admin 管理员组文章数量: 1086019
2024年3月19日发(作者：grabfailed什么意思)
卡方分布
(重定向自卡方分布(Chi-square Distribution))
卡方分布(Chi-square Distribution)
[编辑]
什么是卡方分布
卡方分布 (χ2分布)是概率论与统计学中常用的一种概率分布。k 个独立的标准正态分布变
量的平方和服从自由度为k 的卡方分布。卡方分布常用于假设检验和置信区间的计算。
[编辑]
卡方分布的数学定义
若k 个随机变量Z1、……、Zk 相互独立，且数学期望为0、方差为 1(即服从标准正态分
布)，则随机变量X
被称为服从自由度为 k 的卡方分布，记作
[编辑]
卡方分布的特征
卡方分布的概率密度函数为：
其中x≥0, 当x≤0时fk(x) = 0。这里Γ代表Gamma 函数。
卡方分布的累积分布函数为：
其中γ(k,z)为不完全Gamma函数
在大多数涉及卡方分布的书中都会提供它的累积分布函数的对照表。此外许多表格计算软件如
Calc和Microsoft Excel中都包括卡方分布函数。
卡方分布可以用来测试随机变量之间是否相互独立，也可用来检测统计模型是否符合实际要求。
自由度为 k 的卡方变量的平均值是 k，方差是 2k。 卡方分布是伽玛分布的一个特例，它的熵
为：
其中ψ(x) 是 Digamma function。
[编辑]
卡方变数与 Gamma变数的关系
当Gamma变数频率(λ)为1/2 时，α 的2倍为卡方变数之自由度(Degree of freedom)
即:
卡方变数之期望值=自由度卡方变数之方差=两倍自由度
卡方分布
参数 k > 0, 自由度
值域
,
概率密度函数
,
累积分布函数(cdf)
,
期望值 k,
中位数 大约k − 2 / 3,
众数
k-2, if,
方差 2,k,
偏态
,
峰态 12/k,
熵值
动差生成函数(mgf)
，2t<1,
特征函数
,
一、
定义：N个服从正态分布（均值为0，方差为1）的独立随机变量的平方和X服
从自由度为N的卡方分布。
问题：证明D(X)=2N
二、
定义：假设X服从均值为0方差为1的正态分布，Z服从自由度为N的卡方分
布，如果X和Z独立，那么T=[X/根号(Z/N)]服从自由度为N的t分布。
问题：证明D(T)=N/(N-2)
要求：1.只要有一题证明正确者追加分数！
2.请各位兄弟证明不到的不要乱回答，但可以说说自己的想法。
辛苦各位了~
问题补充：
希望详细一点啦~我概率数上没有~
正在算，但是好难
最佳答案
1.设X=Y1^2+Y2^2+Y3^2+...+YN^2 其中Yn都是独立的而且服从N(0,1)
那么X服从自由度为N的卡方分布
那么D(X)=D(Y1^2)+D(Y2^2)+...+D(YN^2) 因为Yn独立
=2N 因为D(Yn^2)=E(Yn^4)-E(Yn^2)=3-1=2
其中标准正态分布的四阶期望是3 要么通过公式得出E(Y^n)=(2n)!/(n!2^n)
其中Y是标准正态随机变量 n是奇数 如果n为偶数时E(Y^n)=0 要么直接算
算法是分步积分法
或者可以直接计算卡方分布的方差 很好计算 因为自由度为N的卡方分布其实
是系数为N/2,1/2的Gamma分布 而Gamma函数的性质让我们很容易计算出
X的任何阶期望 具体方法是:
X的n次方期望 就是密度函数乘x^n积分 这时你把x^n放进密度函数你的积分
函数里面就得到x的N/2-1+n次方也就是说系数从N/2变成了N/2+n 同样你把
分式下面的Gamma函数和1/2^(N/2)提到积分外部 然后添加需要的系数(使得
该式变为系数为N/2+n和1/2的Gamma分布 对1积分为一)然后除以你添加的
系数 最后积分外部的所有系数就是你的x^n的期望了
2.设X服从N(0,1)Z服从自由度为N的卡方分布 X和Z独立 那么
D(T)=E(T^2)-E(T)^2 其中E(T)=E(X/sqrt(Z/N))=E(X)*E(1/sqrt(Z/N))=0
所以D(T)=E(T^2)=E(X^2/(Z/N))=E(X^2)*E(N/Z)=N*E(X^2)*E(1/Z)
其中E(X^2)=1 E(1/Z)=1/(N-2) (通过密度函数计算 同第一题 卡方分布的1/2次
方期望可以很容易求出)
所以D(T)=N/(N-2)
卡方分布：E(X)=n，D(X)=2n
t分布：E(X)=0(n>1)，D(X)=n/(n-2)(n>2)
F(m,n)分布：E(X)=n/(n-2)(n>2)
D(X)=[2n^2*(m+n-2)]/[m(n-2)^2*(n-4)](n>4)分享给你的朋友吧：
版权声明：本文标题：卡方分布 内容由网友自发贡献，该文观点仅代表作者本人， 转载请联系作者并注明出处：http://www.roclinux.cn/p/1710801151a573816.html， 本站仅提供信息存储空间服务，不拥有所有权，不承担相关法律责任。如发现本站有涉嫌抄袭侵权/违法违规的内容，一经查实，本站将立刻删除。
发表评论