+π］32上都是减函数(k∈Z)

在［2kπ-在［2kπ-π，在(kπ-，2kπ］上都是增2函数；在［2kπ，kπ+)内都是2kπ+π］上都2是减函数(k∈增函数(k∈Z)

Z)

反三角函数的图形

反三角函数的性质

名称 反正弦函数

y=sinx(x∈〔-, 〕的反22函数，叫做反正弦函数，记作x=arsiny

反余弦函数 反正切函数 反余切函数

y=cotx(x∈(0,π))的反函数，叫做反余切函数，记作x=arccoty

定义

y=cosx(x∈y=tanx(x∈(- ,

〔0,π〕)的反函2数，叫做反余 )的反函数，叫弦函数，记作2x=arccosy

做反正切函数，记作x=arctany

理解

arcsinx表示属于［-,］

22且正弦值等于x的角

arccosx表示arctanx表示属于arccotx表示属属于［0，π］，于(0，π)且余切(-,)，且正切且余弦值等于值等于x的角

22x的角

值等于x的角

定义域 ［-1，1］ ［-1，1］

［0，π］

(-∞，+∞)

(-(-∞，+∞)

(0，π)

在(-∞，+∞)上是减函数

arccot(-x)=π-arccotx

cot(arccotx)=x(x∈R)

arccot(cotx)=x(x∈(0,π))

，］

22性在〔-1，1〕上是单调性

质

增函数

arcsin(-x)=-arcsi奇偶性

nx

周期性 都不是同期函数

sin(arcsinx)=x(x∈［-1，1］)arcsin(sinx)恒等式

=x(x∈［-,］)

22值域

［-互余恒等式

，)

22在［-1，1］上在(-∞，+∞)上是增是减函数 数

arccos(-x)=π-arctan(-x)=-arctaarccosx nx

cos(arccosx)=tan(arctanx)=x(xx(x∈［-1,1］)

∈arccos(cosx)=R)arctan(tanx)=xx(x∈［0,π］)

（x∈(-,)）

22arcsinx+arccosx=(x∈［-1,1］) arctanx+arccotx=(X∈R)

22

三角函数公式

两角和公式

sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB

sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB

cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB

cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB

tan(A+B) =tanAtanB1-tanAtanB

tan(A-B) =tanAtanB1tanAtanB

cot(A+B) =cotAcotB-1cotBcotA

cot(A-B) =cotAcotB1cotBcotA

倍角公式

tan2A =2tanA1tan2A

Sin2A=2SinA•CosA

Cos2A = Cos2A-Sin2A=2Cos2A-1=1-2sin2A

三倍角公式

sin3A = 3sinA-4(sinA)3

cos3A = 4(cosA)3-3cosA

tan3a = tana·tan(3+a)·tan(3-a)

半角公式

sin(A1cosA2)=2

cos(A1cosA2)=2

tan(A1cosA2)=1cosA

cot(A1cosA2)=1cosA

tan(A1cosAsin2)=sinA=A1cosA

和差化积

sina+sinb=2sinaba2cosb2

sina-sinb=2cosab2sinab2

cosa+cosb = 2cosabab2cos2

cosa-cosb = -2sinaba2sinb2

tana+tanb=sin(ab)cosacosb

积化和差

sinasinb = -12[cos(a+b)-cos(a-b)]

cosacosb =

12[cos(a+b)+cos(a-b)]

sinacosb =

12[sin(a+b)+sin(a-b)]

cosasinb =

12[sin(a+b)-sin(a-b)]

诱导公式

sin(-a) = -sina

cos(-a) = cosa

sin(2-a) = cosa

cos(2-a) = sina

sin(2+a) = cosa

cos(2+a) = -sina

sin(π-a) = sina

cos(π-a) = -cosa

sin(π+a) = -sina

cos(π+a) = -cosa

tgA=tanA =sinacosa万能公式

2tanasina=2

1(tana)221(tana)2cosa=21(tana)222tanatana=21(tana)22

其它公式

a•sina+b•cosa=(a2b2)×sin(a+c) [其中tanc=ba]

a•sin(a)-b•cos(a) =

(a2b2)×cos(a-c) [其中tan(c)=ab]

1+sin(a) =(sina2+cosa2)2

1-sin(a) = (sina-cosa)2

22

其他非重点三角函数

csc(a) =1sina

sec(a) =1cosa

双曲函数

sinh(a)=ea-e-a2

cosh(a)=eae-a2

tg h(a)=sinh(a)cosh(a)

公式一

设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin（2kπ＋α）= sinα

cos（2kπ＋α）= cosα

tan（2kπ＋α）= tanα

cot（2kπ＋α）= cotα

公式二

设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：

sin（π＋α）= -sinα

cos（π＋α）= -cosα

tan（π＋α）= tanα

cot（π＋α）= cotα

公式三

任意角α与 -α的三角函数值之间的关系：

sin（-α）= -sinα

cos（-α）= cosα

tan（-α）= -tanα

cot（-α）= -cotα

公式四

利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：

sin（π-α）= sinα

cos（π-α）= -cosα

tan（π-α）= -tanα

cot（π-α）= -cotα

公式五

利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：

sin（2π-α）= -sinα

cos（2π-α）= cosα

tan（2π-α）= -tanα

cot（2π-α）= -cotα

公式六

2±α及32±α与α的三角函数值之间的关系：

sin（2+α）= cosα

cos（2+α）= -sinα

tan（2+α）= -cotα

cot（2+α）= -tanα

sin（2-α）= cosα

cos（2-α）= sinα

tan（2-α）= cotα

cot（2-α）= tanα

sin（32+α）= -cosα

cos（32+α）= sinα

tan（32+α）= -cotα

cot（32+α）= -tanα

sin（32-α）= -cosα

cos（32-α）= -sinα

tan（32-α）= cotα

cot（32-α）= tanα

(以上k∈Z)

这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用A•sin(ωt+θ)+ B•sin(ωt+φ) =A2B22ABcos()×sintarcsin[(AsinBsin)A2B22ABcos()

三角函数公式证明（全部）

公式表达式

乘法与因式分解

a2-b2=(a+b)(a-b) a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2) a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)

三角不等式

|a+b|≤|a|+|b|

|a-b|≤|a|+|b|

|a|≤b<=>-b≤a≤b

|a-b|≥|a|-|b|

-|a|≤a≤|a|

一元二次方程的解

-b+√(b2-4ac)/2a -b-b+√(b2-4ac)/2a

根与系数的关系

X1+X2=-b/a

X1*X2=c/a

注：韦达定理

判别式 b2-4a=0 注：方程有相等的两实根

b2-4ac>0 注：方程有一个实根

b2-4ac<0 注：方程有共轭复数根

三角函数公式

两角和公式

sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA

cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB

tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)

ctg(A+B)=(ctgActgB-1)/(ctgB+ctgA) ctg(A-B)=(ctgActgB+1)/(ctgB-ctgA)

倍角公式

tan2A=2tanA/(1-tan2A) ctg2A=(ctg2A-1)/2ctga

cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a

半角公式

sin(A/2)=√((1-cosA)/2) sin(A/2)=-√((1-cosA)/2)

cos(A/2)=√((1+cosA)/2) cos(A/2)=-√((1+cosA)/2)

tan(A/2)=√((1-cosA)/((1+cosA)) tan(A/2)=-√((1-cosA)/((1+cosA))

ctg(A/2)=√((1+cosA)/((1-cosA)) ctg(A/2)=-√((1+cosA)/((1-cosA))

和差化积

2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B) 2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B)

2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B) -2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B)

sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2 cosA+cosB=2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2)

tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB

ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB -ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB

某些数列前n项和

1+2+3+4+5+6+7+8+9+…+n=n(n+1)/2

1+3+5+7+9+11+13+15+…+(2n-1)=n2

2+4+6+8+10+12+14+…+(2n)=n(n+1)

12+22+32+42+52+62+72+82+…+n2=n(n+1)(2n+1)/6

13+23+33+43+53+63+…n3=n2(n+1)2/4

1*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+…+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3

正弦定理

a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R

注： 其中 R 表示三角形的外接圆半径

余弦定理

b2=a2+c2-2accosB

注：角B是边a和边c的夹角

正切定理

[(a+b)/(a-b)]={[Tan(a+b)/2]/[Tan(a-b)/2]}

圆的标准方程

(x-a)2+(y-b)2=r2 注：（a,b）是圆心坐标

圆的一般方程

x2+y2+Dx+Ey+F=0 注：D2+E2-4F>0

抛物线标准方程

y2=2px y2=-2px x2=2py x2=-2py

直棱柱侧面积

S=c*h

斜棱柱侧面积

S=c'*h

正棱锥侧面积

S=1/2c*h'

正棱台侧面积

S=1/2(c+c')h'

圆台侧面积

S=1/2(c+c')l=pi(R+r)l

球的表面积

S=4pi*r2

圆柱侧面积

S=c*h=2pi*h

圆锥侧面积

S=1/2*c*l=pi*r*l

弧长公式

l=a*r

a是圆心角的弧度数r >0