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2024年4月16日发(作者：hibernate示例)
矢量场,
梯度,
标量场,散度
旋度的理解
,
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1.梯度 gradient
设体系中某处的物理参数(如温度、速度、浓度等)为w，在与其垂直距离的dy
处该参数为w+dw，则称为该物理参数的梯度，也即该物理参数的变化率。如
果参数为速度、浓度或温度，则分别称为速度梯度、浓度梯度或温度梯度。
在向量微积分中，标量场的梯度是一个向量场。标量场中某一点上的梯度指向
标量场增长最快的方向，梯度的长度是这个最大的变化率。更严格的说，从欧
氏空间Rn到R的函数的梯度是在Rn某一点最佳的线性近似。在这个意义上，
梯度是雅戈比矩阵的一个特殊情况。
在单变量的实值函数的情况，梯度只是导数，或者，对于一个线性函数，也就
是线的斜率。
梯度一词有时用于斜度，也就是一个曲面沿着给定方向的倾斜程度。可以通过
取向量梯度和所研究的方向的点积来得到斜度。梯度的数值有时也被成为梯
度。
在二元函数的情形，设函数z=f(x,y)在平面区域D内具有一阶连续偏导数，则
对于每一点P(x,y)∈D，都可以定出一个向量
(δf/x)*i+(δf/y)*j
这向量称为函数z=f(x,y)在点P(x,y)的梯度，记作gradf(x,y)
类似的对三元函数也可以定义一个：(δf/x)*i+(δf/y)*j+(δf/z)*k 记为
grad[f(x,y,z)]
2.散度
气象学中指：
散度指流体运动时单位体积的改变率。简单地说，流体在运动中集中的区域为
辐合，运动中发散的区域为辐散。用以表示的量称为散度，值为负时为辐合，
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此时有利于天气系统的的发展和增强，为正时表示辐散，有利于天气系统的消
散。表示辐合、辐散的物理量为散度。
微积分学→多元微积分→多元函数积分中：
设某量场由 A(x,y,z) = P(x,y,z)i + Q(x.y,z)j + R(x,y,z)k 给出，其中 P、Q、R 具
有一阶连续偏导数，∑ 是场内一有向曲面，n 是 ∑ 在点 (x,y,z) 处的单位法向
量，则 ∫∫A·ndS 叫做向量场 A 通过曲面 ∑ 向着指定侧的通量，而 δP/δx + δ
Q/δy + δR/δz 叫做向量场 A 的散度，记作 div A，即 div A = δP/δx + δQ/δy + δ
R/δz。
上述式子中的 δ 为偏微分（partial derivative）符号。
3旋度
表示曲线、流体等旋转程度的量
4.矢量和标量场
假设有一个三维空间，显然空间的每一个点都能用坐标（x, y, z）唯一地标识出
来。假如给空间的每一个点都赋予一个数字，那么整个空间就充满了数字。此
时，这个充满数字的三维空间在数学上就叫做“场”。
上述的场叫做标量场，因为单纯的一个数字叫做“标量(scalar)”。如果我们给空
间的每一个点都赋予一个矢量(vector)，即一个既有大小，又有方向的东西，那
么整个空间就变成充满了矢量，这个空间就叫做矢量场。
矢量场中的每一点都对应于一个矢量，而矢量能够根据规则进行各种运算，例
如加、减和乘等（数学上没有矢量的除法）。
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显然，我们可以对整个矢量场中的每一个矢量同时进行某种运算，例如同时将
它们乘以一个数，或加上一个数等。但是我们可以对整个矢量场进行一些更复
杂的运算，其中散度就是其中一种。
三维空间中的一个矢量可以沿x、y和z方向分解，现假设空间的某一点被赋予
的矢量能够沿着这3个方向分解为大小为P、Q和R的三个分量，表示为（P，
Q，R）。注意，由于空间中每个点被赋予的矢量一般来说是不同的，所以P、
Q和R的大小在空间的不同的点一般有不同的值，也就是说P、Q和R中每一
个都是x、y和z的函数。
对三维矢量场来说，我们可以对其中一个点的矢量，假设为（P，Q，R）进行
以下操作：
1、求出dP/dx＋dQ/dy＋dR/dz的值，其中dP/dx表示求P对x的一阶偏导数，
其余雷同；
2、将这个值赋予这个点
对整个矢量场的每个点均进行以上运算，就等于给整个三维空间的每个点都赋
予了一个值，于是我们就得出了一个新的标量场，这个标量场就叫做原来的矢
量场的散度(divergence)，这种运算就叫做“对矢量场取散度”。
除了散度运算以外，我们还可以对矢量场进行其它的运算，例如旋度运算
(curl)。
跟散度运算不同，旋度运算的结果不是标量场，而是另一个矢量场。
而涡度就是一个速度场的旋度，显然涡度是一个矢量场的一个类型。
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