t-Copula函数模型在跨期套利中的理论研究

ｔ－Ｃｏｐｕｌａ函数模型在跨期套利中的理论研究　

杨梅　

摘要：跨期套利一般利用的是同一市场同种商品不同交割时间的期货合约之间的价格差，当商品价格差分布在无套利区间中。　

则不存在套利机会；当商品价格差分布在无套利区间之外，则有套利机会，从而可以采取套利交易来得到利润。套利组合是期货市场上　

重要的投资工具之一，而套利组合的风险取决于单个合约的风险以及多种套利合约之间的相关性。期货合约收益率序列多呈现“厚尾”　

或者“薄尾”分布，计算起来很容易发生误差。为了更好地描述随机变量之间相关性结构，并利用Ｃｏｐｕｌａ函数理论来刻画变量之间的相　

关性，由此得出跨期套利交易Ｃｏｐｕｌａ函数模型，并用该模型研究了ＰＶＣ合约的套利交易。　

关键词：跨期套利；Ｃｏｐｕｌａ函数模型；相关性分析；收益率　

中图分类号：Ｆ８３０　文献标识码：Ｂ　文章编号：１００８—４４２８（２０１７）０６—９１—０３　

一

、

引言　

如当市场处于牛市或熊市时，相关市场之间的协同作用就会显著增　

强，从而相关性增强，但是当处在两种状态时，期货市场之间的变化通　

套利是指同—时间买卖两种不同的期货合约，套利行为是利用　

同一资产的不同价格，获得无风险利润的—种行为。期货套利是指利　

用期货市场或期货合约之间的相关期货价格差异，逆向交易在期货　

市场或相关期货合约中，交易行为发生有益发展时的利差利润。　

跨期套利交易是指在同一市场上针对同—产品同时买＾或卖出　

不同交割时间的期货合约，来获取利益而最终平仓了结。　

常又是不对称的。因此要使用—种Ｃｏｐｕｌａ函数来全面地刻画变量之　

间的特　。根据Ｃｏｐｕｌａ理论性质，可以发现，利用ｔ－Ｃｏｐｕｌａ函数就可　

以实现这　卜刻画过程。　

第三步：参数估｛十。　

首先，根据Ｃｏｐｕｌａ函数Ｃｋ（ｕ，ｖ，０　ｋ）的密度函数Ｃ　（ｕ，ｖ＇０　ｋ）和　

在—个竞争激烈的，流动性比饺强的市场中，套利行为将导致价　

格差异的消失，这会使市场趋于均衡。客观地说，投资方式与投资方式　

之间并没有确定的好处和坏处，对于使用什么样的投资方式，一般会　

取决ｌ亍：投资者。因此，套利交易则被广泛认为是起着某种特定作用的　

且具有独立性质的并与投机交易大不相同的—种交易方式。　

期货市场套利交易与普通投资＿暧是不—样的，套利者可以利　

边缘分布　，０。），　，０　２），可以得到联合分布函数的密度函数：　

．

ｆ（ｘ　’　）＝ｃ　ｘ　ｑ　（　，　ｃ１’　）　

＝ｃ（ｆｆ＇ｖ．　１　（　，　ｌ，　，　）　

那么，本文中的收益率序列样本（ｘｌ’　，ｔ＝ｌ，２，…Ｎ的对数似然　

函数为：　

用同一品种在两个或者两个以上期货合约之间的差价，而不是依赖　

任何—个合约的价格来进行交易。客观来讲，期货套利隐藏的利润不　

是因为商品价格的ｔ涨或者下跌，而是在于不同期货合约不同月份　

ＩｎＬ（ｘ　：　１＝∑（１Ｉ１．　

，＝ｌ　

）＋１Ｉｌ　ｙ　））＋Ｉｎ　ｃ（Ｆ￣（　ｑｌＦ　．　ｌ　）　

然后采用两步极大似然估计法，第一步是对边缘分布函数的对　

之间商品价格差异的扩大或缩小，从而形成套利交易的头寸。　

二、Ｃｏｐｕｌａ函数模型建立　

数似然函数进行极大化处理：　

　、

＿ｖ　

根据Ｃｏｐｕｌａ函数相关理论，可以运用以下方法来构建Ｃｏｐｕｌａ模　

型研究期货套利。　

＝ａｒｇｎｍｘ∑ｌｎ　（　：　）　

＝ａｒｇｍａｘｙ１ｎ　．Ｏ　：　）　

ｔ＝ｌ　

第一步：确定边缘分布。　

波动性是金融市场的最重要特性之一，金融时间序列更是呈现　

第二步对Ｃｏｐｕｌａ函数的密度函数进行极大化，代入上步所得的　

参数　和　，估计出Ｃｏｐｕｌａ函数的参数　，即　

Ｊｖ　，　，　、　，　、　、　

时变等波动特征。此时的波动会随着时间的变化而不断变化，不断变　

化，大波动往往跟随后面的另一大波动，而较小的波动往往遵循另一　

个较小的波动。根据波动性的特点，我们可以利用ＧＡＲＣＨ　

（ＧｅｎｅｒａｌｉｚｅｄＡｕｔｏｒｅｇｒｅｓｓｉｖｅＣｏｎｄｉｔｉｏｎａｌＨｅｔｅｒｏｓｃｅｄａｓｔｉｃｉｔｙ）模型来刻　

画时间序列的波动情况。本文使用ＧＡＲｃＨ（１，１　窭　来刻画时间序列　

波动情况的条件边缘分布。　

令　１＇２，…Ｎ分别表示　

第二步：确定Ｃｏｐｕｌａ函数。　

＝ａｒｇｍａｘ∑ｃＩ　ｌ　ｘｔ＂Ｏ，１．　｛　：　ｌ　ｌ　

ｔ＝ｌ　＼　／　＼　／　／　

第四步：Ｃｏｐｕｌａ模型自ｇ检验。　

Ｏ—Ｑ图即分位数一分位数图可以用于判定样本是否服从于正态　

分布，并且Ｑ－Ｑ图可以帮助确定采样数据是否眼从于某种类型的分　

布，比曼Ⅱ，若采样数据近似于正态分布，则在Ｑ—Ｑ图匕显示为直线，且　

点的分布越接近于直线，则样本越趋向于正态分布。　

三、同品种跨期套利研究　

９１—　

本文所研究的期货套利市场之间的相关关系是不断变化的。比　

一

本文主要针对中国期货市场的ＰＶＣ交易情况进行研究，了解和　

淅ＰＶＣ价格差异的规律以便僦交易中获取收益。随着合约的连　

续时间越长，保证金也会越来越多，进行套利的融资成本或者说机会　

成本也就越大，另外持有期限太长的期货合约将会有很大的不确定性　

的风险。因此，在本文中，我们选择最近两个季度的合约作为标的资产　

来构建跨期套利组合。根据以上选取数据原则，本文将２０１　５年１０月　

８日至２０１６年７月８日期间ＰＶＣ１６０８合约和ＰＶＣ１６０９合约按照　

一

二元ｔ－Ｃｏｐｕｌａ函数也有对称性，茗鼍嗵间具有对称的相关关系，　

就可以使用ｔ－Ｃｏｐｕｌａ函数来刻画这种特点，这～特ｌ生与二元正态函　

数—样。利用边际推断函数法对ｔ－Ｃｏｐｕｌａ函数进行估计，结果如下：　

表４　Ｃｏｐｕｌａ函数的参数估计和标准误差ｔ比率　

Ｉ　

ＰＶｃ塑合Ｉ　ｔ－－Ｏｏｐｕｌａ　ｆ　３４．２５８　０　ｌ　０．００２７　ｌ　１２５　７４．３７７　Ｉ　

　耻　亟墼ｌ查墼焦主Ｊ±焦Ｉ楚垄选垂Ｉ　＝出墨Ｊ　

ＮｏｒｍａＩ　Ｑ－Ｑ　Ｐｌｏｔ　

定规则进行拼接，再经过缺省数据处理得到了最终用于跨期套利交　

寸　

蚺　

易的标的资产价格时间序列。　

∞　

藿　

ａ　

墨　。　

罟　

焉　

∞　

．

３　－２　１　ｏ　＇　２　３　

ＴｈｅｏｒｅｔｉｃａＩＱｕａｎｔｉｔｅｓ　

图２　Ｑ—Ｑ图　

图１　ＰＶＣ合约价格走势图　

Ｑ，Ｑ图上轨迹接近直线，则说明样本数据近似于正态分布，　

且直线的斜率就是标准差，截距是均值，点的分布越切近于直　

线，则说明样本越趋向于正态分布。　

本文实证表明，实证结果表明，期货组合收益率具有较强的　

相关性，投资者可以利用期货合约组合收益率波动套利交易，并　

通过测量套利组合的风险值，在一定程度上控制和降低套利风　

从ＰＶＣ１６０８合约和ＰＶＣ１６０９合约的价格走势图中可以看出两　

个合约的价格趋势具有很强的—致眭，同时，同步性亦很强，可以得出　

结论，这两个合约具有很强大的联动关系。为了更严　也进　

的研究，首先进行相关系数检验。　

步　

相关系数表示的是多元正态分布的变量之间的线性相关程度，　

通过期货合约套利风脸的相关系数来衡量，通常利用ｐｅａｒｓｏｎ　ｐ相关　

系数来描述时间序列之间的线性关系。通过Ｒ软件　博出两个合约　

的相关系数如下：　

．　

险。监管层还可以基于套利组合风险价值确定保证金水平，以有　

效控制风险为前提，减少套利者套利交易成本。　

以尾部极值分布构建的Ｃｏｐｕｌａ函数的边缘分布，可以尽可　

表１　ＰＶＣ１６０８合约和ＰＶＣ１６０９合约相关系数矩阵　

能地捕获期货合约的极端风险情况，由此求得期货套利投资组　

合风险将更准确和更精确，套利组合保证金将更加可靠和真实。　

中国目前的期货套利组合通常情况下只收取单边的保证　

金，也就是说两个合约收取的保证金大约是单个合约的结算价　

由价格走势图和相关系数矩阵，我们可以看出ＰＶＣ１６０８和　

ＰＶＣ１６０９两个合约具有很强大的关联眭，相关系数显著性检验中的ｔ　

的５％一１０％。与结果相比，中国目前的套利组合保证金比风险水　

平更高。作为套利交易的主要交易成本之一，套利组合保证金过　

统计量为７０．１０６２，自由度为１６５，对应的Ｐ值趋近于０，说明两个合　

约之间的相关性非常显著。　

表２　ＰＶＣ日收益率基苯统计　

高，在一定程度上会影响期货套利合约的合理价差。　

四、展望　

Ｃｏｐｕｌａ函数由于其本身特有的性质，在很多领域上都会有　

墨　—ｌ　．　Ｊ　Ｉ　＿Ｐ　盟垦　旦　！　里　－＿＝　．Ｕ　ｌ　

！§Ｑ２｛　：ＱＱ　§ｌ　：　！　Ｌ二Ｑ：竖蝗ｌ　Ｑ：Ｑ！！１２　Ｌ＝Ｑ：§　！ｌ　：　１１　Ｊ　Ｑ：Ｑ坚　ｌ　

ｌ二　三　

很多重要的运用，利用Ｃｏｐｕｌａ函数来研究问题有很多优点：　

（一）Ｃｏｐｕｌａ函数可使用于多元分布。　

表２列出了不同期货合约的收益率及其是否服从正态分布的统　

计数据，从收益率的统计特征看，期货合约的收益率接近于正态分布　

的偏度０及峰度３，显著水平Ｐ值接近零，可以接受每个期货合约收　

益率序列对数正态分布的假设。　

根据选定的阈值，进行极大似然估计处理和尾部的拟合，得到以　

下参数：　

表３期货合约收益序列模型参数估计　

合约　

上尾部　

ＰＶＣ１６０８　一０．０２５　０　—０．３３１７　０．０１２１　

（二）由于严格单调递增变换，Ｃｏｐｕｌａ函数所获得的一致性　

和相关特性不会改变，因此其应用范围和实用性将更加广泛。　

（三）在Ｃｏｐｕｌａ理论的实际应用中，边缘分布的选择不受限　

制，如果变量单调递增，Ｃｏｐｕｌａ函数的一致性和相关性的估计值　

不会改变。　

（四）Ｃｏｐｕｌａ函数模型可以捕捉变量之间的特殊关系，如非线　

性、非对称和尾部结构，这是一个非线性函数，更符合实际情况。　

在应用Ｃｏｐｕｌａ函数时，主要的难点是选择哪种函数形式，在　

选择Ｃｏｐｕｌａ函数时，要考虑的是实际数据所显示的尾部相关性，　

并根据这些实际期货数据，选择与之相适应的Ｃｏｐｕｌａ函数。因　

阈值　差　Ｂ　

０．０１５１　ＰＶＣ１６０８　０．Ｏ２３０　—０．４７７　３　

下尾部　

ＰＶＣ１　６Ｏ９　０．Ｏ２３０　－０．４３５６　０．０１　５０　

此，研究Ｃｏｐｕｌａ函数的性质对于其应用具有重要意义，对其定　

义、性质和应用需要进行深入的研究，并应用它去解决更多实际　

问题。　（下转第９６页）　

上尾部　

ＰＶＣＩ６０９　一０．０２５０　—０．３４　５　３　０．０１２６　

下尾部　

一

９２一　

四、实例分析　

表２计算器结果　

现对一个贷款实例进行分析：某参加工作不久的公务员计　

划贷款５Ｏ万元购买一套房子，打算用２０年的时间还清贷款。目　

前，银行的贷款利率是０．６／月。即ｘ０＝５０（万元），ｒ＝０．００６。若采用　

等额递增（减）还款法来偿还贷款时，分为四期还款，每一相邻时　

间段的差额为４００元。若采用等比递增还款法或等比递减还款　

法时，等比系数分别取１．２５和０．２５。　

将表ｌ和表２中的数据进行对比发现，由于计算结果与有效位　

数有关，各数据误差仅在小数点后出现。这说明模型建立合理，计算　

结果可靠。　

六、结论　

现将以上数据分别带入模型一至模型四，计算并整理出在　

不同还款方式下的数据，如下表Ｉ：　

表１模型计算结果　

等额本息　３９３６　７５　３９３６．７５　

还款法　

通过匕述模型分析与实例分析，六种还贷方式的不同之处已经　

跃然纸上，最后对不同还贷方式的牦　和适合人群进行总结。　

等额本息还款法是最为普遍、最被银行所推荐的贷款方式，也　

４４４８２０　

３６　Ｌ５００　

９４４８２０　

８６ｔ５００　

因其操作较简单，方便安排收支，而成为多数贷款人的选择。这种方　

法适用于收入处于稳定状态的家庭。例如贷款＾　事教师或公务员　

等职业。但由于利息不会随着还贷期数增加而减少，采用这种方法　

的总还款利息高。　

等额本金还款法相比等额本息还款法的总还款利息较低，初期　

本金较大，利息较高，使得初期月还款额大，贷方还款压力重，但随　

着时间推移，还款本金减少，每月所还利息也将减少，还款压力也会　

等额本金　５０８３　２０９６　

还款法　

等额递增　３５０９．９７　４７０９．９７　４８６３９Ｌ　６　９８６３９１．６　

还款法　

（ｄ￣－４０　ｏ】　

等额递减　４３６３．５２８　３１５３．５２８　４０３２４６．７２　９０３２４６．７２　

还款法　

（ｄ一４００）　

等比递增　３　Ｄｌ３．９６　５８８６．６４　５４２６４１．６　Ｌ０４２６４１．６　

还款法　

（Ｑ＝Ｉ．２５）　

等比递减　６５７１．６５６　８２Ｌ　４５７　２３９３Ｕ．３　７３９３ｌ１．３　

还款法　

（ｔｌ＝０　５）　

随之减轻。因此，认为等额本金还款法适合目前有一定积蓄，预期收　

为更直观地反映六种还贷方式的利息方面的差异，将表１　

中的总还款利息绘制成图１：　

人会减少的人群。例如准备或即将退休的中年人。　

等额递增和等额递减还款法则将还款年限进行了分割，且在每　

个时间段中的还款方式等同于等额本息还款法。不同于等额本息还　

款法之处在于，后一时间段内的每期还款额相对前一期有一个固定　

增加额或减少额，而同一时间段内的每期还款额相等。等额增加还　

款法适合目前还款能力弱，但预期收入会增加。例如刚参加工作的、　

职场晋升空间大的年轻人。等额减少还款法则适用于目前经济状况　

好，但预期收入会减少的贷款人。　

等比递增还款法和等比递减还款法也将还款年限分割成若干　

图１总还款利息柱形图　

时间段，与等额递增（减）还款法不同之处在于，相邻时间段的还款　

额呈倍数递增。这种方法适用于预期收入会大幅增加或减少的贷款　

人群。　

通过数据和图形可以比较得到，等比递增还款法在还贷前　

期负担最小，但总利息支付最多，适用于预期收入会大幅增加　

的贷款者。等比递减还款法在还贷后期负担最小，且总利息支　

付也最少，适合预期收入剧减的贷款者。因为等比递增和等比　

递减还款法前后波动幅度大，不建议收入稳定者选择。若该公　

参考文献：　

［１］李燕娥．个人住房抵押贷款的还款方式比较研究Ⅱ】．上海应用技术　

学院学报（自然科学版），２０１０，１０（４）：３２５—３２７．　

【２］邵磊，陈永红．浅析个人住房贷款还款方式Ⅱ】．中国房地产金融，　

２００４，（０１）：３３—３６．　

务员希望按照“还款总额最少”准则，则应选择等额本金还贷　

法；若实现“操作简便，方便安排收支”准则，则应选择等额本息　

还贷法。又考虑到公务员是一个工资相对稳定的职业，且其参　

加工作不久，积蓄有限，推荐选择等额本息还款法或等额递增还　

款法进行还贷。　

五、模型检验　

作者简介：　

唐静媛，女，湖南衡阳人，湖南农业大学理学院学生，研究方向：统　

计；　

使用还贷计算器对模型计算的结果进行验证。得到下表２：　

沈陆明，男，湖南邵阳人，湖南农业大学理学院教授，博士，研究方　

向：分形几何及应用。　

（上第９２页）　

『４１陈荣达，王韬，肖德云．基于多元ｔ分布的外汇期权市场风险　

非线性ｖａ　Ｒ度量模型Ｕ１．管理工程学，２００６，２０（１）：５９—６５．　

『５１韩广哲，陈守东．统计套利模型研究——基于上证５０指数成　

分股的检验Ｕ１＿数理统计于管理，２００７，２６（５）：９０８—９１６．　

作者简介：　

参考文献：　

【１］Ｎｅｌｓｅｎ　ＲＢ．Ａｎ　Ｉｎｔｒｏｄｕｃｔｉｏｎ　ｔｏ　Ｃｏｐｕｌａｓ［Ｍ】．Ｎｅｗ　Ｙｏｒｋ：　

Ｓｐｒｉｎｇｅｒ，２００６．　

［２］ＳｈａｏＪ．Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ　Ｓｔａｉｔｓｉｔｃｓ［Ｍ］．Ｎｅｗ　Ｙｏｒｋ：Ｓｐｒｉｎｇｅｒ，１９９９．　

【３】唐平，陈华．高新技术中小企业私募融资探讨卟重庆工商大学　

学报，２００３，（Ｏ４）．　

一

杨柳，女，山东济宁人，硕士研究生，现就读于山东科技大学，专　

业：运筹学与控制论，研究方向：统计与保险精算。　

９６一