两角和与差的正弦、余弦和正切公式(含解析)

归纳与技巧：两角和与差的正弦、余弦和正切公式

基础知识归纳

1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式

(1)C(α－β)：cos(α－β)＝cos_αcos_β＋sin_αsin_β；

(2)C(α＋β)：cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β；

(3)S(α＋β)：sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β；

(4)S(α－β)：sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β；

tan α＋tan β(5)T(α＋β)：tan(α＋β)＝；

1－tan αtan βtan α－tan β(6)T(α－β)：tan(α－β)＝.

1＋tan αtan β2．二倍角的正弦、余弦、正切公式

(1)S2α：sin 2α＝2sin_αcos_α；

(2)C2α：cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；

2tan α(3)T2α：tan 2α＝.

1－tan2α3．常用的公式变形

(1)tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)；

1＋cos 2α1－cos 2α(2)cos2α＝，sin2α＝；

22(3)1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2，

1－sin 2α＝(sin α－cos α)2，

πα±. sin α±cos α＝2sin4

基础题必做

sin 2α1． 若tan α＝3，则2的值等于( )

cosαA．2

C．4

解析：选D

B．3

D．6

sin 2α2sin αcos α＝＝2tan α＝2×3＝6.

cos2αcos2α2．sin 68°sin 67°－sin 23°cos 68°的值为( )

A．－C.2

2

B.2

23

2D．1

2.

2解析：选B 原式＝sin 68°cos 23°－cos 68°sin 23°＝sin(68°－23°)＝sin 45°＝23．已知sin α＝，则cos(π－2α)等于( )

3A．－1C.

95

3

1B．－

9D.5

341解析：选B cos(π－2α)＝－cos 2α＝－(1－2sin2α)＝2sin2α－1＝2×－1＝－.

99π4α＋＝________ 4．(教材习题改编)若cos α＝－，α是第三象限角，则sin45解析：由已知条件sin α＝－31－cos2α＝－，

5π2272α＋＝sin α＋cos α＝－sin.

4221072答案：－

10π2α＋＝，则tan α＝________. 5．若tan45πtan α＋12α＋＝解析：tan41－tan α＝5，

即5tan α＋5＝2－2tan α.

3则7tan α＝－3，故tan α＝－.

73答案：－

7

解题方法归纳

1.两角和与差的三角函数公式的理解：

(1)正弦公式概括为“正余，余正符号同”．“符号同”指的是前面是两角和，则后面中间为“＋”号；前面是两角差，则后面中间为“－”号．

(2)余弦公式概括为“余余，正正符号异”．

(3)二倍角公式实际就是由两角和公式中令β＝α所得．特别地，对于余弦：cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α，这三个公式各有用处，同等重要，特别是逆用即为“降幂公式”，在考题中常有体现．

2．重视三角函数的“三变”：“三变”是指“变角、变名、变式”；变角为：对角的分拆要尽可能化成已知角、同角、特殊角；变名：尽可能减少函数名称；变式：对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等．在解决求值、化简、证明问题时，一般是观察角度、函数名、所求(或所证明)问题的整体形式中的差异，再选择适当的三角公式恒等变形．

三角函数公式的应用

典题导入

1π[例1] 已知函数f(x)＝2sin3x－6，x∈R.

5π(1)求f4的值；

ππ1060，，f3α＋＝，f(3β＋2π)＝，求cos(α＋β)的值． (2)设α，β∈213251π[自主解答] (1)∵f(x)＝2sin3x－6，

5π5π－π＝2sinπ＝2. ∴f＝2sin41264ππ1060，，f3α＋＝，f(3β＋2π)＝，

(2)∵α，β∈21325π610β＋＝.

∴2sin α＝，2sin251353即sin α＝，cos β＝.

135124∴cos α＝，sin β＝.

135∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β

1235416＝×－×＝.

13513565

解题方法归纳

两角和与差的三角函数公式可看作是诱导公式的推广，可用α、β的三角函数表示α±β

的三角函数，在使用两角和与差的三角函数公式时，特别要注意角与角之间的关系，完成统一角和角与角转换的目的．

以题试法

π31．(1)已知sin α＝，α∈2，π，则5＝________.

π2sinα＋4cos 2α(2) 已知α为锐角，cos α＝π5＋2α＝( ) ，则tan451B．－

7D．－7

cos2α－sin2α＝cos α－sin α，

A．－3

4C．－

3解析：(1)

＝

cos 2απα＋2sin4222sin α＋cos α22π34，π，∴cos α＝－.

∵sin α＝，α∈2557∴原式＝－.

541－32×2π254＋2α＝(2)依题意得，sin α＝，故tan α＝2，tan 2α＝＝－，所以tan＝45341－41＋31－.

77答案：(1)－ (2)B

5

三角函数公式的逆用与变形应用

典题导入

x[例2] 已知函数f(x)＝2cos2－3sin x.

2(1)求函数f(x)的最小正周期和值域；

π1cos 2αα－＝，求(2)若α为第二象限角，且f的值．

331＋cos 2α－sin 2απxx＋，

[自主解答] (1)∵f(x)＝2cos2－3sin x＝1＋cos x－3sin x＝1＋2cos32

∴周期T＝2π，f(x)的值域为[－1,3]．

π111α－＝，∴1＋2cos α＝，即cos α＝－. (2)∵f3333∵α为第二象限角，∴sin α＝22.

3cos2α－sin2αcos 2α∴＝

1＋cos 2α－sin 2α2cos2α－2sin αcos α122－＋cos α＋sin α1－2233＝＝＝.

2cos α22－3

解题方法归纳

运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟练、准确，而且要熟悉公式的逆用及变形，如tan α＋tan β＝tan(α＋β)·(1－tan αtan β)和二倍角的余弦公式的多种变形等．

以题试法

π43α＋π的值为( )

α＋＋cos α＝2．(1) 已知sin，则sin6354A.

5C.3

2

3B.

5D.3

53π(2)若α＋β＝，则(1－tan α)(1－tan β)的值是________．

4解析：(1)由条件得3343sin α＋cos α＝，

225134即sin α＋cos α＝.

225π4α＋＝.

∴sin35tan α＋tan β3π(2)－1＝tan＝tan(α＋β)＝，

41－tan αtan β∴tan αtan β－1＝tan α＋tan β.

∴1－tan α－tan β＋tan αtan β＝2，

即(1－tan α)(1－tan β)＝2.

答案：(1)A (2)2

角 的 变 换

典题导入

sin α＋cos α[例3] (1) 若＝3，tan(α－β)＝2，则tan(β－2α)＝________.

sin α－cos απ4πα＋＝，则sin2α＋的值为________． (2) 设α为锐角，若cos1265sin α＋cos αtan α＋1[自主解答] (1)由条件知＝＝3，

sin α－cos αtan α－1则tan α＝2.

故tan(β－2α)＝tan [(β－α)－α]

＝4＝＝.

1＋tanβ－αtan α1＋－2×23tanβ－α－tan α－2－2π4α＋＝，

(2)因为α为锐角，cos65π3π24α＋＝，sin 2α＋＝， 所以sin65625π7α＋＝，

cos 2625πππ2α＋＝sin2α＋6－

所以sin12424272172＝×－×＝.

252252504172[答案] (1) (2)

350

解题方法归纳

1．当“已知角”有两个时，一般把“所求角”表示为两个“已知角”的和或差的形式；

2．当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．

3．常见的配角技巧：

α＝2·α2；α＝(α＋β)－β；

α＝β－(β－α)；

α＝12[(α＋β)＋(α－β)]；

β＝12[(α＋β)－(α－β)]；

πππ4＋α＝2－4－α；α＝π4－π4－α.

以题试法

3．设tan(α＋β)＝2π1π5，tanβ－4＝4，则tanα＋4＝( )

A.1318 B.1322

C.322 D.16

解析：选C tanα＋π4＝tanα＋β－πβ－4

tanα＋β－tanβ－π＝4＝31＋tanα＋βtanβ－π422.



1． 设tan α，tan β是方程x2－3x＋2＝0的两根，则tan (α＋β)的值为(A．－3 B．－1

C．1 D．3

解析：选A 由题意可知tan α＋tan β＝3，tan α·tan β＝2，

tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－3.

2． 已知cosx－π6＝－33，则cos x＋cosx－π3的值是( )

A．－233 B．±233

C．－1 D．±1

)

π1333x－＝cos x＋cos x＋sin x＝cos x＋sin x＝3解析：选C cos x＋cos322223cos x＋1sin x＝3cosx－π＝－1.

622ππ1＋αsin－α的值为( ) 3． 已知α满足sin α＝，那么sin4421A.

41C.

2

1B．－

41D．－

2ππππ＋α＝1sinπ＋2α＝1cos

＋αsin－α＝sin＋α·解析：选A 依题意得，sincos4444222112α＝(1－2sin2α)＝.

244．已知函数f(x)＝x3＋bx的图象在点A(1，f(1))处的切线的斜率为4，则函数g(x)＝3sin

2x＋bcos 2x的最大值和最小正周期为( )

A．1，π

B．2，π

D.3，2π C.2，2π

解析：选B 由题意得f′(x)＝3x2＋b，

f′(1)＝3＋b＝4，b＝1.

所以g(x)＝3sin 2x＋bcos 2x

π2x＋， ＝3sin 2x＋cos 2x＝2sin6故函数的最大值为2，最小正周期为π.

5． 设α、β都是锐角，且cos α＝25A.

25

53，sin(α＋β)＝，则cos β＝( )

5525B.

5D.55或

52525，

52525C.或

255解析：选A 依题意得sin α＝1－cos2α＝4cos(α＋β)＝±1－sin2α＋β＝±.

5又α、β均为锐角，因此0<α<α＋β<π，

454cos α>cos(α＋β)，注意到>>－，

5554所以cos(α＋β)＝－.

5

4532525cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝－×＋×＝.

5555256．已知α为第二象限角，sin α＋cos α＝A．－C.5

3

B．－D.5

3312两边平方，可得1＋sin 2α＝，sin 2α＝－，所以(－3335

93，则cos 2α＝( )

35

9解析：选A 将sin α＋cos α＝5sin α＋cos α)2＝1－sin 2α＝.因为α是第二象限角，所以sin α＞0，cos α＜0，所以－sin α＋3cos α＝－155，所以cos 2α＝(－sin α＋cos α)·(cos α＋sin α)＝－.

33π4π17． 满足sinsin x＋coscos x＝的锐角x＝________.

552解析：由已知可得

4π4π1coscos x＋sinsin x＝，

5524π1即cos5－x＝2，

4ππ7π又x是锐角，所以－x＝，即x＝.

53157π答案：

152tan45°－αsin αcos α8．化简·2＝________.

21－tan45°－αcosα－sin2α1sin 2α2解析：原式＝tan(90°－2α)·

cos 2α1sin90°－2α2sin 2α＝·

cos90°－2αcos 2α＝cos 2α1sin 2α1·＝.

sin 2α2cos 2α21答案：

29． 已知角α，β的顶点在坐标原点，始边与x轴的正半轴重合，α，β∈(0，π)，角β14的终边与单位圆交点的横坐标是－，角α＋β的终边与单位圆交点的纵坐标是，则cos α35

＝________.

解析：依题设及三角函数的定义得：

14cos β＝－，sin(α＋β)＝.

35ππ223又∵0<β<π，∴<β<π，<α＋β<π，sin β＝，cos(α＋β)＝－.

2235∴cos α＝cos[(α＋β)－β]

＝cos(α＋β)cos β＋sin(α＋β)sin β

14223－＋×＝－×

53533＋82＝.

153＋82答案：

15ππ10，，tan α＝，求tan 2α和sin2α＋的值． 10．已知α∈32212×2412tan α解：∵tan α＝，∴tan 2α＝＝＝，

21－tan2α1－134且sin α1＝，即cos α＝2sin α，

cos α2又sin2α＋cos2α＝1，

π0，， ∴5sin2α＝1，而α∈2∴sin α＝525，cos α＝.

555254×＝，

555∴sin 2α＝2sin αcos α＝2×413cos 2α＝cos2α－sin2α＝－＝，

555πππ41334＋332α＋＝sin 2αcos＋cos 2αsin＝×＋×＝∴sin.

333525210π4πβ－＝. 11．已知：0<α<<β<π，cos452(1)求sin 2β的值；

πα＋的值． (2)求cos4

ππ221β－＝coscos β＋sin β＝cos β＋sin β＝，

解：(1)法一：∵cos44223∴cos β＋sin β＝227，∴1＋sin 2β＝，∴sin 2β＝－.

399ππ7－2β＝2cos2β－－1＝－. 法二：sin 2β＝cos249π(2)∵0<α<<β<π，

2ππ3π3π∴<β<－<π，<α＋β<，

44422πβ－>0，cos(α＋β)<0. ∴sin4π14β－＝，sin(α＋β)＝，

∵cos435π22β－＝∴sin43，

3cos(α＋β)＝－.

5ππα＋＝cosα＋β－β－ ∴cos44πβ－

＝cos(α＋β)cos43142282－3＝－×＋×＝.

535315xx－＋sinπ－，x∈R. 12． 函数f(x)＝cos22(1)求f(x)的最小正周期；

ππ2100，，求tanα＋的值． (2)若f(α)＝，α∈245xxxπxx－＋sinπ－＝sin＋cos＝2sin＋，

解：(1)f(x)＝cos2224222π故f(x)的最小正周期T＝＝4π.

12210αα210(2)由f(α)＝，得sin＋cos＝，

5225αα2102sin＋cos2＝则25，

283即1＋sin α＝，解得sin α＝，

55

π0，，则cos α＝又α∈2故tan α＝sin α3＝，

cos α41－sin2α＝

941－＝，

255π3tan α＋tan＋144π所以tanα＋4＝＝＝7.

π31－tan αtan1－44

1π1．若tan α＝lg(10a)，tan β＝lg，且α＋β＝，则实数a的值为( )

a4A．1

1B.

10D．1或10

tan α＋tan β＝＝1⇒lg2a＋lg a＝0，

11－tan αtan β1－lg10a·lga1lg10a＋lga1C．1或

10解析：选C tan(α＋β)＝1⇒1所以lg a＝0或lg a＝－1，即a＝1或.

10ππα－＋sin2α＋－sin2α的结果是________．

2．化简sin266ππ2α－1－cos2α＋1－cos33解析：原式＝＋－sin2α

2212α－π＋cos2α＋π－sin2α

＝1－cos332πcos 2α1－cos 2α12＝1－cos 2α·cos－sinα＝1－－＝.

32221答案：

2ππ3ππ350，，sinβ－＝，β∈，. 3．已知sin α＋cos α＝，α∈445425(1)求sin 2α和tan 2α的值；

(2)求cos(α＋2β)的值．

9解：(1)由题意得(sin α＋cos α)2＝，

594即1＋sin 2α＝，∴sin 2α＝.

55

π0，，∴cos 2α＝又2α∈2sin 2α4∴tan 2α＝＝.

cos 2α331－sin22α＝，

5ππππ3π，，β－∈0，，sinβ－＝，

(2)∵β∈424544π4β－＝， ∴cos45πππ24β－＝2sinβ－cosβ－＝.

于是sin 244425πβ－＝－cos 2β， 又sin 2424∴cos 2β＝－，

25π7，π，∴sin 2β＝， 又∵2β∈2251＋cos 2α40，π， 又∵cos2α＝＝α∈425255∴cos α＝，sin α＝.

55∴cos(α＋2β)＝cos αcos 2β－sin αsin 2β

＝242557115－－×＝－ ×.

25525525

π1． 已知函数f(x)＝3sin2x＋sin xcos x，x∈2，π.

(1)求f(x)的零点；

(2)求f(x)的最大值和最小值．

解：(1)令f(x)＝0，得sin x·(3sin x＋cos x)＝0，

所以sin x＝0或tan x＝－3.

3π由sin x＝0，x∈2，π，得x＝π；

由tan x＝－π35π，π，得x＝.

，x∈2365π综上，函数f(x)的零点为，π.

6

(2)f(x)＝π3132x－＋. (1－cos 2x)＋sin 2x＝sin3222ππ2π5π，π，所以2x－∈，.

因为x∈2333π2ππ所以当2x－＝，即x＝时，f(x)的最大值为3；

332π3π11π3当2x－＝，即x＝时，f(x)的最小值为－1＋.

32122βαπ12α－＝－，sin－β＝，求cos(α＋β)的值； 2．已知0<β<<α<π，且cos22329π解：∵0<β<<α<π，

2παππβ∴－<－β<，<α－<π.

42242α∴cos2－β＝

＝

α1－sin22－β

2251－＝33，

βα－

1－cos22βα－＝

sin2＝

145－2＝1－.

99α＋βα－β－α－β ∴cos＝cos222βαβαα－cos－β＋sinα－sin－β ＝cos22221545275＝－×＋×＝.

939327α＋β49×5239∴cos(α＋β)＝2cos2－1＝2×－1＝－.

2729729