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2024年3月20日发(作者：ae片头模板免费下载网)

一次函数

（一）函数

1、确定函数定义域的方法：

（1）关系式为整式时，函数定义域为全体实数；

（2）关系式含有分式时，分式的分母不等于零；

（3）关系式含有二次根式时，被开放方数大于等于零；

（4）关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零；

（5）实际问题中，函数定义域还要和实际情况相符合，使之有意义。

一次

kkxb

k0

函数

k0

k0

k

，

b

符号

b0

b0

b0

b0

b0

y

y

OO

b0

y

O

y

O

y

O

y

图象

O

x

x

x

xx

x

性质

y

随

x

的增大而增大

y

随

x

的增大而减小

二次函数

f

x

ax

2

bxc

a0

a0

a0

图像

b

x

2a

b

x

2a

b

2a

定义域

对称轴

顶点坐标

,

x

b4acb

2

,

4a



2a

4acb

2

,



4a

4acb

2

,

4a



值域

b



,



递减

2a



b



,



递增

2a



单调区间

b

,



递增

2a

b

,



递减

2a

二次函数图象的对称

二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达

1. 关于

x

轴对称

yax

2

bxc

关于

x

轴对称后，得到的解析式是

yax

2

bxc

；

ya

xh

k

关于

x

轴对称后，得到的解析式是

ya

xh

k

2

2

2. 关于

y

轴对称

yax

2

bxc

关于

y

轴对称后，得到的解析式是

yax

2

bxc

；

ya

xh

k

关于

y

轴对称后，得到的解析式是

ya

xh

k

；

22

3. 关于原点对称

yax

2

bxc

关于原点对称后，得到的解析式是

yax

2

bxc

；

ya

xh

k

关于原点对称后，得到的解析式是

ya

xh

k

4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）

b

2

yaxbxc

关于顶点对称后，得到的解析式是

yaxbxc

；

2a

2

22

2

ya

xh

k

关于顶点对称后，得到的解析式是

ya

xh

k

．

22

n

对称 5. 关于点

m，

ya

xh

k

2

2

n

对称后，得到的解析式是关于点

m，

ya

xh2m

2nk

反比例函数

1、反比例函数图象：反比例函数的图像属于以原点为对称中心的中心对称的双

曲线

反比例函数图像中每一象限的每一支曲线会无限接近X轴Y轴但不会与坐

标轴相交（K≠0）。

2、性质：

1.当k>0时，图象分别位于第一、三象限，同一个象限内，y随x的增大而

减小；当k<0时，图象分别位于二、四象限，同一个象限内,y随x的增大而增

大。

2.k>0时，函数在x<0上同为减函数、在x>0上同为减函数；k<0时，函数

在x<0上为增函数、在x>0上同为增函数。

定义域为x≠0；值域为y≠0。

3.因为在y=k/x(k≠0)中，x不能为0，y也不能为0，所以反比例函数的图

象不可能与x轴相交，也不可能与y轴相交。

4. 在一个反比例函数图象上任取两点P，Q，过点P，Q分别作x轴，y轴的

平行线，与坐标轴围成的矩形面积为S1，S2则S1＝S2=|K|

5. 反比例函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，它有两条对称

轴 y=x y=-x（即第一三，二四象限角平分线），对称中心是坐标原点。

6.若设正比例函数y=mx与反比例函数y=n/x交于A、B两点（m、n同号），

那么A B两点关于原点对称。

7.设在平面内有反比例函数y=k/x和一次函数y=mx+n，要使它们有公共交

点，则n^2+4k·m≥（不小于）0。

8.反比例函数y=k/x的渐近线：x轴与y轴。

9.反比例函数关于正比例函数y=x,y=-x轴对称,并且关于原点中心对称.

10.反比例上一点m向x、y分别做垂线，交于q、w，则矩形mwqo（o为原点）

的面积为|k|

11.k值相等的反比例函数重合，k值不相等的反比例函数永不相交。

12.|k|越大，反比例函数的图象离坐标轴的距离越远。

13.反比例函数图象是中心对称图形，对称中心是原点

指数函数

概念：一般地，函数y=a^x（a＞0，且a≠1）叫做指数函数，其中x是自变

量，函数的定义域是R。

注意：⒈指数函数对外形要求严格，前系数要为1，否则不能为指数函数。

⒉指数函数的定义仅是形式定义。

指数函数的图像与性质

规律：1. 当两个指数函数中的a互为倒数时，两个函数关于y轴对称，但

这两个函数都不具有奇偶性。

2.当a＞1时，底数越大，图像上升的越快，在y轴的右侧，图像越靠近

y轴；

当0＜a＜1时，底数越小，图像下降的越快，在y轴的左侧，图像越靠

近y轴。

在y轴右边“底大图高”；在y轴左边“底大图低”。

3.四字口诀：“大增小减”。即：当a＞1时，图像在R上是增函数；当0

＜a＜1时，图像在R上是减函数。

4. 指数函数既不是奇函数也不是偶函数

比较幂式大小的方法：

1. 当底数相同时，则利用指数函数的单调性进行比较；

2. 当底数中含有字母时要注意分类讨论；

3. 当底数不同，指数也不同时，则需要引入中间量进行比较；

4. 对多个数进行比较，可用0或1作为中间量进行比较

底数的平移：

在指数上加上一个数，图像会向左平移；减去一个数，图像会向右平移。

在f(X)后加上一个数，图像会向上平移；减去一个数，图像会向下平移。

对数函数

1.对数函数的概念

由于指数函数y=a

x

在定义域(-∞，+∞)上是单调函数，所以它存在反函数，

x

我们把指数函数y=a(a＞0，a≠1)的反函数称为对数函数，并记为y=log

a

x(a＞0，

a≠1).

因为指数函数y=a

x

的定义域为(-∞，+∞)，值域为(0，+∞)，所以对数函数

y=log

a

x的定义域为(0，+∞)，值域为(-∞，+∞).

2.对数函数的图像与性质

对数函数与指数函数互为反函数，因此它们的图像对称于直线y=x. 据此即

可以画出对数函数的图像，并推知它的性质.

为了研究对数函数y=log

a

x(a＞0，a≠1)的性质，我们在同一直角坐标系中

作出函数

y=log

2

x，y=log

10

x，y=log

10

x,y=log

1

x,y=log

1

x的草图

2

10

图

象

a＞1 a＜1

性

质

(1)x＞0

(2)当x=1时，y=0

(3)当x＞1时，y＞0 (3)当x＞1时，y＜0

0＜x＜1时，y＜0 0＜x＜1时，y＞0

(4)在(0，+∞)上是增函数 (4)在(0，+∞)上是减函数

设y

1

=log

a

x y

2

=log

b

x其中a＞1，b＞1(或0＜a＜1 0＜b＜1)

当x＞1时“底大图低”即若a＞b则y

1

＞y

2

当0＜x＜1时“底大图高”即若a＞b，则y

1

＞y

2

补

充

性

质

比较对数大小的常用方法有：

(1)若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行判断.

(2)若底数为同一字母，则按对数函数的单调性对底数进行分类讨论.

(3)若底数不同、真数相同，则可用换底公式化为同底再进行比较.

(4)若底数、真数都不相同，则常借助1、0、-1等中间量进行比较.

3.指数函数与对数函数对比

名称 指数函数 对数函数

一般形y=a

x

(a＞0，a≠1) y=log

a

x(a＞0，a≠1)

式

定义域 (-∞，+∞) (0，+∞)

值域 (0，+∞) (-∞，+∞)

当a＞1时， 当a＞1时

函

1(x0)

0(x1)



数

a

x

1(x0)

log

a

x

0(x1)

值

1(x0)

0(x1)



变

化 当0＜a＜1时， 当0＜a＜1时，

情

1(x0)

0(x1)



况

a

x

1(x0)

log

a

x

0(x1)

1(x0)

0(x1)



单调性 当a＞1时，a

x

是增函数；

当0＜a＜1时，a

x

是减函数.

当a＞1时，log

a

x是增函数；

当0＜a＜1时，log

a

x是减函

数.

y=a

x

的图像与y=log

a

x的图像关于直线y=x对称.

图像

幂函数

幂函数

yx

n

随着

n

的不同，定义域、值域都会发生变化，图像都过（1,1）点

11

,,1,2,3

时，幂函数图像过原点且在

0,

上是增函数．

32

1

②

a,1,2

时，幂函数图像不过原点且在

0,

上是减函数．

2

①

a

③ 任何两个幂函数最多有三个公共点．

yx

n

奇函数

y

偶函数

y

非奇非偶函数

y

n1

O

x

O

x

O

x

y

y

y

0n1

O

x

O

x

O

x

y y

y

n0

O

x

O

x

O

x

定义域

奇偶性

yx

R

奇

yx

2

yx

3

yx

1

2

yx

1

R

奇

R

奇

x|x0

x|x0

非奇非偶 奇

在第Ⅰ象在第Ⅰ象在第Ⅰ象在第Ⅰ象在第Ⅰ象

在第Ⅰ象限的增

限单调递限单调递限单调递限单调递限单调递

减性

增 增 增 增 减

yx

幂函数（

x

R，

是常数）的图像

在第一象限的分布规律是：

yx

①所有幂函数（

x

R，

是常数）

的图像都过点

(1,1)

；

②当

1,2,3,

1

2

时函数

yx

的图像都过

原点

(0,0)

；

③当

1

时，

yx

的的图像在第一象限是第一象限的平分线（如

c

2

）；

yx

2,3

④当时，的的图像在第一象限是“凹型”曲线（如

c

1

）

④

1

2

时，

yx

的的图像在第一象限是“凸型”曲线（如

c

3

⑤

1

时，

yx

的的图像不过原点

(0,0)

，且在第一象限是“下滑”曲线（如

c

4

）

当

0

时，幂函数

yx

有下列性质：

（1）图象都通过点

(0,0),(1,1)

；

（2）在第一象限内都是增函数；

（3）在第一象限内，

1

时，图象是向下凸的；

0

1

时，图象是向上凸的；

（4）在第一象限内，过点

(1,1)

后，图象向右上方无限伸展。

当

0

时，幂函数

yx

有下列性质：

（1）图象都通过点

(1,1)

；

（2）在第一象限内都是减函数，图象是向下凸的；

（3）在第一象限内，图象向上与

y

轴无限地接近；向右无限地与

x

轴无限地接

近；

（4）在第一象限内，过点

(1,1)

后，

越大，图象下落的速度越快。无论

取任

yx

何实数，幂函数的图象必然经过第一象限，并且一定不经过第四象限。

对号函数

b

函数

yax

（a>0,b>0）叫做对号函数，因其在（0，+∞）的图象似

x

符号“√”而得名，利用对号函数的图象及均值不等式，当x>0时，

ax

b

即

x

x

bb

2

xa

（当且仅当

ax

∈R

+

）的性质:

b

b

时取等号），由此可得函数

yax

（a>0,b>0,x

a

x

当

x

bb

b

时，函数

yax

（a>0,b>0,x∈R

+

）有最小值

2

，特别地，

aa

x

b

b

当a=b=1时函数有最小值2。函数

yax

（a>0,b>0）在区间（0，）上是

a

x

减函数，在区间（

b

，+∞）上是增函数。

a

bb

（a>0,b>0）是奇函数，所以可得函数

yax

xx

（a>0,b>0,x∈R

-

）的性质：

因为函数

yax

当

x

bb

b

时，函数

yax

（a>0,b>0,x∈R

-

）有最大值-

2

，特别

aa

x

b

b

地，当a=b=1时函数有最大值-2。函数

yax

（a>0,b>0）在区间（-∞，-）

a

x

上是增函数，在区间（-

b

，0）上是减函数。

a


本文标签： 函数 图像 图象 反比例 象限

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