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2线性子空间
线性子空间
- 1.线性子空间的定义及性质
- 1.1定义
- 1.2性质
- 1.2.1 V V V中o元素也是 V 1 V_1 V1中的o元素
- 1.2.2 V 1 V_1 V1中的负元素仍在 V 1 V_1 V1中
- 1.3分类
- 1.4生成子空间
- 1.5基扩定理
- 2.子空间的交与和
- 2.1定义
- 2.2性质
- 2.3维数性质
- 3.子空间的直和
- 3.1定义
- 3.2定理
1.线性子空间的定义及性质
1.1定义
如果 V 1 V_1 V1中的元素满足： i f x , y ∈ V 1 , x + y ∈ V 1 if\ x,y\in V_1,x+y\in V_1 if x,y∈V1,x+y∈V1 i f x ∈ V 1 , k x ∈ V 1 if \ x\in V_1,kx\in V_1 if x∈V1,kx∈V1我们称 V 1 V_1 V1是 V V V的一个线性子空间。
1.2性质
1.2.1 V V V中o元素也是 V 1 V_1 V1中的o元素
证明：设 x ∈ V 1 ⊂ V x\in V_1\sub V x∈V1⊂V,那么 0 x = o 0x=o 0x=o,可知x既是 V V V中的o元素，也是 V 1 V_1 V1中的o元素
1.2.2 V 1 V_1 V1中的负元素仍在 V 1 V_1 V1中
证明： ( − x ) = ( − 1 ) x ∈ V 1 (-x)=(-1)x\in V_1 (−x)=(−1)x∈V1
1.3分类
{ 0 } , V \{0\},V {0},V称为平凡子空间，其余称为非平凡子空间
1.4生成子空间
设 x 1 , x 2 , . . . x n x_1,x_2,...x_n x1,x2,...xn为 V V V中的元素，他们所有线性组合生成的子空间 ∑ i = 1 n c i x i \sum_{i=1}^{n}c_ix_i ∑i=1ncixi称为由 x 1 , x 2 , . . . x n x_1,x_2,...x_n x1,x2,...xn张成的子空间，称为 L ( x 1 , x 2 , . . . x n ) L(x_1,x_2,...x_n) L(x1,x2,...xn)或者 s p a n ( x 1 , x 2 , . . . x n ) span(x_1,x_2,...x_n) span(x1,x2,...xn)，若 x 1 , x 2 , . . . x n x_1,x_2,...x_n x1,x2,...xn线性无关，则 d i m { x 1 , x 2 , . . . x n } = n dim\{x_1,x_2,...x_n\}=n dim{x1,x2,...xn}=n
1.5基扩定理
设 V 1 V_1 V1是 V n V^n Vn的一个子空间， x 1 , x 2 , . . . x m x_1,x_2,...x_m x1,x2,...xm是 V 1 V_1 V1的一组基，则必然能找到其余 n − m n-m n−m个元素 x m + 1 , x m + 2 , . . . x n x_{m+1},x_{m+2},...x_n xm+1,xm+2,...xn，使得 x 1 , x 2 , . . . x n x_1,x_2,...x_n x1,x2,...xn为 V n V^n Vn的一组基，且这 n − m n-m n−m个元素必然不在 V 1 V_1 V1中
2.子空间的交与和
2.1定义
设 V 1 . V 2 V_1.V_2 V1.V2是 V V V的两个子空间，子空间的交 V 1 ⋂ V 2 V_1\bigcap V_2 V1⋂V2我们定义为 { x ∣ x ∈ V 1 , x ∈ V 2 } , \{x|x\in V_1,x\in V_2\}, {x∣x∈V1,x∈V2},子空间的和 V 1 + V 2 V_1+V_2 V1+V2我们定义为 { x + y ∣ x ∈ V 1 , y ∈ V 2 } . \{x+y|x\in V_1,y\in V_2\}. {x+y∣x∈V1,y∈V2}.
2.2性质
V 1 ⋂ V 2 , V 1 + V 2 V_1\bigcap V_2,V_1+V_2 V1⋂V2,V1+V2仍是 V V V的子空间。
证明：
x 1 , x 2 ∈ V 1 ⋂ V 2 x_1,x_2\in V_1\bigcap V_2 x1,x2∈V1⋂V2 x 1 + x 2 ∈ V 1 , x 1 + x 2 ∈ V 2 ( 子 空 间 的 封 闭 性 ) x_1+x_2\in V_1,x_1+x_2\in V_2(子空间的封闭性) x1+x2∈V1,x1+x2∈V2(子空间的封闭性) ∴ x 1 + x 2 ∈ V 1 ⋂ V 2 \therefore x_1+x_2\in V_1\bigcap V_2 ∴x1+x2∈V1⋂V2 k x 1 ∈ V 1 , k x 1 ∈ V 2 ( 子 空 间 的 封 闭 性 ) kx_1\in V_1,kx_1\in V_2(子空间的封闭性) kx1∈V1,kx1∈V2(子空间的封闭性) ∴ k x 1 ∈ V 1 ⋂ V 2 \therefore kx_1\in V_1\bigcap V_2 ∴kx1∈V1⋂V2 ∴ V 1 ⋂ V 2 是 V 的 子 空 间 \therefore V_1\bigcap V_2是V的子空间 ∴V1⋂V2是V的子空间接下来证明 V 1 + V 2 V_1+V_2 V1+V2是 V V V的子空间 x 1 , x 2 ∈ V 1 , y 1 , y 2 ∈ V 2 x_1,x_2\in V_1,y_1,y_2\in V_2 x1,x2∈V1,y1,y2∈V2 x 1 + y 1 ∈ V 1 + V 2 , x 2 + y 2 ∈ V 1 + V 2 x_1+y_1\in V_1+V_2,x_2+y_2\in V_1+V_2 x1+y1∈V1+V2,x2+y2∈V1+V2 x 1 + x 2 ∈ V 1 , y 1 + y 2 ∈ V 2 x_1+x_2\in V_1,y_1+y_2\in V_2 x1+x2∈V1,y1+y2∈V2 ( x 1 + y 1 ) + ( x 2 + y 2 ) = ( x 1 + x 2 ) + ( y 1 + y 2 ) ∈ V 1 + V 2 (x_1+y_1)+(x_2+y_2)=(x_1+x_2)+(y_1+y_2)\in V_1+V_2 (x1+y1)+(x2+y2)=(x1+x2)+(y1+y2)∈V1+V2 k ( x 1 + x 2 ) = k x 1 + k x 2 ∈ V 1 + V 2 k(x_1+x_2)=kx_1+kx_2\in V_1+V_2 k(x1+x2)=kx1+kx2∈V1+V2mark,这一步忘了 ∴ V 1 + V 2 是 V 的 子 空 间 \therefore V_1+V_2是V的子空间 ∴V1+V2是V的子空间
2.3维数性质
d i m ( V 1 ) + d i m ( V 2 ) = d i m ( V 1 + V 2 ) + d i m ( V 1 ⋂ V 2 ) dim(V_1)+dim(V_2)=dim(V_1+V_2)+dim(V_1\bigcap V_2) dim(V1)+dim(V2)=dim(V1+V2)+dim(V1⋂V2)
3.子空间的直和
3.1定义
对于 ∀ z ∈ V 1 + V 2 \forall z\in V_1+V_2 ∀z∈V1+V2,有唯一的 x ∈ V 1 , y ∈ V 2 ( V 1 , V 2 是 V 的 子 空 间 ) ， 使 得 z = x + y , 我 们 称 之 为 V 1 + V 2 为 V 1 与 V 2 的 直 和 ， 记 为 V 1 ⨁ V 2 x\in V_1,y\in V_2(V_1,V_2是V的子空间)，使得z=x+y,我们称之为V_1+V_2为V_1与V_2的直和，记为V_1\bigoplus V_2 x∈V1,y∈V2(V1,V2是V的子空间)，使得z=x+y,我们称之为V1+V2为V1与V2的直和，记为V1⨁V2
3.2定理
- V = V 1 ⨁ V 2 V=V_1\bigoplus V_2 V=V1⨁V2
- V 1 ⋂ V 2 = { 0 } V_1\bigcap V_2=\{0\} V1⋂V2={0}
- d i m ( V 1 + V 2 ) = d i m V 1 + d i m V 2 dim(V_1+V_2)=dimV_1+dimV_2 dim(V1+V2)=dimV1+dimV2
- 若 V 1 V_1 V1的基为 x 1 , x 2 , . . . , x m x_1,x_2,...,x_m x1,x2,...,xm, V 2 V_2 V2的基为 y 1 , y 2 , . . . , y n y_1,y_2,...,y_n y1,y2,...,yn,那么 V V V的基为 x 1 , x 2 , . . . , x m , y 1 , y 2 , . . . , y n x_1,x_2,...,x_m,y_1,y_2,...,y_n x1,x2,...,xm,y1,y2,...,yn
证明：
第二讲完结撒花୧(⁎˃ ◡˂⁎)୨ꔛ୧(⁎˃ ◡˂⁎)୨ꔛ୧(⁎˃ ◡˂⁎)୨ꔛ
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