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2024年4月16日发(作者：汇编lcall)
《计量经济学》数学基础
数学基础 (Mathematics)
第一节 矩阵(Matrix)及其二次型(Quadratic Forms)
第二节 分布函数(Distribution Function)，数学期望(Expectation)及方差(Variance)
第三节 数理统计（Mathematical Statistics）
第一节 矩阵及其二次型(Matrix and its Quadratic Forms)
1.1 矩阵的基本概念与运算
一个m×n矩阵可表示为：
a
11
a
A[a
ij
]
21
a
m1
a
12
a
1n
a
22
a
2n
v
a
m2
a
mn
矩阵的加法较为简单，若C=A+B，c
ij
=a
ij
+b
ij
但矩阵的乘法的定义比较特殊，若A是一个m×n
1
的矩阵，B是一个n
1
×n的矩阵，
则C=AB是一个m×n的矩阵，而且
c
ij
a
ik
b
kj
，一般来讲，AB≠BA，但如下运算是成
k1
n
立的：
结合律（Associative Law） (AB)C=A（BC）
分配律（Distributive Law） A(B+C)=AB+AC
问题：(A+B)
2
=A
2
+2AB+B
2
是否成立？
向量（Vector）是一个有序的数组，既可以按行，也可以按列排列。 行向量(row v
ector)是只有一行的向量，列向量(column vector)只有一列的向量。
如果α是一个标量，则αA=[αa
ij
]。
矩阵
A
的转置矩阵(transpose matrix)记为
A
，是通过把
A
的行向量变成相应的列向
量而得到。
显然(
A
)′=
A
，而且（
A
+
B
）′=
A
+
B
，
乘积的转置（Transpose of production ）
(AB)
B
A
，
(ABC)
C
B
A
。
可逆矩阵（inverse matrix），如果n级方阵(square matrix)A和B，满足AB=BA=I。
1
则称A、B是可逆矩阵，显然
AB
1
，
BA
1
。如下结果是成立的：
(A
1
)
1
A(A
1
)
(A
)
1
(AB)
1
B
1
A
1
。
1.2 特殊矩阵
1）恒等矩阵(identity matrix)
对角线上元素全为1，其余全为0，可记为I；
2）标量矩阵(scalar matrix)
即形如αI的矩阵，其中α是标量；
3）幂等矩阵(idempotent matrix)
如果矩阵
A
具有性质
AAA
2
A
，这样的矩阵称为幂等矩阵。
定理：幂等矩阵的特征根要么是1，要么是零。
4）正定矩阵（positive definite）和负定矩阵（negative definite），非负定矩阵(nonnegative )
或 半正定矩阵（positive semi-definite ），非正定矩阵(nonpositive definite) 或 半负定
矩阵（negative semi-definite）；
对于任意的非零向量
x
，如有
x
Ax
＞0（＜0），则称A是正（负）定矩阵；如有
x
Ax
≥0
（≤0），非负（非正）定矩阵。如果A是非负定的，则记为A≥0；如果是正定的，则记
为A＞0。协方差矩阵
是半正定矩阵，几个结论：
a）恒等矩阵或单位矩阵是正定的；
b）如果
A
是正定的，则
A
1
也是正定的；
c）如果
A
是正定的，
B
是可逆矩阵，则
B
AB
是正定的；
d）如果
A
是一个n×m矩阵，且n＞m，
r(A)m
，则
A
A
是正定的，
AA
是非负定矩
阵。
5）对称矩阵（symmetric matrix）；
如果
A
=
A
′，则
A
称为对称矩阵。
1.3 矩阵的迹（trace）
一个n×n矩阵的迹被定义为它的对角线上的元素之和，记为
tr(A)
，则
tr(A)
a
ii
，
i1
n
如下结论是显然的。
2
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