高中数学图像及公式

幂函数的图形

指数函数的图形

对数函数的图形

三角函数的图形

各三角函数值在各象限的符号

sinα, cscα cosα , secα tanα, cotα

三角函数的性质

函数

y=sinx y=cosx y=tanx

｛x｜x∈R且



x≠kπ+,k∈Z｝

2

y=cotx

｛x｜x∈R且

x≠kπ,k∈Z｝

定义域

R

［-1，1］



x=2kπ+ 时y

max

=1

2



x=2kπ- 时y

min

=-1

2

k∈Z

R

值域

［-1,1］

x=2kπ时y

max

=1

R

x=2kπ+π时

无最大值

y

min

=-1

无最小值

k∈Z

R

无最大值

无最小值

周期性 周期为2π

奇偶性 奇函数

周期为2π

偶函数

在［2kπ-π，2kπ］

上都是增函数；

在［2kπ，2kπ+π］

上都是减函数

(k∈Z)

周期为π

奇函数

周期为π

奇函数





,2kπ+ ］

22

上都是增函数；

单调性



3

在2kπ+

,2kπ+π］

2

2

上都是减函数(k∈Z)

在［2kπ-



在(kπ，kπ+π)

在(kπ-，kπ+

)

内都是减函

22

内都是增函数 数 (k∈Z)

(k∈Z)

反三角函数的图形

反三角函数的性质

名称 反正弦函数

y=sinx





(x∈[-,])

22

的反函数，叫做

反正弦函数，

记作x=arsiny

arcsinx表示属于





［-

,

］

22

且正弦值等于x

的角

反余弦函数

y=cosx

(x∈[0,π])的

反函数，叫做

反余弦函数，

记作=arccosy

反正切函数

y=tanx





(x∈(- , )

22

的反函数，叫做

反正切函数，记作

x=arctany

反余切函数

y=cotx

(x∈(0,π))

的反函数，叫做

反余切函数，

记作x=arccoty

定义

理解

arccosx表示arctanx表示属于arccotx表示属

属于［0，π］，





于(0，π)且余切

(-,)，且正切

且余弦值等于值等于x的角

22

x的角

值等于x的角

［-1，1］

［0，π］

(-∞，+∞)

(-

(-∞，+∞)

(0，π)

在(-∞，+∞)上

是减函数

arccot(-x)=

π-arccotx

非奇非偶

cot(arccotx)=x

(x∈R)

arccot(cotx)=x

(x∈(0,π))

定义域 ［-1，1］





，］

22

性

单调性

在〔-1，1〕上是

增函数

质

arcsin(-x)=

奇偶性

-arcsinx

奇函数

周期性 都不是同期函数

sin(arcsinx)=x

(x∈［-1，1］)

arcsin(sinx)=x

恒等式





(x∈［-,

］)

22

值域

［-

互余

恒等式





，

)

22

在［-1，1］上在(-∞，+∞)上是增

是减函数 数

arccos(-x)= arctan(-x)=

π-arccosx -arctanx

非奇非偶 奇函数

cos(arccosx)=tan(arctanx)=x

x(x∈［-1,1］) (x∈R)

arccos(cosx)=arctan(tanx)=x





x(x∈［0,π］)

(x∈(-,))

22

arcsinx+arccosx=





(x∈［-1,1］) arctanx+arccotx=(x∈R)

22

三角函数公式

两角和公式

sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB

sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB

cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB

cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB

tanAtanB

tan(A+B) =

1-tanAtanB

tanAtanB

tan(A-B) =

1tanAtanB

cotAcotB-1

cot(A+B) =

cotBcotA

cotAcotB1

cot(A-B) =

cotBcotA

倍角公式

2tanA

2

1tanA

Sin2A=2SinA•CosA

Cos2A = Cos

2

A-Sin

2

A=2Cos

2

A-1=1-2sin

2

A

tan2A =

半角公式

sin

1cosA

A

=

2

2

1cosA

A

=

2

2

1cosA

A

=

1cosA

2

1cosA

A

=

1cosA

2

A1cosAsinA

==

sinA1cosA

2

cos

tan

cot

tan

三倍角公式

sin3A = 3sinA-4(sinA)

3

cos3A = 4(cosA)

3

-3cosA





tan3a = tana·tan(+a)·tan(-a)

33

附推导过程：

sin3a =sin(2a+a)

=sin2a·cosa+cos2a·sina

=2sina(1-sin

2

a)+(1-2sin

2

a)sina

=3sina-4sin

3

a

cos3a=cos(2a+a)

=cos2a·cosa-sin2a·sina

=(2cos

2

a-1)cosa-2(1-cos

2

a)cosa

=4cos

3

a-3cosa

sin3a=3sina-4sin

3

a

=4sina(3/4-sin

2

a)

=4sina[(√3/2)

2

-sin

2

a]

=4sina(sin

2

60°-sin

2

a)

=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina)

=4sina·2sin[(60°+a)/2]cos[(60°-a)/2] ·2sin[(60°-a)/2]cos[(60°+a)/2]

=4sina·sin(60°+a) ·sin(60°-a)

cos3a=4cos

3

a-3cosa

=4cosa(cos

2

a-3/4)

=4cosa[cos

2

a-(√3/2)

2

]

=4cosa(cos

2

a-cos

2

30°)

=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°)

=4cosa·2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2] ·{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]}

=-4cosa·sin(a+30°)sin(a-30°)

=-4cosa·sin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)]

=-4cosa·cos(60°-a)[-cos(60°+a)]

=4cosa·cos(60°-a) ·cos(60°+a)

上述两式相比可得

tan3a=tana·tan(60°-a) ·tan(60°+a)

和差化积

abab

cos

22

abab

sina-sinb=2cossin

22

abab

cosa+cosb = 2coscos

22

abab

cosa-cosb = -2sinsin

22

sin(ab)

tana+tanb=

cosacosb

sina+sinb=2sin

积化和差

1

[cos(a+b)-cos(a-b)]

2

1

cosa·cosb = [cos(a+b)+cos(a-b)]

2

1

sina·cosb = [sin(a+b)+sin(a-b)]

2

1

cosa·sinb = [sin(a+b)-sin(a-b)]

2

sina·sinb = -

诱导公式

sin(-a) = -sina

cos(-a) = cosa



sin(-a) = cosa

2



cos(-a) = sina

2



sin(+a) = cosa

2



cos(+a) = -sina

2

sin(π-a) = sina

cos(π-a) = -cosa

sin(π+a) = -sina

cos(π+a) = -cosa

sina

tga=tana =

cosa

万能公式

2tan

a

sina=

2

1(tan

a

)

2

2

1(tan

a

)

2

cosa=

2

1(tan

a

)

2

2

2tan

a

tana=

2

1(tan

a

)

2

2

其它公式

a•sina+b•cosa=

(a

2



b

2

)

•sin(a+c) [其中tanc=

b

a

]

a•sina-b•cosa =

(a

2



b

2

)

•cos(a-c) [其中tanc=

a

b

]

1+sina=(sin

a

+cos

a

)

2

sin

2

a+cos

2

a=1 1+tan

2

2

a=sec

2

2

a

1-sina = (sin

a

2

-cos

a

2

)

2

tana•cota=1 seca•cosa=1

其他非重点三角函数

csca =

1

sina

seca =

1

cosa

双曲函数

e

a

-e

-a

e

a

e

-a

sinh(a)=

2

cosh(a)=

2

tg h(a)=

sinh(a)

cosh(a)

2

a=csc

2

a

csca•sina=1

1+cot

公式一

设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：

sin（2kπ＋α）= sinα

cos（2kπ＋α）= cosα

tan（2kπ＋α）= tanα

cot（2kπ＋α）= cotα

公式二

设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：

sin（π＋α）= -sinα

cos（π＋α）= -cosα

tan（π＋α）= tanα

cot（π＋α）= cotα

公式三

任意角α与 -α的三角函数值之间的关系：

sin（-α）= -sinα

cos（-α）= cosα

tan（-α）= -tanα

cot（-α）= -cotα

公式四

利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：

sin（π-α）= sinα

cos（π-α）= -cosα

tan（π-α）= -tanα

cot（π-α）= -cotα

公式五

利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：

sin（2π-α）= -sinα

cos（2π-α）= cosα

tan（2π-α）= -tanα

cot（2π-α）= -cotα

公式六



3



±α及±α与α的三角函数值之间的关系：

2

2





sin（-α）= cosα

sin（

+α）= cosα

2

2





cos（-α）= sinα

cos（

+α）= -sinα

2

2





tan（-α）= cotα

tan（

+α）= -cotα

2

2





cot（-α）= tanα

cot（

+α）= -tanα

2

2

3



3



sin（

+α）= -cosα

sin（-α）= -cosα

2

2

3



3



cos（

+α）= sinα

cos（-α）= -sinα

2

2

3



3



tan（

+α）= -cotα

tan（-α）= cotα

2

2

3



3



cot（

+α）= -tanα

cot（-α）= tanα (以上k∈Z)

2

2

A•sin(ωt+θ)+ B•sin(ωt+φ)

=

A

2

B

2

2ABcos(







)

•sin



tarcsin[(Asin



Bsin



)

AB2ABcos(







)

22

乘法与因式分解

a

2

-b

2

=(a+b)(a-b) a

3

+b

3

=(a+b)(a

2

-ab+b

2

) a

3

-b

3

=(a-b)(a

2

+ab+b

2

)

三角不等式

|a+b|≤|a|+|b|

|a-b|≤|a|+|b|

|a|≤b<=>-b≤a≤b

|a-b|≥|a|-|b|

-|a|≤a≤|a|

一元二次方程的解

-b+b

2

-4ac-b-b

2

-4ac

2a2a

根与系数的关系

（韦达定理）

X

1

+X

2

=-b/a

X

1

•X

2

=c/a

判别式 b

2

-4ac=0 注：方程有相等的两实根

b

2

-4ac>0 注：方程有一个实根

b

2

-4ac<0 注：方程有共轭复数根

正弦定理

a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R 注： 其中 R 表示三角形的外接圆半径

余弦定理

b

2

=a

2

+c

2

-2ac•cosB 注：角B是边a和边c的夹角

某些数列前n项和

n



n+1



2

1+2+3+4+5+6+7+8+9+…+n=

1+3+5+7+9+11+13+15+…+(2n-1)=n

2

2+4+6+8+10+12+14+…+(2n)=n(n+1)

1

2

+2

2

+3

2

+4

2

+5

2

+6

2

+7

2

+8

2

+…+n

2

=

n



n1



2n1



6

2

2

3333333

n



n1



1+2+3+4+5+6

+…n

=

4

1×2+2×3+3×4+4×5+5×6+6×7+…+n(n+1)=

n



n1



n2



3

正切定理

[(a+b)/(a-b)]={[tan(a+b)/2]/[tan(a-b)/2]}

附过程 (a-b)/(a+b)

=(a/b-1)/(a/b+1)

=(sinA/sinB-1)/( sinA/sinB+1)

=(sinA-sinB)/(sinA+sinB)

=2cos[(A+B)/2]sin[(A-B)/2] / {2sin[(A+B)/2]cos[(A-B)/2]}

=tg[(A-B)/2]/tg[(A+B)/2]

圆的标准方程

(x-a)

2

+(y-b)

2

=r

2

注：（a,b）是圆心坐标

圆的一般方程

x

2

+y

2

+Dx+Ey+F=0 注：D

2

+E

2

-4F>0

抛物线标准方程

y

2

=2px y

2

=-2px x

2

=2py x

2

=-2py

直棱柱侧面积

S=c•h c为底面周长，h为侧棱长.

斜棱柱侧面积

S=c'•h c'为直截面的周长，h为侧棱长.

正棱锥侧面积

1

S=c•h' c为底面周长，h'为侧面的高线长.

2

正棱台侧面积

1

S=(c+c')h' c、c'为上下底面的周长，h'为侧面的高线长.

2

圆台侧面积

1

S=(c+c')l= π(R+r)l

2

弧长公式

l=a•r a是圆心角的弧度数r >0

扇形面积公式

1

s=

•l•r

2

c、c'为上下底面的周长，l为母线长.

球的表面积

S=4πr

2

圆柱侧面积

S=c•h=2π•h

锥体体积公式

1

V=

•S•H

3

圆锥体体积公式

圆锥侧面积

1

S=

•c•l=π•r•l

2

斜棱柱体积

1

V=

•π•r

2

h

3

V=S'L 注：其中,S'是直截面面积， L是侧棱长

柱体体积公式

圆柱体

V=s•h

V=πr

2

h

--------------------------------------------------------------------------------------------

三角函数 积化和差、和差化积公式

用两角和差的正余弦：

cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB

cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB

两式相加或相减，可以得到2组积化和差:

相加：cosAcosB=[cos(A+B)+cos(A-B)]/2

相减：sinAsinB=-[cos(A+B)-cos(A-B)]/2

sin(A+B)=sinAcosB+sinBcosA

sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA

两式相加或相减，可以得到2组积化和差:

相加：sinAcosB=[sin(A+B)+sin(A-B)]/2

相减：sinBcosA=[sin(A+B)-sin(A-B)]/2

这样一共4组积化和差，倒过来既是和差化积 （附口诀）

正加正 正在前

正减正 余在前

余加余 都是余

余减余 没有余还负

正余正加 余正正减

余余余加 正正余减还负.

三角形中的一些结论：(不要求记忆)

(1)anA+tanB+tanC=tanA·tanB·tanC

(2)sinA+tsinB+sinC=4cos(A/2)cos(B/2)cos(C/2)

(3)cosA+cosB+cosC=4sin(A/2)·sin(B/2)·sin(C/2)+1

(4)sin2A+sin2B+sin2C=4sinA·sinB·sinC

(5)cos2A+cos2B+cos2C=-4cosAcosBcosC-1

...........................