基于Copula的机械系统可靠性模型及其应用

第３３卷第３期　

２　０　１　２年３月　

兵　工　学　报　

Ｖｏ１．３３　Ｎｏ．３　

Ｍａｒ．　２０１２　ＡＣＴＡ　ＡＲＭＡＭＥＮＴＡＲＩＩ　

基于Ｃｏｐｕｌａ的机械系统可靠性模型及其应用　

何成铭　，吴纬　，孟庆均　

（１．装甲兵工程学院，北京１０００７２；２．北京特种车辆研究所，北京１０００７２）　

摘要：机械系统可靠性中存在复杂的相关性，利用连接函数Ｃｏｐｕｌａ在描述相关性方面的优势，　

提出了基于Ｃｏｐｕｌａ的机械系统可靠性模型。以某型装甲车辆悬挂系统为例，阐述了其在系统可靠　

性预计中的应用。结果表明，该模型可以较好地解决机械系统的可靠性预计问题。　

关键词：机械设计；Ｃｏｐｕｌａ；机械系统；可靠性；模型；预计　

中图分类号：ＴＢ１１４．３　文献标志码：Ａ　文章编号：１０００—１０９３（２０１２）０３４３３７９－０６　

Ａ　Ｃｏｐｕｌａ－ｂａｓｅｄ　Ｍｅｃｈａｎｉｃａｌ　Ｓｙｓｔｅｍ　Ｒｅｌｉａｂｉｌｉｔｙ　Ｍｏｄｅｌ　ａｎｄ　Ｉｔｓ　Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ　

ＨＥ　Ｃｈｅｎｇ．ｍｉｎｇ　，ＷＵ　Ｗｅｉ　，ＭＥＮＧ　Ｑｉｎｇ－ｊｕｎ　

（１．Ａｃａｄｅｍｙ　ｏｆ　Ａｒｍｏｒｅｄ　Ｆｏｒｃｅｓ　Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，Ｂｅｉｊｉｎｇ　１０００７２，Ｃｈｉｎａ；　

２．Ｂｅｉｊｉｎｇ　Ｉｎｓｔｉｔｕｔｅ　ｏｆ　Ｓｐｅｃｉａｌ　Ｖｅｈｉｃｌｅ，Ｂｅｉｊｉｎｇ　１０００７２，Ｃｈｉｎａ）　

Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｅｒｅ　ｉｓ　ａ　ｃｏｍｐｌｅｘ　ｃｏｒｒｅｌａｔｉｏｎ　ｉｎ　ｔｈｅ　ｒｅｌｉａｂｉｌｉｔｙ　ｏｆ　ｍｅｃｈａｎｉｃａｌ　ｓｙｓｔｅｍ．Ａ　ｒｅｌｉａｂｉｌｉｔｙ　ｍｏｄｅｌ　ｏｆ　

Ｃｏｐｕｌａ－ｂａｓｅｄ　ｍｅｃｈａｎｉｃａｌ　ｓｙｓｔｅｍ　ｉｓ　ｐｒｅｓｅｎｔｅｄ　ｂｙ　ｔａｋｉｎｇ　ｔｈｅ　ａｄｖａｎｔａｇｅ　ｏｆ　Ｃｏｐｕｌａ　ｉｎ　ｄｅｓｃｒｉｂｉｎｇ　ｃｏｒｒｅｌａｔｉｏｎ．　

Ｔｈｅ　ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｍｏｄｅｌ　ｉｎ　ｍｅｃｈａｎｉｃａｌ　ｓｙｓｔｅｍ　ｒｅｌｉａｂｉｌｉｔｙ　ｐｒｅｄｉｃｔｉｏｎ　ｉｓ　ｄｅｓｃｒｉｂｅｄ　ｂｙ　ｔａｋｉｎｇ　ａ　ｓｕｓｐｅｎ—　

ｓｉｏｎ　ｓｙｓｔｅｍ　ｏｆ　ｓｏｍｅ　ｔｙｐｅ　ａｒｍｏｒｅｄ　ｖｅｈｉｃｌｅ　ｆｏｒ　ｅｘａｍｐｌｅ．Ｔｈｅ　ｒｅｓｕｌｔ　ｓｈｏｗｓ　ｔｈａｔ　ｔｈｅ　ｍｏｄｅｌ　ｃａｎ　ｂｅ　ｐｅｒｆｅｃｔｌｙ　

ｕｓｅｄ　ｉｎ　ｔｈｅ　ｒｅｌｉａｂｉｌｉｔｙ　ｐｒｅｄｉｃｔｉｏｎ　ｏｆ　ｍｅｃｈａｎｉｃａｌ　ｓｙｓｔｅｍ．　

Ｋｅｙ　ｗｏｒｄｓ：ｍｅｃｈａｎｉｃａｌ　ｄｅｓｉｇｎ；Ｃｏｐｕｌａ；ｍｅｃｈａｎｉｃａｌ　ｓｙｓｔｅｍ；ｒｅｌｉａｂｉｌｉｔｙ；ｍｏｄｅｌ；ｐｒｅｄｉｃｔｉｏｎ　

０引言　

机械系统各组成单元及其失效模式之间具有复　

杂的相关性，这是机械系统区别于电子系统的显著　

标志之一，如何精确刻画这种相关性是机械系统可　

靠性设计与分析中亟待解决的关键问题之一¨。　。　

近年来，一些学者在金融、保险和工程等领域，应用　

１理论依据　

Ｓｋｌａｒ在１９５９年指出，可将一个联合分布分解　

为ｋ个边缘分布和一个Ｃｏｐｕｌａ函数，这个Ｃｏｐｕｌａ函　

数可描述变量之间的相关性　ｌｏｌ。Ｃｏｐｕｌａ函数实际　

上是一类将联合分布函数与它们各自的边缘分布函　

数连接在一起的函数，因此，也将它称为连接函数。　

１．１　Ｃｏｐｕｌａ函数的定义与性质　

连接函数Ｃｏｐｕｌａ探讨相关性，取得了较为满意的效　

果　。文献［６—９］探讨了应用Ｃｏｐｕｌａ函数及有　

关理论解决机械系统可靠性中的相关性问题，尽管　

探讨只是初步的，还没有达到实用的程度，但却表明　

Ｃｏｐｕｌａ理论在解决机械系统可靠性相关性问题方面　

前景十分广阔。本文在前人工作的基础上，系统构　

建了基于Ｃｏｐｕｌａ的机械系统可靠性模型，并将其应　

用于某型装甲装备悬挂系统的可靠性预计中。　

收稿日期：２０１０—１０—２２　

用Ｒ“记拓展的ｎ维空间（ｒｔ是任意的正整数），　

ｏ＝（ｎ。，ｏ　，…，ｏ　）表示Ｒ　中的点。对所有的ｋ，如　

果都有０　≤ｂ　，就说口≤ｂ．对０≤ｂ，用［口，ｂ］＝［口。，　

ｂ。］Ｘ［ｏ　，ｂ　］Ｘ…Ｘ［ｏ　，ｂ　］表示ｎ维立方体，其体　

积记为　（［ｏ，ｂ］）．　

定义１　Ｃｏｐｕｌａ函数是指具有以下性质的　

函数ｃ（・，…，・）：　

作者简介：何成铭（１９７２一），男，副教授。Ｅ—ｍａｉｌ：ｈｅｃｈｍ８９１８＠ｓｉｎａ．ｃｏｍ　

３８０　兵　工　学　报　第３３卷　

１）Ｃ（・，…，・）的定义域为Ｊ　，即［０，１］　；　

２）对ｒ中的任意“，若ｕ中至少一个分量为０，　

则Ｃ（／／，）＝０，若除ｕ　外，ｕ中的所有分量都为１，则　

Ｃ（ｕ）＝“　；　

３）对Ｊ　中的０，ｂ（口≤ｂ），Ｖｃ（［０，６］）≥０，即　

Ｃ（・，…，・）有基底且是／７，增函数。　

定义２¨¨　若Ｖ（ｕｌ，Ｍ２，…，Ｍ　）∈Ｉ　，Ｃｌ（“１，　

ｕ２，…，／／，　）≤ｃ２（／２，ｌ，Ｍ２，…，ｕ　），则称Ｃｏｐｕｌａ函数　

Ｃ　（・，…，・）＜Ｃ：（・，…，・）（或Ｃ：（・，…，・）＞Ｃ　（・，　

…

・

，

）），记作：Ｃ。＜Ｃ：（或Ｃ：＞Ｃ。）．　

ｎ维Ｃｏｐｕｌａ的Ｆｒｅｃｈｅ—ｈｏｅｆｆｄｉｎｇ上、下界分别为　

Ｃ　（ｕＩ，　２，…，Ｍ　）＝ｒａｉｎ（“Ｉ，ｕ２，…，Ｈ　），　

ｎ　

Ｊ　

Ｃ一（“　，ｕ　，…，“　）＝ｍａｘ（∑ｕ　—ｎ＋１，０）．　

根据上述定义，可推导出Ｃｏｐｕｌａ函数（简记为　

Ｃ）的一些基本性质　：　

１）对任意变量　∈［０，１］，ｉ＝１，２，…，ｎ，Ｃ（　。，　

／／，：，…，ｕ　）都是非减的；　

２）Ｃ（ｕ１，／／，２，…，０，…，Ｍ　）＝０，Ｃ（１，…，１，Ｍ　，１，　

…

，

１）＝／／，　；　

３）Ｖ　ｕ　，　∈［０，１］，ｉ＝１，２，…，／／，，均有　

　ｌｃ（　。，Ｍ：，…，Ｍ　）一Ｃ２（　。，　：，…，　）ｌ≤∑　一　

Ｉ；　

４）Ｃ一＜Ｃ＜Ｃ　；　

５）若变量７１，ｉ∈［０，１］，ｉ＝１，２，…，ｎ相互独立，　

则ｃ（“　，ｕ：，…，ｕ　）＝兀“

‘　ｌ　

　，记为Ｃ　．　

１．２　Ｓｋｌａｒ定理　

定理Ⅲ　设日是ｎ维分布函数，它的边缘分布　

为Ｆ　（・），Ｆ　（・），…，Ｆ　（・），那么对Ｒ　中的所有　

，

存在一个／７，维Ｃｏｐｕｌａ　Ｃ，使得　

Ｈ（　ｌ，　２，…，　）＝Ｃ（Ｆｌ（　１），Ｆ２（　２），…，Ｆ　（　））．　

（１）　

如果Ｆ。（・），Ｆ　（・），…，Ｆ　（・）连续，则Ｃ是唯　

一

的。否则Ｃ的唯一性在ＲａｎＦ１　Ｘ　ＲａｎＦ２　Ｘ…Ｘ　

ＲａｎＦ　上确定。反之，如果Ｃ是ｎ维Ｃｏｐｕｌａ，　

Ｆ　（・），Ｆ　（・），…，Ｆ　（・）是分布函数，那么存在由　

（１）式定义的ｎ维分布函数日，它的边缘分布为　

Ｆ，（・），Ｆ　（・），…，Ｆ　（・）．　

推论　设　。，　：，…，　是随机变量，它们的　

分布函数分别是Ｆ　。（　。），Ｆ　：（　ｚ），…，Ｆ　（　），联　

合分布函数为　（　，　，…，　），则存在一个ｎ维　

Ｃｏｐｕｌａ　Ｃ，使得（１）式成立。如果Ｆ　（　），Ｆ　（　），　

…

，

Ｆ　（　）连续，Ｃ是唯一的。否则Ｃ的唯一性在　

ＲａｎＦ１　ＸＲａｎＦ２　Ｘ…×ＲａｎＦ　上确定。　

通过Ｃｏｐｕｌａ函数Ｃ的密度函数ｃ和边缘分布　

函数Ｆ。（　。），Ｆ　（　），…，Ｆ　（　），可以方便地求出　

ｎ维分布函数Ｈ（　。，　，…，　）的密度函数　

ｈ（　ｌ，　２，…，　）＝　

ｃ（ｕ　，ｕ：，…，“　）兀　（　），　（２）　

式中：　ｆ　＝　Ｆｆ（戈ｆ）；ｃ（“１，“２，　…，Ｍ　）　＝　

（　）是边缘分布Ｆｉ（　）的密度　

函数，ｉ＝１，２，…，ｎ．　

根据Ｓｋｌａｒ定理，利用Ｃｏｐｕｌａ函数，可将边缘分　

布和变量之间的相关结构分开研究，且降低多变量　

概率模型建模和分析的难度。　

２基于Ｃｏｐｕｌａ的机械系统可靠性模型　

２．１　基于Ｃｏｐｕｌａ的串联机械系统可靠性模型　

当机械系统由ｎ个单元串联而成时，设第ｉ个　

单元的寿命为　，Ｆ　（ｔ）为　的分布函数，可靠度为　

Ｒ　（ｔ）＝Ｐ（Ｔ　＞ｔ）＝１一　（ｔ），ｉ＝１，２，…，ｎ，串联系　

统的寿命为Ｔ＝ｒａｉｎ（　，　，…，Ｔ），Ｔ　，Ｔ２，…，　

的联合分布函数为Ｈ（ｔ，，ｔ　，…，ｔ　）＝Ｐ｛Ｔ　≤ｔ　，Ｔ２≤　

ｔ２，…，Ｔ　≤ｔ　｝．　

由Ｓｋｌａｒ定理，存在一个ｎ维Ｃｏｐｕｌａ　Ｃ，使得　

Ｈ（ｔ１，ｔ２，…，ｔ　）＝Ｃ　（Ｆ１（ｔ　），Ｆ２（ｔ２），…，Ｆ　（ｔ　）），　

式中Ｃ　（・）表示ｎ维Ｃｏｐｕｌａ　Ｃ，因为Ｆｉ（ｔ）连续，所　

以Ｃ　（Ｆ　（ｔ　），Ｆ　（ｔ：），…，Ｆ　（ｔ　））是唯一的。　

串联系统的可靠度为　

Ｒ（ｔ）＝Ｐ｛ｍｉｎ（Ｔ　，Ｔｚ，…，　）＞ｔ｝＝　

Ｐ（Ｔ１＞￡，　＞ｔ，…，Ｔ　＞￡）＝１一∑Ｐ（　ｌ≤ｆ）＋　

∑Ｐ（Ｔｉ≤ｔ，　≤　）＋…＋（一１）　×　

∑　Ｐ（Ｔｉ。≤ｆ，Ｔｉ　≤　，…，Ｔｉ　≤　）＋…＋　

（一１）　Ｐ（Ｔ　≤　，Ｔｆ：≤ｔ，…，Ｔ　Ｉ≤　）＝　

１一∑Ｆｉ（￡）＋（一１）　×　

∑　ｃ（Ｆ。　（　），Ｆ　：（￡），…，Ｆ　（ｆ））＝　

１一∑Ｆｉ（ｆ）＋（一１）　×　

，…　，　

ｌ≤‘ｌ＜　

…　

＜一＜‘‘≤ｎ．Ｈ：　

（３）　

第３期　基于Ｃｏｐｕｌａ的机械系统可靠性模型及其应用　３８１　

式中２≤Ｊ｝≤ｎ．　

２．２　基于Ｃｏｐｕｌａ的并联机械系统可靠性模型　

对于１７，个单元组成的并联机械系统，设第ｉ个　

单元的寿命为　，Ｆ　（ｔ）为　的分布函数，可靠度为　

尺　（ｔ）＝Ｐ（Ｔｉ＞ｔ）＝１一Ｆ　（ｔ），　＝１，２，…，ｎ，并联系　

统的寿命为Ｔ＝ｍａｘ（　，　，…，Ｔ　），Ｔ　，　，…，　

的联合分布函数为Ｈ（ｔ。，ｔ：，…，ｔ　）＝Ｐ｛Ｔ。≤ｔｌ，Ｔ２≤　

ｔ２，…，　≤ｔ　｝．　

由Ｓｋｌａｒ定理知，存在一个ｎ维Ｃｏｐｕｌａ　Ｃ，使得　

Ｈ（ｔ１，ｔ２，…，ｔ　）＝Ｃ　（Ｆ１（ｔ１），Ｆ２（ｔ２），…，Ｆ　（ｔ　））．　

并联系统的可靠度为　

ＪＲ（ｔ）＝Ｐ｛ｍａｘ（　１，　，…，Ｔ　）＞ｔ｝＝１一　

Ｐ｛ｍａｘ（　，，　，…，　）≤ｔ）＝１一　

Ｃ　（Ｆ　（ｔ），Ｆ２（ｔ），…，Ｆ　（￡））＝１一　

Ｃ　（１一Ｒ。（ｔ），１一Ｒ　（ｔ），…，１一Ｒ　（ｔ））．（４）　

当各单元之间相互独立时，由　

Ｃ　（１一Ｒ　（ｔ），１一Ｒ　（ｔ），…，１一Ｒ　（ｔ））：　

Ｃ　（１一尺。（ｔ），１一Ｒ：（ｔ），…，１一Ｒ　（ｔ））＝　

（１一　。（ｔ））（１一Ｒ　（ｔ））…（１一　（ｔ））＝　

兀（１一Ｒ　（　）），　

很容易得到尺（　）＝１一ＩＩ（１一Ｒ　（￡）），这与传统　

的不考虑相关性的并联系统可靠性模型是一致的。　

至此，本文就建立了基于Ｃｏｐｕｌａ的机械系统可　

靠性模型，这样就可在不研究多维随机变量联合分　

布函数的前提下，通过构造适当的Ｃｏｐｕｌａ函数，来　

求解考虑相关性时机械系统的可靠性量值，从而有　

效解决机械系统可靠性建模难的问题。　

３基于Ｃｏｐｕｌａ的机械系统可靠性模型在可　

靠性预计中的应用举例　

利用基于Ｃｏｐｕｌａ的机械系统可靠性模型，通过　

构造能反映机械系统各组成单元相关结构特征的　

Ｃｏｐｕｌａ函数，以单元寿命为基本输入（假定各单元　

寿命分布规律已知），可估计出Ｃｏｐｕｌａ模型的参数，　

从而预计机械系统的可靠性。下面以某型装甲车辆　

悬挂系统为例说明基于Ｃｏｐｕｌａ的机械系统可靠性　

模型在可靠性预计中的应用。　

３．１问题描述　

由ｎ个单元组成的串联机械系统，第ｉ单元的　

寿命为　，其分布函数（故障概率）记为Ｆ　（ｔ　），可靠　

度Ｒ　（ｔ　）＝１一　（ｔ　）．已知各单元寿命的一组观测值　

（ｔ”ｔ　一，ｔ　ｆ）Ｊ＝１，２，…，　．试估计系统可靠度。　

由（３）式，有　

Ｒ（ｔ）＝１一∑Ｆ　置　（ｔ）＋（一１）　×　

１《‘ｌ＜‘２＜…

∑　

‘‘　《ｎ　

ｃ（　。（￡），Ｆｉ２（　），…，Ｆ　（ｔ））＝　

１一∑Ｆｉ（￡）＋（一１）　∑　ｃ　（Ｆ　。（　），　

ｌ　１　１《‘ｌ＜‘２（…＜‘　《ｎ　

Ｆ　（　），…，Ｆ　（ｔ），１，１，…，１），２≤　≤ｎ．（５）　

——：　

（５）式中，Ｆ　（ｔ）可通过确定分布类型并估计其　

分布参数得到；先选择合适的Ｃｏｐｕｌａ模型，由Ｃｏｐｕ—　

ｌａ函数的性质，估计出ｃ　（Ｆ。（ｔ），Ｆ：（ｔ），…，Ｆ　（ｔ））　

的参数，令Ｆ　（ｔ）＝１，　＝ｉ　＋１，ｉ　＋２，…，ｎ，就可以　

得到Ｃ（Ｆ“（ｔ），Ｆ　（￡），…，Ｆ　（ｔ）），１≤ｉＩ＜ｉ２＜…＜　

ｉ　≤ｎ，２≤　≤ｎ．　

因而利用基于Ｃｏｐｕｌａ的机械系统模型预计系　

统可靠度的基本步骤为：　

１）确定边缘分布，即单元寿命的分布类型　

Ｆ　（ｔ），并估计其分布参数；　

２）选择一个适当的Ｃｏｐｕｌａ函数，使之能够很好　

地描述各单元寿命之间的相关特征；　

３）估计Ｃｏｐｕｌａ模型的参数；　

４）计算系统可靠度。　

下面对上述各步骤分别进行阐述。　

３．２　单元寿命分布类型的确定及其参数估计　

机械产品的寿命比较适宜于用威布尔分布来描　

述，威布尔分布具有较强的适应性，用三参数威布尔　

分布拟合机械产品寿命分布，更加符合实际，具有显　

著的优势。因此，本文采用三参数威布尔分布来描　

述单元寿命。第ｉ单元的寿命分布函数（故障概率）　

和可靠度分别为　

Ｆｆ（ｔ）＝１一ｅ　，　（６）　

Ｒ　（ｔ）＝ｅ　，　（７）　

式中ｙ　、ｍ　、　分别为第ｉ单元寿命威布尔分布的位　

置参数、形状参数和尺度参数。　

文献［１２—１３］对三参数威布尔分布提出了较　

为实用的参数估计方法。利用该方法可方便地求出　

３个参数的估计值　、　、＇；　．　

３．３　Ｃｏｐｕｌａ模型的构建　

文献［１４］介绍了常用的Ｃｏｐｕｌａ函数，可根据需　

要选择。鉴于机械零部件寿命之间的相关性通常表　

现为正相关，同时考虑到模型参数估计和计算简便　

的要求，本文选用阿基米德Ｃｏｐｕｌａ函数族中的多元　

Ｇｕｍｂｅｌ　Ｃｏｐｕｌａ函数。文献［８］指出Ｇｕｍｂｅｌ　Ｃｏｐｕｌａ　

函数能够比较准确地刻画机械系统的相关性。多元　

３８２　兵　工　学　报　第３３卷　

Ｇｕｍｂｅｌ　Ｃｏｐｕｌａ函数的分布函数和密度函数分别为　

ｃ（“。　一，ｕ　）＝ｅｘＰ（一［　（＿ｌｎ　ｕ　）　】　），　

（８）　

ｄＵ

ｔ　

ｄＵ　

，…　

ｄＵ　，　

式中０∈（０，１］为相关系数，０＝１表示随机变量Ｕ，，　

Ｕ：，…，Ｕ　独立，　一０表示随机变量１１，。，Ｕ　，…，Ｕ　趋　

向于完全相关。　

令Ｍ　＝Ｆ　（ｔｉ）＝１一ｅ　＂，由（８）式有　

Ｃ“（Ｆ　（ｔ　），Ｆ　（ｔ２），…，Ｆ　（ｔ　）；０）＝　

ｅｘＰ

（一［　（＿ｌｎ　Ｆｉ（ｔｉ）　）．（１０）　

再根据（５）式，系统可靠度为　

（ｆ）＝１一∑　（ｆ）＋（一１）　×　

ｎ（　。（ｆ），Ｆｉ２（　），…，Ｆｉ　（　）　１）＝

１　≤　１‘２＜…　ｆｉ　

～

＾≤ｎ　—Ｉｔ－　

１一∑Ｆｉ（　）＋（一１）　×　

∑　ｅｘｐ（一［（一Ｉｎ　Ｆ　。（　））　邝＋　

（一Ｉｎ　Ｆ　（ｔ））　＋…＋（一Ｉｎ　Ｆ　（ｔ））１／ｏ］　）．（１１）　

需要先估计出（１０）式所示Ｃｏｐｕｌａ函数中参数　

０的值０，而后令Ｆ　（ｔ）＝１，　＝ｉ　＋１，ｉ　＋２，…，ｎ，将　

０和各单元威布尔分布参数估计值　、　、　代入　

（１１）式，即可求解系统可靠度。　

３．４　Ｃｏｐｕｌａ模型的参数估计　

本文采用ＮＬＰ．ＭＬＥ方法¨　。　对（１０）式所建　

立的模型进行参数估计。这里以某型装甲车辆悬挂　

系统为例，阐述上述Ｃｏｐｕｌａ模型参数估计方法。　

已知某型装甲车辆悬挂系统由平衡肘、扭力轴　

和液压减振器组成（每台装备上各有ｌ０件）。对　

５台装备进行了寿命试验，记录了各单元的寿命数　

据，如表１～３所示。　

设扭力轴、平衡肘和液压减振器的寿命分别为　

、　、　，

均服从三参数威布尔分布，分布函数分别　

为Ｆ　（ｔ。）、Ｆ　（ｔ　）、Ｆ，（ｔ，），由（８）式有　

Ｃ（Ｆ１（ｔ１），Ｆ２（ｔ２），Ｆ３（ｔ３）；０）：　

唧

（一［　（　（　）　）．　

（１２）　

由（９）式，可得到三元Ｇｕｍｂｅｌ　Ｃｏｐｕｌａ函数的密　

度函数为　

表１　

某型装甲车辆平衡肘的寿命数据　

Ｔａｂ．１　Ｅｌｂｏｗ　ｂａｌａｎｃｅｒ’ｓ　ｌｉｆｅ　ｄａｔａ　ｆｏｒ　ｓｏｍｅ　ｔｙｐｅ　

ｏｆ　ａｒｍｏｒｅｄ　ｖｅｈｉｃｌｅ　ｋｍ　

序号寿命　序号寿命　序号寿命　序号寿命　序号寿命　

ｌ　４　７８７　１１　６４９５　２１　６　８０５　３ｌ　７　Ｏ１５　４１　７　６０６　

２　５　２０４　１２　６　５０１　２２　６　８５３　３２　７　０８７　４２　７　７２３　

３　５　５９７　ｌ３　６　５０２　２３　６　８７５　３３　７　０９ｌ　４３　８　０８６　

４　５　７２５　１４　６　５０３　２４　６　９０３　３４　７　１０３　４４　８　１０４　

５　５　８ｌ０　１５　６　５０９　２５　６　９１６　３５　７　ｌｌ０　４５　８　７７０　

６　５　８９７　ｌ６　６　６２６　２６　６　９１７　３６　７　１５１　４６　９４２７　

７　５　９６７　１７　６　７２１　２７　６　９２３　３７　７　１６３　４７　９　６８５　

８　６　１６ｌ　１８　６　７７０　２８　６　９４０　３８　７　２３４　４８　１００５０　

９　６　２７４　ｌ９　６　５２２　２９　６　９７４　３９　７　３７７　４９　１０　３０２　

１０　６　３９２　２０　６　７９６　３０　７　００２　４０　７　４７２　５０　ｌｌ　６００　

表２　某型装甲车辆扭力轴的寿命数据　

Ｔａｂ．２　Ｔｏｒｓｉｏｎ　ｂａｒ’ｓ　ｌｉｆｅ　ｄａｔａ　ｆｏｒ　ｓｏｍｅ　ｔｙｐｅ　ｏｆ　

ａｒｍｏｒｅｄ　ｖｅｈｉｃｌｅ　ｋｍ　

序号寿命　序号寿命　序号寿命　序号寿命　序号寿命　

ｌ　６　４００　ｌ１　９　１７５　２ｌ　１Ｏ　８００　３１　１２　２００　４１　１４　１００　

２　７　０００　ｌ２　９　３２５　２２　１０　９２５　３２　ｌ２　３７５　４２　１４　３５０　

３　７　４２５　ｌ３　９４７５　２３　１１　０７５　３３　１２　５７５　４３　１４　６２５　

４　７　６５０　１４　９　６５０　２４　ｌｌ　２２５　３４　１２　７７５　４４　１４　９００　

５　７　８７５　１５　９　８００　２５　ｌｌ　３５０　３５　１３　ｌ５０　４５　１５　２００　

６　８　１７５　１６　９　９５０　２６　１ｌ　４７５　３６　１３　３５０　４６　ｌ５　６００　

７　８　３５０　１７　１Ｏ　ｌ００　２７　ｌｌ　６２５　３７　ｌ３　５５０　４７　１６　１２５　

８　８　６２５　ｌ８　１０　２２５　２８　１ｌ　７７５　３８　ｌ３　７５０　４８　ｌ６　６００　

９　８　８２５　ｌ９　１０　４２５　２９　１１　９２５　３９　ｌ３　９２５　４９　１７　４７５　

１０　９　０００　２０　ｌ０　６００　３Ｏ　ｌ２　０５０　４０　１４　ｌ００　５Ｏ　１８　７５０　

表３　某型装甲车辆液压减振器的寿命数据　

Ｔａｂ．３　Ｈｙｄｒａｕｌｉｃ　ｓｈｏｃｋ　ａｂｓｏｒｂｅｒ’ｓ　ｌｉｆｅ　ｄａｔａ　ｆｏｒ　ｓｏｍｅ　ｔｙｐｅ　

ｏｆ　ａｒｍｏｒｅｄ　ｖｅｈｉｃｌｅ　ｋｍ　

序号寿命　序号寿命　序号寿命　序号寿命　序号寿命　

１　３　９５６　１１　４　９４０　２ｌ　５　８４４　３１　７　２０９　４１　８　２４６　

２　４　００４　１２　４　９６３　２２　６　１７５　３２　７　２０９　４２　８　６００　

３　４　０２０　１３　５　２２０　２３　６　１９７　３３　７　２０９　４３　８　７１４　

４　４　３５５　１４　５　３５３　２４　６　２５０　３４　７　２０９　４４　８　９３６　

５　４　３５５　１５　５　３７３　２５　６　２８０　３５　７　３６６　４５　９　０４４　

６　４　３７６　１６　５　４ｌ８　２６　６　２８０　３６　７　５８２　４６　１１　９９ｌ　

７　４　３９２　１７　５　４４４　２７　６　５７３　３７　７　５８３　４７　１２　２３８　

８　４４８８　ｌ８　５　６０３　２８　６　７４０　３８　７　５８４　４８　１２　４００　

９　４　７３７　１９　５　６９８　２９　６　８８８　３９　７　５８５　４９　１２　４００　

１０　４　７３７　２０　５　７４６　３０　７　１８３　４０　７　６４６　５０　ｌ２　５５０　

第３期　基于Ｃｏｐｕｌａ的机械系统可靠性模型及其应用　３８３　

ｃ（ｕｌ＇“２＇“３　ｐ）　———　

￣１／／￣２／￣３

—　—　计

，

【　）Ｉ　】　

需要先估计边缘分布的分布参数，用ＮＬＰ．ＭＬＥ　

寿　布　

ｅ～　‘＿ｌｎ　。】　（【∑３（一１　）　／口２０＋　

个参数，如表４所示。　

尔分布的３

．

３－　３０［　３　ｃ一　－　＋　

由（１３）式可得到似然函数为

ｌ，、ｐ＝Ｔ，日　ｌ『Ｉ、ｌ‘ｂ一　‘、Ｉ　

，

）．　表４　弄主辆悬挂系统部件寿命威布尔分布　

（１３）

ｂ

ｕ

ｌｌ　ｄ

ｉ

ｓ

ｔ

ｒｉ

ｂｕ

ｔｉｏ

ｎ

Ｔ　ｂ・４　

Ｗ

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一

ｄ

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ｃ

ｌ

ｅ

一一　

威布尔分布参数估计值　

ｔＵ

…

一，

．

，

。　

川　

；　）　【寺一　序号　部件名称　

）　ｎ｛　Ｈ　ｌｎ（１　“　咖　）】卜　

；　：｛；　３

＝　ｉ；；ｃｌ　一－ｎ　ｃ　一ｅ一（Ｉ　—ｙ　）　∥　÷）。一　

１　

—　—　—　百　

液恨　器：皿吼佩ｉ哥　ｊ：，　‘７　１：：・：‘　ｕ　ｕ：　ｕＪ　

将表４中的数值代入（１４）式

。

ｎ（１一ｅ一“　Ｊ　）一　

估计参数　的　

耋・ｎ　ｃ　一ｅ－（　一　一　

ｎ（１　）＋　

霎　

ｍａ　川　ｔｌｊ

…

大值的　即将问题转　

，　’

；　

川　

’　

，

一

砉　ｎ｛（　３㈠州　

＿二二　

拍＋　

３５

．

以表…　

Ｅ

ｘ

ｃｅ　

础，利　。　

’可求得　＝。・２３４・　

（吾一３）（　３　ｃ—ｌｎ（１－ｅ－￣＇）－　）　∥　，　÷）　＋　

）一砉ｌｎ｛（　３［一ｌｎ（１一　

ｅ　）］寺）　｝．　

（￡）：ｅ一（　

Ｒ　

（￡）：ｅ—Ｌ丽

将估计出的模型参数　和各单元威布尔分布参　

－

（１４）　靠度函数为　

）　

＋ｅ—Ｌ酉

＋ｅ一（酉ｔ－４６５１）　＋

【育ＪＪ　

（　

ｅ

）

Ｊ

一

２＋　

＋　

－［一［（一（一（一ｅ一～’　（一Ｉｎ　１　　一（　ｉ丽Ｊ）　））））商Ｉ＋（一１商＋（一ｎ（一ｅ—Ｌ—　（１一。一（　ｊ　ｒＪ）　０３）））　硒１　０　２３４　

一　

（－　（　

（　一（　

）　））　１＋（－Ｉｎ（１－ｅ－ｔ－３９２９）　））硒１］一

＋　

。

）　））硒１＋（－Ｉｎ（１－ｅ一（　）　））　１　

一　

…ｎ（Ｉ－ｅ一（　）　））　１＋（－Ｉｎ（Ｉ－ｅ－（　）　））而１＋（－Ｉｎ（１－ｅ－（　）　））　

．　

ｆ１６）　

若要预计该悬挂系统在车辆行驶６　０００　ｋｍ时　

的可靠度，将ｔ＝６　０００代入（１６）式，得Ｒ（６　０００）＝　

０．５３２．　

其在车辆行驶６　０００　ｋｍ时的可靠度　

尺３（６　０００）＝０．５３５．　

记基于Ｃｏｐｕｌａ的系统可靠度为　（ｔ），假设各　

单元相互独立时的系统可靠度为Ｒ，（ｔ），薄弱环节　

理论对应的系统可靠度为Ｒ　（ｔ），由上面实例的计　

）　

ｅ—

（丽ｔ－３　９２９）　

Ｊ．　丽Ｊ：　

一　

若不考虑单元之间的相关性，悬挂系统在车辆　

行驶６　０００　ｋｍ时的可靠度　

０００　、：　一（　

）：ｅ—　丽

）　”　（　

Ｊ．ｅ—Ｌ而

算结果，Ｒ　（ｔ）＝０．５３２，Ｒ。（ｔ）＝０．４２５，Ｒ　（ｔ）：　

０．５３５，则显然有　

ＲＩ（　）≤Ｒｃ（　）≤Ｒｗ（　）．　

０．９９９×０．７９５×０．５３５＝０．４２５．　

液压减振器是悬挂系统中可靠性最低的单元，　

３８４　兵　工　学　报　第３３卷　

这与可靠性界限模型的结论是一致的，从而也　

验证了基于Ｃｏｐｕｌａ的机械系统可靠性模型的合理　

性。　

部队多年实际使用数据表明，该型装备悬挂系　

统行驶６　０００　ｋｍ的损坏率为４８％，相当于使用到　

６　０００　ｋｍ时悬挂系统的可靠度为０．５２０，略低于预计　

值０．５３２，剔除由于人为操作失误和维修不当等因　

素引起的损坏，可以认为该模型与实际情况是基本　

吻合的。这就从理论和实践２个方面证实了模型的　

正确性与合理性。　

４　结论　

应用Ｃｏｐｕｌａ理论进行机械系统可靠性建模及　

其预计，将机械产品寿命随机变量的分布（边缘分　

布）和变量的相关结构分开来研究，减小了多变量　

概率模型建模和分析的难度，并使建模和分析过程　

更加清晰。机械系统可靠性中的相关性问题是普遍　

存在、不能回避的，基于Ｃｏｐｕｌａ的机械系统可靠性　

模型的提出，为解决机械系统可靠性建模与预计难　

题提供了科学实用的方法。　

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—

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