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2024年4月22日发(作者：css盒模型的属性包括)

三对角行列式计算公式推导

三对角矩阵指的是只有主对角线和相邻的次对角线和超过它们一

格的次对角线上有非零元素的方阵。计算这种矩阵的行列式有一个特

别简单的公式，即Cramer公式的变形：

$$|A|=prod_{i=1}^n a_i,$$

其中$a_1, a_n$ 为矩阵 $A$ 的主对角线元素，$a_i, a_{i-

1}$ 和 $a_{i+1}$ 分别为它的第 $i$ 个、第 $i-1$ 个、第

$i+1$ 个次对角线上的元素。

我们可以采用数学归纳法来证明这个公式。如果 $n=1$，那么

$|A|=a_1$，这满足公式。如果 $n=2$，那么 $|A|$ 的表达式可以用

主对角线元素和第 $1$ 个次对角线元素表示，即：

$$|A|=left|begin{matrix}a_1 & a_2 a_3 &

a_4end{matrix}right|=a_1a_4-a_2a_3.$$

根据公式可知，$|A|=a_1a_4-a_2a_3$，这满足公式。假设

$n=k$ 时公式成立，考虑 $n=k+1$ 的情况，即：

$$|A|=left|begin{matrix}

a_1 & a_2 & & &

a_3 & a_4 & ddots & &

& ddots & ddots & ddots &

& & ddots & a_{n-1} & a_n

& & & a_{n+1} & a_{n+2}

end{matrix}right|.$$

将矩阵 $A$ 按行 $n$ 进行展开，可得：

$$|A|=a_{n+1}left|begin{matrix}

a_1 & a_2 & & &

a_3 & a_4 & ddots & &

& ddots & ddots & ddots &

& & ddots & a_{n-1} & a_n

a_1/a_{n+1} & a_2/a_{n+1} & cdots & a_{n-1}/a_{n+1} & 1

end{matrix}right|-a_nleft|begin{matrix}

a_1 & a_2 & & &

a_3 & a_4 & ddots & &

& ddots & ddots & ddots &

& & ddots & a_{n-1} & a_{n+1}

a_1/a_n & a_2/a_n & cdots & 1 & a_{n+1}/a_n

end{matrix}right|.$$

根据归纳假设，我们有：

$$|A|=a_{n+1}prod_{i=1}^{n} a_i-a_nprod_{i=1}^{n-1}

a_i,$$

可见这满足公式。因此，我们证明了对于所有的 $n$，都有对三

对角矩阵 $A$ 的行列式计算公式成立。


本文标签： 公式 对角线 元素 行列式

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