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数学中的特殊数字
作者：李国庆 王凤霞
来源：《教育教学论坛》2013年第46期
摘要：本文主要介绍数学中一些常见的具有特殊意义的数字，介绍它们的历史起
源，并总结对这些特殊数字的研究历程中的阶段性成果，分析它们的特殊意义及价值。
关键词：特殊数字；零；圆周率；自然常数；无穷大；虚数；质数；完全数
中图分类号：G642.1 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2013）46-0125-
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一、零0
数字“0”，可以表示“没有”，也可以在数中起占位作用，更可以用来表示界
限。它既不是正数也不是负数，而是正数和负数之间的一个数。历史上，使用符号表示
“虚无”已经有几千年的历史。公元前700年开始，巴比伦人在他们的数字系中使用零
作为占位符。玛雅文明（如今的墨西哥）已经以各种形式使用“O”。墨西哥中南部奥尔
梅克文明晚期的人民已在新大陆上开始使用真正的零，其时间可能是在公元前4世纪，但
较肯定的是在公元前40年，它变成了玛雅数字和玛雅历法的一部分。公元130年时，被
喜帕恰斯和巴比伦人在六十进位制里使用了零的符号所影响。公元525年，零被使用在
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以罗马数字编制的表格上。在7世纪，公元628年，印度数学家婆罗摩笈多将“0”作为
一个“数字”对待，而不仅仅是一个占位符，并且制定了与其他数字的运算法则，建立了
一套使用规则，并讨论包含零的运算，包括除法。包含了“O”的印度—阿拉伯数字系统
最早是由比萨的斐波那契于1202年在他的Liber Abaci（《计算之书》）中发表的，他
在印度—阿拉伯数字系统1-9中加入了一个新的符号“0”，随后在西方推广开来，并在
印度—阿拉伯用于四则运算的教学中。
二、圆周率π
圆周率π或者pi，是圆周的周长和它的直径的比值。它的值，不取决于圆周的大
小，无论圆周是大是小，π的值都是恒定不变的。π产生于圆周，但是在数学中它却无处
不在，比如概率论、流体力学、光学、甚至量子理论中。人们在古时候就对圆周周长和直
径的比值产生了浓厚的兴趣。在公元前2000年左右，巴比伦人发现了周长大约是直径的
3倍。公元250年阿基米德给出此比值的近似值为22/7。公元1706年，威尔士数学家
威廉·琼斯引入了符号π。18世纪著名物理学家和数学家欧拉在圆周率的使用中将π推广
开来。我们无法知道π的精确数值，因为它是一个无理数，这一点被约翰·兰伯特于1761
年证明。德国数学家林德曼在1882年证明了π是“超越”的，即π不可能是代数方程
（一个仅含有x的指数项的方程）的解。通过解决这个“千古之谜”，林德曼给出了“变
圆为方”这一问题的结论，此问题为：给定一个圆，如何利用一对圆规和直尺构造一个和
它面积一样的正方形。林德曼最后证明这是不可能做到的。
三、自然常数e
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e是一个近似值为2.71828的数，是自然对数函数的底数。和π一样，e也是一
个无理数，因此，我们也无法知道它的精确数值。e主要出现在涉及增长的地方。公元
1618年约翰·皮内尔找到了涉及对数的常数e。1727年欧拉在对数理论中使用了符号e，
因此它有时也被称为欧拉数。欧拉在1737年证明了e是无理数（而不是分数）。1748
年欧拉将e计算到了小数点后23位；大概在同一时候，他发现了著名的欧拉公式
eiπ+1=0。1840年，法国数学家刘维尔证明了e不是任何2次方程的解，而在1873
年，他的同胞埃尔米特，开创性地证明了e是超越的（不是任何代数方程的解）。
四、无穷大∞
无穷大是多大？简单地说，∞（表示无穷大的符号）非常大。想象一条由数字排成
的直线，随着数字不断增大，直线一直延伸下去，直至“消失在无穷”。事实上，无穷大
并不是一个普通意义上的数。1639年德扎格在几何学中引入了无穷的概念。1655年约
翰·沃利斯是第一个使用“同心结”符号∞表示无穷的人。1874年康托尔非常严谨地对待
无穷，他具体说明了不同阶的无穷，说明无穷大也分大小。
五、虚数
虚数理论开始于-1的平方根。那么，什么数平方后可以得到-1呢？如果仅限于实
数轴，我们将永远找不到-1的平方根，因为任何实数的平方都是非负的。大胆接受“-1
的平方根”作为一个新的实体（表示为i），这是数学史上非常重要的一步，大约发生在
19世纪初。实数和虚数统称为复数。从此以后进入了一个全新的二维数平面。公元1572
年拉斐罗·帮别利在计算中使用了虚数。1777年欧拉第一次使用符号i来表示-1的平方
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根。1806年阿冈对复数的图表表示法被称为阿冈图。1811年高斯对复数变量的函数进
行了研究。1837年哈密顿将复数看作是有序的实数对。
六、质数
质数，也称为素数，是只可被1和它自身所整除的自然数。欧几里得在他的《几
何原本》（第9卷，命题20）中陈述到：“素数的个数要超过任何一个我们可以指定的
数。”但是，在整数序列中质数的出现并没有规律可循。公元前300年欧几里得在《几
何原本》中给出了有无穷多个质数的证明。公元前230年埃拉托色尼描述了一种从所有
整数中筛出质数的方法。1742年哥德巴赫猜测所有大于2的偶数都可表述为两个质数的
和。1896年关于质数分布的质数定理被证明。1966年中国著名数学家陈景润几乎证实
了哥德巴赫猜想。
七、完全数
完全数，又称完美数或完备数，是一些特殊的自然数。它所有的真因子（即除了
自身以外的约数）的和，恰好等于它本身。比如6，其因子之和1+2+3=6。公元前525
年毕达哥斯拉学派的研究涉及了完全数和过剩数。公元前300年欧几里得在《几何原
本》第9卷中讨论了完全数，给出了完全数的数学性质。而400年后，公元100年尼克
马修斯对其进行了更加深入的研究，基于完全数将数进行了分类。一个数的因子之和大于
它本身就称为盈数，一个数称为亏数则是它的因子之和小于它本身，一个既不是盈数也不
是亏数的数便是完全数。第一个完全数是6，其因子之和1+2+3=6。第二个是28，它的
真因子1，2，4，7以及14加起来得28。前两个完全数，6和28，在完全数中有着至
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关重要的地位，因为可以证明所有的偶数完全数都以6或28结尾。第三个是496，第四
个是8128。第五个完全数就要大得多，是33550336，这个完全数直到十五世纪才由一
位无名氏给出。1603年，皮特罗·卡塔尔迪找到了位数高达十位的第6个完全数和位数高
达十二位的第7个完全数。一直到现在，即便有了计算机辅助，但人们仍不知道是否有一
个最大的，或者说是否会有无穷多个完全数。寻找更大完全数的工作仍在进行中。
浩渺的数字家族中，具有特殊意义的数字并不只有以上七种。还有更多具有特殊
意义和特殊性质的数字，期待着数学爱好者们去探究和追寻。
参考文献：
[1][英]克里利，著.你不可不知的50个数学知识[M].王悦，译.人民邮电出版社，
2010年9月第1版.
[2]陈仁政.不可思议的e[M].北京：科学出版社，2005.
[3]陈仁政.说不尽的π[M].北京：科学出版社，2005.
[4]阿西莫夫，著.数的趣谈[M].洪丕柱，等，译.上海科学技术出版社出版，1980.
基金项目：2012年辽宁省大学生创新创业训练计划项目（项目编号：
2）
作者简介：李国庆（1990-），男，辽宁大连？摇大连大学信息工程学院本科生。
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通讯作者：王凤霞（1980-），女，辽宁大连？摇大连大学信息工程学院讲师。
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