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2024年4月16日发(作者：h5在线)
field 数体 数域
1.域（Fields）
在抽象代数中，“域”是一种可在其上进行加、减、乘和除运算
而结果不会超自身的集合（代数结构），其概念是数域以及四则运算
的推广。域是环的一种，其区别在于域要求它的元素可以进行除法
运算，这等价于每个非零的元素都要有乘法逆元；同时，域中元素
关于乘法是可交换的。一句话，域是乘法可交换的除环。即：
1.若数集P中任意两数作某一运算的结果仍在P中，则称P对
这个运算是封闭的。
2.数域的等价定义：如果一个包含0、1在内的数集P，对于
加、减、乘、除（除数不为0）是封闭的，则称P为一个数域。
常见数域：复数域C；实数域R；有理数域Q（注意：自然数集
N及整数集Z都不是数域，因为部分除法运算不是封闭的）。
2.有限域（伽罗华域GaloisFields）：仅含有限个元素的数域
①有限域定义
若域F只包含有限个元素，则称其为“有限域”，又称“伽罗华
域”（由伽罗瓦(Galois.E)于18世纪30年代研究代数方程根式求解
问题时引出的）。有限域在近代编码、计算机理论、组合数学等各方
面有着广泛的应用。
有限域中元素的个数称为有限域的“阶”。阶必为素数的幂（如
何证明？），可表示为p^n（p是素数、n∈Z+），这个素数P就是该
有限域的“特征数”，通常用GF(p
ⁿ
)表示p
ⁿ
元的有限域。尽管存在
有无限个元素的无限域，但只有有限域在密码编码学中得到了广泛
的应用。元素个数相同的有限域是同构的。GF(p
ⁿ
)的乘法群是(p
ⁿ
-
1)阶的循环群。
在密码学中，最常用的域是阶为p的素数域GF（p）或阶为2^n
的GF(2^n)域。当n=1时，存在有限域GF（p），也称为“素数域”。
GF(p)就是modp，因为一个数模p后，结果在[0，p-1]之间，即该
域中有p个元素；对于元素a和b，则(a+b)modp和(a*b)modp，其
结果都是域中的元素；GF(p)里面的加法和乘法都是平时用的加法和
乘法，GF(p)的加法和乘法单位元分别是0和1。
为什么p一定要是一个素数呢？这是因为当p为素数时，才能
保证集合中的所有元素都有加法和乘法逆元(0除外)。假如p等于
10，尽管所有元素都有加法逆元，但乘法不行，如元素2，因为找
不到一个数a，使得2*amod10等于1；若p为素数，那么它就能保
证域中的所有元素都有逆元。利用反证法和余数的定义即可证明。
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