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2024年6月1日发(作者：ibatis传入参数list)
快速傅里叶变换的原理
一、前言
快速傅里叶变换（FFT）是一种高效的计算傅里叶变换的方法，它的应
用广泛，如信号处理、图像处理、数值分析等领域。本文将详细介绍
快速傅里叶变换的原理。
二、傅里叶变换
在介绍快速傅里叶变换之前，我们需要先了解傅里叶变换。傅里叶变
换是将一个信号在时域上的函数转化为在频域上的函数，它可以将信
号分解成不同频率的正弦波和余弦波组成的谱。
具体来说，对于一个连续时间函数f(t)，它的傅里叶变换F(ω)定义为：
F(ω) = ∫f(t)e^(-jωt)dt
其中，j为虚数单位，ω为角频率。
对于一个离散时间函数f(n)，它的傅里叶变换F(k)定义为：
F(k) = Σf(n)e^(-j2πkn/N)
其中，N为采样点数。
三、暴力计算傅里叶变换
直接使用定义式计算离散时间信号的傅里叶变换需要进行N^2次复杂
度的计算，这种方法被称为暴力计算。当N很大时，计算量会非常大，
因此需要寻找更高效的算法。
四、快速傅里叶变换
快速傅里叶变换是一种高效的计算离散时间信号的傅里叶变换的方法。
它的基本思想是将一个长度为N的离散时间信号分解成两个长度为
N/2的子信号，然后递归地对子信号进行FFT计算，最终将两个子信
号合并成一个长度为N的信号。
具体来说，假设我们要计算一个长度为N的离散时间信号f(n)的FFT
变换F(k)，其中k=0,1,2,...,N-1。我们可以将f(n)分解成两个长度为
N/2的子信号：
f_even(n) = f(2n)
f_odd(n) = f(2n+1)
然后对f_even(n)和f_odd(n)分别进行FFT计算：
F_even(k) = FFT(f_even(n))
F_odd(k) = FFT(f_odd(n))
最后将F_even(k)和F_odd(k)合并成F(k)，其中：
F(k) = F_even(k) + e^(-j2πk/N)*F_odd(k)
F((k+N/2)%N) = F_even(k) - e^(-j2πk/N)*F_odd(k)
其中，e^(-j2πk/N)*F_odd(k)被称为旋转因子。
这样，我们就完成了一个长度为N的离散时间信号的FFT计算。由于
每次FFT计算都将信号长度减半，因此总共需要进行log2(N)次递归
计算，每次计算的复杂度为O(N)，因此FFT的总复杂度为
O(Nlog2(N))。
五、快速傅里叶变换实现
快速傅里叶变换有多种实现方式，其中最常用的是基于蝴蝶运算的
Cooley-Tukey算法。该算法将FFT计算转化为一系列蝴蝶运算，每
个蝴蝶运算包括两个输入和两个输出，分别满足以下关系：
y1 = x1 + x2*e^(-j2πk/N)
y2 = x1 - x2*e^(-j2πk/N)
其中x1和x2是输入数据，y1和y2是输出数据。
在Cooley-Tukey算法中，输入数据首先按照位逆序排列，然后进行
一系列蝴蝶运算。具体来说，在第i级迭代中（i从0到log2(N)-1），
将输入数据分成2^i组，每组包含N/2^i个元素。对于每组数据进行
蝴蝶运算后得到输出数据，并作为下一级迭代的输入数据。最终得到
输出数据即为FFT变换结果。
六、总结
快速傅里叶变换是一种高效的计算离散时间信号傅里叶变换的方法，
它可以将计算复杂度从O(N^2)降低到O(Nlog2(N))。FFT的实现方
式有多种，其中基于蝴蝶运算的Cooley-Tukey算法是最常用的实现
方式。
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