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2024年3月22日发(作者：渐变国旗)

函数定义域值域求法(全十一种)

高中函数定义域和值域的求法总结

一、常规型

常规型是指已知函数的解析式，求函数的定义域和值域。

解法是由解析式有意义列出关于自变量的不等式或不等式组，

解此不等式（或组）即得原函数的定义域。

例如，对于函数 $y=frac{x^2-2x-15}{|x+3|-8}$，要使函数

有意义，则必须满足 $x^2-2x-15geq 0$ 且 $|x+3|neq 8$。解得

$xleq -3$ 或 $xgeq 5$，且 $xneq -11$ 或 $xneq 5$。将两个

条件求交集得 $xleq -3$ 且 $xneq -11$ 或 $x>5$，即函数的定

义域为 ${x|xleq -3text{ 且 }xneq -11}cup{x|x>5}$。

二、抽象函数型

抽象函数型是指没有给出解析式的函数，需要根据已知条

件求解。一般有两种情况：

1）已知 $f(x)$ 的定义域，求 $f[g(x)]$ 的定义域。解法是：

已知 $f(x)$ 的定义域为 $[a,b]$，则 $f[g(x)]$ 的定义域为解

$aleq g(x)leq b$。

例如，已知 $f(x)$ 的定义域为 $[-2,2]$，求 $f(x^2-1)$ 的

定义域。令 $-2leq x^2-1leq 2$，得 $-1leq x^2leq 3$，即 $-

|x|leq xleq |x|$。因此，$-3leq xleq 3$，即函数的定义域为

${x|-3leq xleq 3}$。

2）已知 $f[g(x)]$ 的定义域，求 $f(x)$ 的定义域。解法是：

已知 $f[g(x)]$ 的定义域为 $[a,b]$，则 $f(x)$ 的定义域为

$g(x)$ 的值域。

例如，已知 $f(2x+1)$ 的定义域为 $[1,2]$，求 $f(x)$ 的定

义域。因为 $1leq xleq 2$，所以 $2leq 2xleq 4$，$3leq

2x+1leq 5$。即函数 $f(x)$ 的定义域为 ${x|3leq xleq 5}$。

三、逆向型


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