admin 管理员组

文章数量: 1184232


2024年3月22日发(作者：高中信息技术递归算法教案)

函数的定义域常见求法

一、函数的定义域的定义

函数的定义域是指使函数有意义的自变量的取值范围.

二、求函数的定义域的主要依据

1、分式的分母不能为零.

2、偶次方根的被开方数的被开方数必须大于等于零，即

n

x

的被开方数取全体实数，即

n

x

x

(其中n2k,kN

)

中

x0,

奇次方根

(其中n2k1,kN

)

中，

xR

.

3、指数函数

ya

的底数

a

必须满足

a0且a1,xR

.

4、对数函数

ylog

a

x

的真数

x

必须大于零，底数

a

必须满足

a0且a1

.

5、零次幂的底数不能为零，即

x

0

中

x0

.

6、正切函数

ytanx

的定义域是

{x|xk

7、复合函数的定义域的求法

（1）已知原函数

f(x)

的定义域为

(a,b)

，求复合函数

f[g(x)]

的定义域：只需解不等式

ag(x)b

，

不等式的解集即为所求函数的定义域.

（2）已知复合函数

f[g(x)]

的定义域为

(a,b)

，求原函数

f(x)

的定义域：只需根据

axb

求出函数

2

,kz}

.

g(x)

的值域，即得原函数

f(x)

的定义域.

8、求函数

yf(x)g(x)

的定义域

一般先分别求函数

yf(x)

和函数

yg(x)

的定义域

A

和

B

，再求

A

定义域.

9、求实际问题中函数的定义域

不仅要考虑解析式有意义，还要保证满足实际意义.

三、函数的定义域的表示

函数的定义域必须用集合表示，不能用不等式表示.函数的定义域也可以用区间表示，因为区间实际上

是集合的一种特殊表示形式.

四、求函数的定义域常用的方法有直接法、求交法、抽象复合法和实际法.

1

B

，则

AB

就是所求函数的

五、函数的问题，必须遵循“定义域优先”的原则.

研究函数的问题，不管是具体的函数，还是抽象的函数，不管是简单的函数，还是复杂的函数，必须

优先考虑函数的定义域.之所以要做到这一点，不仅是为了防止出现错误，有时还会为解题带来方便.

【方法讲评】

方法一

使用情景

解题步骤

直接法

函数的结构比较简单.

直接列出不等式解答，不等式的解集就是函数的定义域.

【例1】求函数

y2x

2

5x3

的定义域.

【点评】对于类似例题的结构单一的函数，可以直接列出不等式再解答即得到函数的定义域.

【反馈检测1】求函数

y

方法二

使用情景

x2

的定义域.

x1

求交法

函数是由一些函数四则运算得到的，即函数的形式为

f(x)g(x)h(x)

型.

一般先分别求函数

g(x)

和

h(x)

的定义域

A

和

B

,再求

AB

,

AB

就是函数

f(x)

的定义

解题步骤

域.

【例2】求函数

y25x

2

+

log

3

cosx

的定义域.

5x5

25x

2

0

【解析】由题得



2k

x2k

cosx0

22

kz

3



3

{x|5x

或x或

x5}

2222

3



3

所以函数的定义域为

{x|5x

或x或

x5}

2222

【点评】（1）求函数

yf(x)g(x)

的定义域，一般先求

yf(x)

和函数

yg(x)

的定义域

A

和

B

，

再求

AB

，则

AB

就是所求函数的定义域.（2）该题中要考虑偶次方根的被开方数是非负数，对数函

2

数的真数大于零，列不等式求函数的定义域时，必须考虑全面，不能漏掉限制条件.（3）解不等式

cosx0

5x5

时，主要是利用余弦函数的图像解答.（4）求



2k

x2k

22

kz

的解集时，只需给参数

k

赋

几个整数值，再通过数轴求交集.（5）注意等号的问题，其中只要有一个错误，整个解集就是错误的，所

以要仔细认真. 学科#网

lg(xx

2

)

(3x2)

0

的定义域. 【例3】求函数

y

|x3|3

【点评】（1）该题中要考虑真数大于零，分式的分母不能为零，零次幂的底数不能为零，考虑要全面，

不要遗漏.（2）求不等式的交集一般通过数轴完成.

x

【例4】求函数

ylog

a

(a1)(a0且a1)

的定义域.

x0

【解析】由题得

a10a1=a

x

当a1时，x>0;当0

当a1时，函数的定义域为{x|x>0},

当0

【点评】（1）求含有参数的函数的定义域时，注意在适当的地方分类讨论.（2）对于指数函数和对数函

数，如果已知条件中，没有给定底数

a

的取值范围，一般要分类讨论.

（a1)

【反馈检测2】求函数

yln

方法三

使用情景

x

1

x2x3

2

的定义域.

抽象复合法

涉及到抽象复合函数.

3

利用抽象复合函数的性质解答：（1）已知原函数

f(x)

的定义域为

(a,b)

，求复合函数

只需解不等式

ag(x)b

，不等式的解集即为所求函数的定义域.（2）

f[g(x)]

的定义域：

解题步骤

已知复合函数

f[g(x)]

的定义域为

(a,b)

，求原函数

f(x)

的定义域：只需根据

axb

求

出函数

g(x)

的值域，即得原函数

f(x)

的定义域.

【例5】求下列函数的定义域：

fx)

的定义域为

[2,2]

，求函数

yf(x1)

的定义域； （1）已知函数

（

fx)

的定义域； （2）已知函数

yf(2x4)

的定义域为

[0,1]

，求函数

（

2

fx)

的定义域为

[1,2]

，求函数

yf(x1)f(x1)

的定义域. （3）已知函数

（

2

【点评】（1）已知原函数

f(x)

的定义域为

(a,b)

，求复合函数

f[g(x)]

的定义域：只需解不等式

不等式的解集即为所求函数的定义域.第1小题就是典型的例子.（2）已知复合函数

f[g(x)]ag(x)b

，

的定义域为

(a,b)

，求原函数

f(x)

的定义域：只需根据

axb

求出函数

g(x)

的值域，即得原函数

f(x)

的定义域.第2小题就是典型的例子.（3）求函数

yf(x)g(x)

的定义域，一般先分别求函数

yf(x)

和函数

yg(x)

的定义域

A

和

B

，再求

AB

，则

AB

就是所求函数的定义域.

【反馈检测3】已知函数

yf(tan2x)

的定义域为

[0,

8

]

，求函数

f(x)

的定义域.

4

【反馈检测4】 若函数

yf(x)

的定义域为

,2

，求函数

f(log

2

x)

的定义域.

2

方法四

使用情景

解题步骤

围求交集，即得函数的定义域.

【例6】用长为

L

的铁丝编成下部为矩形，上部为半圆形的框架（如图所示）.若矩形底边长为

2x

，求

此框架围成的面积

y

与关于

x

的函数解析式，并求出它的定义域.

【解析】如图，

实际法

数学问题是实际问题.

先求函数的自变量的取值范围，再考虑自变量的实际限制条件，最后把前面两者的范

1

【点评】（1）求实际问题中函数的定义域，不仅要考虑解析式本身有意义，还要保证满足实际意义.（2）

2x＞0

该题中在考虑实际意义时，必须保证解答过程中的每一个变量都有意义，即

L－2x－

x

，不能遗漏.

＞0

2

3

【反馈检测5】 一个圆柱形容器的底部直径是

dcm

,高是

hcm

.现在以

vcm/s

的速度向容器内注入某

种溶液.求容器内溶液的高度

xcm

关于注入溶液的时间

ts

的函数解析式，并写出函数的定义域和值域.

5

参考答案

【反馈检测1答案】

{x|x1或x2}

(x2)(x1)0

x1或x2

x2

0

【反馈检测1详细解析】由题得

x10

x1

x1

所以

x1或x2函数的定义域为{x|x1或x2}

.

【反馈检测2答案】当

a1

时，函数的定义域为

{x|0x1}

；当

0a1

时，函数的定义域为

{x|3x0}

.

【反馈检测3答案】

[0,1]

【反馈检测3详细解析】由题得

0x

【反馈检测4答案】

x|

8

02x

4

0tan2x1

，所以函数的定义域为

[0,1]

.

2x4

【反馈检测4详细解析】依题意知：

1

log

2

x2

解之得

2x4

∴

f(log

2

x)

的定义域为

2

x|2x4

hd

2

4vt

【反馈检测5答案】函数解析式为

x

,函数的定义域为{

t

|0≤

t

≤}，值域为{

x

|0≤

x

≤

h

}.

2

4v

d

【反馈检测5详细解析】向容器内注入溶液经历时间为

t

秒后,容器中溶液的高度为

xcm

.故

t

秒后溶液的体

积为＝底面积×高＝π

4vt4vt

d

2

xx

＝ 解之得：＝又因为0≤x≤h 即0≤≤h

0≤t≤

vt

22

d

d

2

hd

2

hd

2

，故函数的定义域为{

t

|0≤

t

≤}，值域为{

x

|0≤

x

≤

h

}.

4v4v

6


本文标签： 函数 定义域 解析

版权声明：本文标题：函数的定义域常见求法 内容由网友自发贡献，该文观点仅代表作者本人， 转载请联系作者并注明出处：http://www.roclinux.cn/p/1711055700a586167.html， 本站仅提供信息存储空间服务，不拥有所有权，不承担相关法律责任。如发现本站有涉嫌抄袭侵权/违法违规的内容，一经查实，本站将立刻删除。