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2024年4月16日发(作者：arraylist获取元素)
..
向量的坐标表示及其运算
【知识概要】
1. 向量及其表示
1）向量：我们把既有大小又有方向的量叫向量（向量可以用一个小写英文字母上面加箭头
来表示，如
a
读作向量
a
，向量也可以用两个大写字母上面加箭头来表示，如
AB
，表示由
A
到
B
的向量.
A
为向量的起点，
B
为向量的终点）.向量
AB
（或
a
）的大小叫做向量的模，记作
AB
（或
a
）.
注：① 既有方向又有大小的量叫做向量，只有大小没有方向的量叫做标量，向量与标量是
两种不同的量，要加以区别；
② 长度为0的向量叫零向量，记作
00
的方向是任意的 注意
0
与0的区别
③ 长度为1个单位长度的向量，叫单位向量.
说明：零向量、单位向量的定义都是只限制大小，不确定方向.
例1 下列各量中不是向量的是（ D
A.浮力 B.风速 C.位移 D.密度
例2 下列说法中错误的是（ A ）
．．
A.零向量是没有方向的
B
.零向量的长度为0
C. D.
例3 把平面上一切单位向量的始点放在同一点,那么这些向量的终点所构成的图形是
（ D ）
A.
B
. C. D.
2）向量坐标的有关概念
① 基本单位向量: 在平面直角坐标系中，方向分别与
x
轴和
y
轴正方向相同的两个单位
向量叫做基本单位，记为
i
和
j
.
② 将向量
a
的起点置于坐标原点
O
，作
OAa
，则
OA
叫做位置向量，如果点
A
的坐
标为
(x,y)
，它在
x
轴和
y
轴上的投影分别为
M,N
，则
OAOMON,aOAxiyj.
..
③ 向量的正交分解
在②中，向量
OA
能表示成两个相互垂直的向量
i
、
j
分别
乘上实数
x,y
后组成的和式，该和式称为
i
、
j
的线性组合，这
种向量的表示方法叫做向量的正交分解，把有序的实数对
(x,y)
叫做向量
a
的坐标，记为
a
=
(x,y)
.
一般地，对于以点
P
1
(x
1
,y
1
)
为起点，点
P
2
(x
2
,y
2
)
为终点的向量
PP
12
，容易推得
(x
2
x
1
,y
2
y
1
)
叫做
PP
PP
12
12
(x
2
x
1
)i(y
2
y
1
)j
，于是相应地就可以把有序实数对
(x
2
x
1
,y
2
y
1
)
. 的坐标，记作
PP
12
=
3）向量的坐标运算：
a(x
1
,y
1
),b(x
2
,y
2
)
，
R
则
ab(x
1
x
2
,y
1
y
2
);ab(x
1
x
2
,y
1
y
2
);
a(
x
1
,
x
2
)
.
4） 向量的模：设
a(x,y)
，由两点间距离公式，可求得向量
a
的模
(norm)
.
ax
2
y
2
.
注：① 向量的大小可以用向量的模来表示，即用向量的起点与终点间的距离来表示；
② 向量的模是个标量，并且是一个非负实数.
例4 已知点
A
的坐标为
(2,0)
，点
B
的坐标为
(3,0)
，且
AP4,BP3
，求点
P
的
坐标.
解：点
P
的坐标为
(,
612612
)
或
(,)
.
5555
例5 已知
2ab(4,3),a2b(3,4)
，求
a
、
b
的坐标.
解：
a(1,2),b(2,1)
例6 设向量
a,b,c,
,
R
，化简：
（1）
(
abc)
(
abc)(
)(bc)
；
（2）
2(
a
b
c)
(2
a2b)2
c
.
解：都为
0
.
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