求函数的定义域

①分式的分母不能为零。 1、 注意定义域用集合表示。

求函数的定②偶次方根的被开方数非负，2、 求函数的定义域必须尊重原题（不

1 义域 零次幂的底数不能为零。 能化简）。

③对数函数的真数大于零。

④对数函数指数函数的底数大

于零且不等于1。

①直接法（简单函数） 1、必须先考虑定义域。

②配方法（含有二次函数）

2、用判别式法时注意对一元二次方程的

系数的讨论。

③换元 （y=ax+b+

cxd

）

④逆求法（知道某变量的范围）

⑤判别式法

2 求函数的值

ax

2

域

（y=

bxc

dx

2

exf

(ad0)

）

⑥导数法（连续函数）

⑦不等式法（一正二定三相等）

3 恒成立问题 f(x)>g(x)恒成立指f(x)的最小值

比g(x)的最大值大。

f(x)〈g(x)恒成立指f(x)的最大值

比g(x)的最小值小。

三角函数公式和重要结论

1、圆心角



的弧度数：∣



∣=

l

r

其中

l

代表弧长, r代表圆的半径.

2、



弧度=180

o

, 1弧度=57.30

o

， S

1

扇形

=

2

lr

3、与



终边相同的角的公式：k•360

o

+



其中k

z

4、第一象限的角：2k



<



<2k



+



2

其中k

z

其他象限依此类推。

x轴上的角：



= k



y轴上的角：



= k



+



2

其中k

z

5、任意角的三角函数：点p(x,y)是角



终边上的任意的一点（原点除外）,r代表点到原点的距离，

则sin



=

y

r

cos



=

x

r

tan



=

y

x

cot



=

x

r

r

y

sec



=

x

csc



=

y

sin



、csc



正 全 正

tan



、cot



正

cos



、sec



正

6、同角的八式三关系：

倒数关系 tan



•cot



=1 sin



• csc



=1 cos



• sec



=1

商数关系 sin



/ cos



= tan



cos



/ sin



= cot



平方关系

sin

2



cos

2



1

1+ tan

2



= sec

2



1+ cot

2



= csc

2



7、诱导公式口诀：奇变偶不变，符号看象限。如：

sin(

3



2





)

cos



，

8、和角与差角公式 ：

sin(







)sin



cos



cos



sin



;

cos(







)cos



cos



sin



sin



;

tan(







)

tan



tan



1tan



tan



变用：tan



±tan



=tan(



±



)(1



tan



tan



)

9、二倍角公式：

sin2α=2sinαcosα.

cos2



cos

2



sin

2



2cos

2



112sin

2



.

tan2





2tan



1tan

2



变用：

cos

2





1cos2



2

1cos2



2

sin





2

10、合一变形：

asin



bcos



=

a

2

b

2

sin(







)

(辅助角φ所在象限由点(a,b)的象限决定,

tan





b

a

).

11.三角函数的周期公式

函数y=sin(ωx+φ)，x∈R及函数y=cos(ωx+φ)，x∈R(A,ω,φ为常数，且A≠0，ω＞0)的周期

T

2





；

函数y=tan(ωx+φ)，

xk







2

,kZ

(A,ω,φ为常数，且A≠0，ω＞0)的周期

T





12、三角函数的值域最值的求法：

① 对于形如

asin



bcos



的三角函数可以先进行合一变形，然后考虑角的范围，利用三角函数

的图象求出函数的值域最值。

② 对于形如y=asin

2



+bsin



+c的函数，可以用换元法，令sin



=t,（注意t的范围）转化成二次

函数来求函数的值域和最值。

③ 对于含有sin



cos



,sin



•cos



的函数可以用换元法，令

1

2

sin



cos



t,则sin



cos





t

1

2

，（注意t的范围）转化成二次函数来求函数的值

域和最值。

14、三角函数的单调区间：

ysinx

的递增区间是





2k









2

，2k









2





(kZ)

，递减区间是







2k







2

，2k





3





2





(kZ)

；

ycosx

的递增区间是



2k







，2k





(kZ)

，递减区间是



2k



，2k









(kZ)

，函数

yAsin(



x



)B

（其中A0，



0）

的最大值是

AB

，最小值是

BA

，周期是

T

2





，频

率是

f



2



，相位是



x



，初相是



；其图象的对称轴是直线



x



k







2

(kZ)

，凡是该

图象与直线

yB

的交点都是该图象的对称中心。

数列公式和重要结论

1、

等差数列的通项公式

a

n

a

1

(n1)ddna

1

d(nN

*

)

其前n项和公式

s

n



n(a

1

a

n

)

2

na

n(n1)

1



2

d

.

2、等比数列的通项公式：a

n

= a

1

q

n-1

(q≠0)



a

1

(1q

n

)

其前n项的和公式

s





1q

,q1



a

1

a

n

q

或

s



,q1

n



n





1q



na

1

,q1





na

1

,q1

3、

a



s

1

,n1

n





( 数列

{



ss,n2

a

n

}

的前n项的和为

s

n

a

1

a

2

a

n

).

nn1

4、等差数列{a

n

}中，如果m+n=p+q,则a

m

+a

n

=a

p

+a

q

,特殊地，2m=p+q时，则2a

m

= a

p

+a

q

，a

m

是a

p

、a

q

的等差

中项。

等比数列{a中，如果m+n=p+q,则aa

2

n

}

m

a

n

=a

pq

,特殊地，2m=p+q时，则a

m

= a

p

a

q

，a

m

是a

p

、a

q

的等比中项。

5、等差数列被均匀分段求和后，得到的数列仍是等差数列，即S

m

,S

2m-m,

S

3m-2m

成等差数列。

等比数列被均匀分段求和后，得到的数列仍是等比数列，即S

m

,S

2m-m,

S

3m-2m

成等比数列。

6、等差数列{a

2

n

}中，其前n项和S

n

=An+Bn,当公差d=0时，A=0，当公差d>0时，A>0，当公差d<0时，

A<0。

7、数列的通项的求法：已知S

n

=f(n)或f(a

n

)用分步讨论法；已知a

n

=pa

n-1

+q (p,q为常数)用换元法；

已知a

n

- a

n-1

= f(n)用叠加；已知a

n

/ a

n-1

= f(n)用叠乘。

8、数列求和的方法：一套二分三拆四错五倒，最后一定要牢记，公比为1不为1

已知数列是等差或等比直接套公式；已知a

n

=b

n

+c

n

(b

n

、c

n

等差或等比)

已知a

1

n

=

b

（b

n

等差）已知a

n

= b

n·

c

n

(b

n

等差、c

n

等比)用错位相减。

n

c

n

9、1

2

+2

2

+3

2

+4

2

+…+n

2

=

n(n1)(2n1)

6

导数的公式和部分重要结论

编号 公 式 名 称 内 容

1

f



(x)

f



(x)y



lim

yf(xx)f

x0

x





lim

(x)

x0

x

.

2 直线方程的点斜式 y-y

0

=k(x-x

0

)

①C

1

=0 (C为常数)

3

② (x

n

)

1

=nx

n-1

(n



Q)

常见四种函数的导数

③(Sinx)

1

=cosx

④(cosx)

1

=-sinx

①和差（u



v）

1

=u

1



v

1

4 两个函数的导数的四则运算

②积(uv)

1

=u

1

v+uv

1

特殊情况(cu )

1

=cu

1

法则

u

1

1

uvuv

1

③商(

v

)=

v

2

(v≠0)

一般地，函数f(x)在某个区间可导 ，f

1

(x) >0 f(x)在这个区间是增函数

一般地，函数f(x)在某个区间可导 ，f

1

(x)〈0 f(x)在这个区间是减函数

5 一般地，函数f(x)在某个区间可导， f(x)在这个区间是增函数 f

1

(x)≥0

一般地，函数f(x)在某个区间可导， f(x)在这个区间是减函数 f

1

(x)≤0

6

一般地，连续函数f(x)在点x

0

处有极值 f

1

(x

0

)=0

求函数的极值的一般步骤：先求导，再求驻点，再列表确定极值。

7 一般地，函数在f(x)点x

0

连续时，如果x

0

附近左侧f

1

(x

0

)>0，右侧f

1

(x

0

)<0，那么

f(x

0

)是极大值。一般地，函数在f(x)点x

0

连续时，如果x

0

附近左侧f

1

(x

0

)<0，右侧

f

函数在区间内只有一个点使

1

(x

0

)>0，那么f(x

0

)是极小值。

f

1

(x)

=0成立，如果函数在这点有极大（小）值，那么

8 不与端点值比较，也可以说这就是最大（小）值。如果没有一个点使f

1

(x)=0成立，

则这个函数在这个区间必定单调递增或单调递减。

9 F

1

(x

0

)表示函数图象在点x

0

处的切线的斜率

10 S

1

(t)表示物体在时刻t处的瞬时速度

立体几何公式和重要结论

编号 公式名称 内 容

2

1 线面角



sin



=∣cos<

AB,n

∣

2 二面角





=〈

m,n

或



-〈

m,n

点面距(P点



3 到平面的距

h=│PA││

cosPA,n

│

离)

4 体积、面积 V

32

球

=4/3



R V

柱

=Sh V

椎

=1/3 Sh S

球

=4



R

5 长方体的对

角线

L=

a

2

b

2

c

2

解析几何公式和重要结论

1、抛物线标准方程的四种形式是：

y

2

2px，y

2

2px，x

2

2py，x

2

2py。

2、抛物线

y

2

2px

的焦点坐标是：





p



2

，0





p



，准线方程是：

x

2

。

若点

P(xy

2

p

0

,

0

)

是抛物线

y2px

上一点，则该点到抛物线的焦点的距离（称为焦半径）是：

x

0



2

，

过该抛物线的焦点且垂直于抛物线对称轴的弦（称为通径）的长是：

2p

。

2222

3、椭圆标准方程的两种形式是：

x

a

2



y

b

2

1

和

y

a

2



x

b

2

1

(ab0)

。

4、椭圆

x

2

y

2

a

2

c

a

2



b

2

1

(ab0)

的焦点坐标是

(c，0)

，准线方程是

x

c

，离心率是

e

a

，通径

的长是

2b

2

a

。其中

c

2

a

2

b

2

。

22

5、若点

P(x

x

0

,y

0

)

是椭圆

a

2



y

b

2

1

(ab0)

上一点，

F

1

、F

2

是其左、右焦点，则点P的焦半径的

长是

PF

1

aex

0

和

PF

2

aex

0

。

6、双曲线标准方程的两种形式是：

x

2

y

2

y

2

x

2

a

2



b

2

1

和

a

2



b

2

1

(a0，b0)

。

x

2

a



y

2

a

2

7、双曲线

c

2b

2

2

b

2

1

的焦点坐标是

(c，0)

，准线方程是

x

c

，离心率是

e

a

，通径的长是

a

，

渐近线方程是

x

2

y

2

222

a

2



b

2

0

。其中

cab

。

8、与双曲线

x

2

y

2

ab

1

共渐近线的双曲线系方程是

x

2

y

2

x

2

y

2

2



2

a

2



b

2





(



0)

。与双曲线

a

2



b

2

1

共

焦点的双曲线系方程是

x

2

y

2

a

2

k



b

2

k

1

。

9、若直线

ykxb

与圆锥曲线交于两点A(x

1

，y

1

)，B(x

2

，y

2

)，则弦长为

AB(1k

2

)(x

1

x

2

)

2

；

若直线

xmyt

与圆锥曲线交于两点A(x

1

，y

1

)，B(x

2

，y

2

)，则弦长为

AB(1m

2

)(y

1

y

2

)

2

。

向量重要公式和结论

1、 共线向量定理：对空间任意两个向量a、b(b≠0 )，a∥b



存在实数λ使a=λb．

2、 如果

a(x

1

,y

1

),b(x

2

,y

2

)

则

ab(x

1

x

2

,y

1

y

2

)

3、 如果A(x

1

,y

1

),B(x

2

,y

2

)，则

AB(x

2

x

1

,y

2

y

1

)

4、 实数与向量的积λa，当λ>0时，λa与a同向，且|λa|=λ|a|；当λ<0时，λa与a反向，且|λa|=|

λ||a|。

5、 向量a、b的数量积

a

·b=|a|| b |cos< a, b>

6、 向量a、b的夹角cos< a, b>=

ab

ab

2

7、

a

2



a

=

aa

8.向量的平行与垂直 设a=

(x

1

,y

1

)

,b=

(x

2

,y

2

)

，且b



0，则

a||b



b=λa

x

1

y

2

x

2

y

1

0

.

a



b(a



0)



a

·b=0

x

1

x

2

y

1

y

2

0

9.平面两点间的距离公式

d

A,B

=

|AB|ABAB

(x

2

x

1

)

2

(y

2

2

y

1

)

(A

(x

1

,y

1

)

，B

(x

2

,y

2

)

).

3

P

2

(x

2

,y

2

)

，10.线段的定比分公式 设

P

且

PP

P(x,y)

是线段

P

1

(x

1

,y

1

)

，

1

P

2

的分点,



是实数，

1





PP

2

，

x

1





x

2



x





1



则



（



1)

y



y

2



y

1



1





18、空间两个向量的夹角公式：

cos〈

a

，b〉=

a

1

b

1

a

2

b

2

a

3

b

3

aaa

2

1

2

2

2

3

bbb

2

1

2

2

2

3

（

a

＝

(a

1

,a

2

,a

3

)

，b＝

(b

1

,b

2

,b

3

)

）.

19、如果A=(x

1

,y

1

,z

1

),B=(x

2

,y

2

,z

2

)则∣

AB

∣=

(x

1

x

2

)

2

(y

1

y

2

)

2

(z

1

z

2

)

2

一、 反三角函数

'

11.点的平移公式





xxh





xx

'



h



OP

'

OPPP

'

(图形



y

'

yk









yy

'

k

F上的任意一点P(x，y)在平移

后图形

F

'

上的对应点为

P

'

(x

'

,y

'

)

，且

PP

'

的坐标为

(h,k)

).

12.正弦定理

a

sinA



b

sinB



c

sinC

2R

.

变形公式：a=2RsinA b=2RsinB C=2RsinC

SinA=

a

2R

SinB=

bc

2R

SinC=

2R

13余弦定理

a

2

b

2

c

2

2bccosA

;

b

2

c

2

a

2

2cacosBc

2

a

2

b

2

2abcosC

.

变形公式：cosA=

b

2

c

2

a

2

2bc

等

14.面积定理（1）

S

111

2

ah

a



2

bh

b



2

ch

c

（

h

a

、h

b

、h

c

分别表示a、b、c边上的高）.

（2）

S

1

2

absinC

1

2

bcsinA

1

2

casinB

15、在△ABC 中：

sin(A+B)=sinCcos(A+B) -cosCtg(A+B) -tgC

sin

ABCABCA

2

cos

2

cos

2

sin

2

tg

B

2

ctg

C

2

tgAtgBtgCtgAtgBtgC

16.三角形的重心坐标公式 △ABC三个顶点的坐标分别为

A(x

1

,y

1

)

、

B(x

2

,y

2

)

、

C(x

3

,y

3

)

,则△ABC的

重心的坐标是

G(

x

1

x

2

x

3

y

1

y

2

y

3

,

3

3

)

.

17. 如果

a(a

1

,a

2

,a

3

),b(b

1

,b

2

,b

3

)

则

ab(a

1

b

1

,a

2

b

2

,a

3

b

3

)

a•ba

1

b

1

a

2

b

2

a

3

b

3

aba

1





b

1

a

2





b

2

a

3





b

3

a

⊥

b

a

1

b

1

a

2

b

2

a

3

b

3

0

1、

yarcsinx

的定义域是[-1，1]，值域是

[



2

，

2

]

，奇函数，增函数；

yarccosx

的定义域是[-1，1]，值域是

[0，



]

，非奇非偶，减函数；

arcsin(x)arcsinx，arccos(x)



arccosx

3、两个正数的均值不等式是：

ab

2

ab

三个正数的均值不等式是：

abc

3

3

abc

n个正数的均值不等式是：

a

1

a

2





a

n

n

n

a

1

a

2



a

n

4、两个正数

a、b

的调和平均数、几何平均数、算术平均数、均方根之间的关系是

2aba

2

b

2

11

ab

2



a



2

b

4、 双向不等式是：

ababab

左边在

ab0(0)

时取得等号，右边在

ab0(0)

时取得等号。

聪明在于学习 知识在于积累

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