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本文涉及知识点

倍增算法(multiply)、树上倍增、最近公共祖先(LCA)

P2320 [HNOI2006] 鬼谷子的钱袋

题目描述

鬼谷子非常聪明，正因为这样，他非常繁忙，经常有各诸侯的特派员前来向他咨询时政。

有一天，他在咸阳游历的时候，朋友告诉他在咸阳最大的拍卖行（聚宝商行）将要举行一场拍卖会，其中有一件宝物引起了他极大的兴趣，那就是无字天书。

但是，他的行程安排得很满，他已经买好了去邯郸的长途马车票，不巧的是出发时间是在拍卖会快要结束的时候。于是，他决定事先做好准备，将自己的金币数好并用一个个的小钱袋装好，以便在他现有金币的支付能力下，任何数目的金币他都能用这些封闭好的小钱的组合来付账。

鬼谷子也是一个非常节俭的人，他想方设法使自己在满足上述要求的前提下，所用的钱袋数最少，并且不有两个钱袋装有相同的大于 1 1 1 的金币数。假设他有 m m m 个金币，你能猜到他会用多少个钱袋，并且每个钱袋装多少个金币吗？

输入格式

包含一个整数，表示鬼谷子现有的总的金币数目 m m m。其中， 1 ≤ m ≤ 10 9 1 \le m \le {10}^9 1≤m≤109。

输出格式

两行，第一行一个整数 h h h，表示所用钱袋个数。

第二行表示每个钱袋所装的金币个数，由小到大输出，空格隔开。

输入输出样例 #1

输入 #1

3

输出 #1

2
1 2

倍增 进制

性质一：如果M = 2 m − 1 2^m-1 2m−1，则拆成 2 0 , 2 1 , 2 2 , 2 3 ⋯ 2 m − 1 2^0,2^1,2^2,2^3 \cdots 2^{m-1} 20,21,22,23⋯2m−1。每个钱包看成一个二进制位，则这些钱包可以不遗漏不重复的表达[0 ⋯ \cdots ⋯ 2^m-1]。
性质二:如果 2 m ≤ M < 2 ( m + 1 ) − 1 2^m \le M < 2^(m+1)-1 2m≤M<2(m+1)−1，则最优解一定 ≥ m + 1 \ge m+1 ≥m+1。m位数，只能表示 2 m 2^m 2m种状态，扣除0后，只有 2 m − 1 2^m-1 2m−1种状态。x = M - （ 2 m − 1 ) （2^m-1) （2m−1)，故 x ≤ 2 m − 1 x \le 2^m-1 x≤2m−1。如果y < 2^m，之前按性质一处理。否则选取x，余下的(M-x) < 2 m 2^m 2m，按性质一处理。
性质三：如果x>1，且 x = 2 i x=2^i x=2i，那么就会有两个x，改成x-1,x+1。
如果旧方案不包括x，则新旧方案不变。
如果旧方案包括2个x，则换成x-1,x+1，其它不变。
如果旧方案包括一个x，不包括1。换成1和x-1。
如果旧方案包括一个x，不包括1。换成x+1。

代码

核心代码

#include <iostream>
#include <sstream>
#include <vector>
#include<map>
#include<unordered_map>
#include<set>
#include<unordered_set>
#include<string>
#include<algorithm>
#include<functional>
#include<queue>
#include <stack>
#include<iomanip>
#include<numeric>
#include <math.h>
#include <climits>
#include<assert.h>
#include<cstring>
#include<list>
#include<array>

#include <bitset>
using namespace std;

template<class T1, class T2>
std::istream& operator >> (std::istream& in, pair<T1, T2>& pr) {
	in >> pr.first >> pr.second;
	return in;
}

template<class T1, class T2, class T3 >
std::istream& operator >> (std::istream& in, tuple<T1, T2, T3>& t) {
	in >> get<0>(t) >> get<1>(t) >> get<2>(t);
	return in;
}

template<class T1, class T2, class T3, class T4 >
std::istream& operator >> (std::istream& in, tuple<T1, T2, T3, T4>& t) {
	in >> get<0>(t) >> get<1>(t) >> get<2>(t) >> get<3>(t);
	return in;
}

template<class T = int>
vector<T> Read() {
	int n;
	cin >> n;
	vector<T> ret(n);
	for (int i = 0; i < n; i++) {
		cin >> ret[i];
	}
	return ret;
}
template<class T = int>
vector<T> ReadNotNum() {
	vector<T> ret;
	T tmp;
	while (cin >> tmp) {
		ret.emplace_back(tmp);
		if ('\n' == cin.get()) { break; }
	}
	return ret;
}

template<class T = int>
vector<T> Read(int n) {
	vector<T> ret(n);
	for (int i = 0; i < n; i++) {
		cin >> ret[i];
	}
	return ret;
}

template<int N = 1'000'000>
class COutBuff
{
public:
	COutBuff() {
		m_p = puffer;
	}
	template<class T>
	void write(T x) {
		int num[28], sp = 0;
		if (x < 0)
			*m_p++ = '-', x = -x;

		if (!x)
			*m_p++ = 48;

		while (x)
			num[++sp] = x % 10, x /= 10;

		while (sp)
			*m_p++ = num[sp--] + 48;
		AuotToFile();
	}
	void writestr(const char* sz) {
		strcpy(m_p, sz);
		m_p += strlen(sz);
		AuotToFile();
	}
	inline void write(char ch)
	{
		*m_p++ = ch;
		AuotToFile();
	}
	inline void ToFile() {
		fwrite(puffer, 1, m_p - puffer, stdout);
		m_p = puffer;
	}
	~COutBuff() {
		ToFile();
	}
private:
	inline void AuotToFile() {
		if (m_p - puffer > N - 100) {
			ToFile();
		}
	}
	char  puffer[N], * m_p;
};

template<int N = 1'000'000>
class CInBuff
{
public:
	inline CInBuff() {}
	inline CInBuff<N>& operator>>(char& ch) {
		FileToBuf();
		while (('\r' == *S) || ('\n' == *S) || (' ' == *S)) { S++; }//忽略空格和回车
		ch = *S++;
		return *this;
	}
	inline CInBuff<N>& operator>>(int& val) {
		FileToBuf();
		int x(0), f(0);
		while (!isdigit(*S))
			f |= (*S++ == '-');
		while (isdigit(*S))
			x = (x << 1) + (x << 3) + (*S++ ^ 48);
		val = f ? -x : x; S++;//忽略空格换行		
		return *this;
	}
	inline CInBuff& operator>>(long long& val) {
		FileToBuf();
		long long x(0); int f(0);
		while (!isdigit(*S))
			f |= (*S++ == '-');
		while (isdigit(*S))
			x = (x << 1) + (x << 3) + (*S++ ^ 48);
		val = f ? -x : x; S++;//忽略空格换行
		return *this;
	}
	template<class T1, class T2>
	inline CInBuff& operator>>(pair<T1, T2>& val) {
		*this >> val.first >> val.second;
		return *this;
	}
	template<class T1, class T2, class T3>
	inline CInBuff& operator>>(tuple<T1, T2, T3>& val) {
		*this >> get<0>(val) >> get<1>(val) >> get<2>(val);
		return *this;
	}
	template<class T1, class T2, class T3, class T4>
	inline CInBuff& operator>>(tuple<T1, T2, T3, T4>& val) {
		*this >> get<0>(val) >> get<1>(val) >> get<2>(val) >> get<3>(val);
		return *this;
	}
	template<class T = int>
	inline CInBuff& operator>>(vector<T>& val) {
		int n;
		*this >> n;
		val.resize(n);
		for (int i = 0; i < n; i++) {
			*this >> val[i];
		}
		return *this;
	}
	template<class T = int>
	vector<T> Read(int n) {
		vector<T> ret(n);
		for (int i = 0; i < n; i++) {
			*this >> ret[i];
		}
		return ret;
	}
	template<class T = int>
	vector<T> Read() {
		vector<T> ret;
		*this >> ret;
		return ret;
	}
private:
	inline void FileToBuf() {
		const int canRead = m_iWritePos - (S - buffer);
		if (canRead >= 100) { return; }
		if (m_bFinish) { return; }
		for (int i = 0; i < canRead; i++)
		{
			buffer[i] = S[i];//memcpy出错			
		}
		m_iWritePos = canRead;
		buffer[m_iWritePos] = 0;
		S = buffer;
		int readCnt = fread(buffer + m_iWritePos, 1, N - m_iWritePos, stdin);
		if (readCnt <= 0) { m_bFinish = true; return; }
		m_iWritePos += readCnt;
		buffer[m_iWritePos] = 0;
		S = buffer;
	}
	int m_iWritePos = 0; bool m_bFinish = false;
	char buffer[N + 10], * S = buffer;
};

class Solution {
		public:
			vector<int> Ans(int h) {
				int i = 0;
				for (; (1 << i) <= h; i++) {
					h -= (1 << i);
				}
				vector<int> ans;
				for (int j = 0; j < i; j++) {
					const int mask = 1 << j;
					if (h == mask) {
						if (1 == h) {
							ans.emplace_back(1);
							ans.emplace_back(1);
						}
						else {
							ans.emplace_back(h - 1);
							ans.emplace_back(h + 1);
						}
						h = 0;
						continue;
					}
					if ((0!=h)&&(h < mask)) {
						ans.emplace_back(h);
						h = 0;
					}
					ans.emplace_back(mask);
				}
				if (0 != h) { ans.emplace_back(h); }
				return ans;
			}
		};

int main() {
#ifdef _DEBUG
	freopen("a.in", "r", stdin);
#endif // DEBUG	
	ios::sync_with_stdio(0); cin.tie(nullptr);
	//CInBuff<> in; COutBuff<10'000'000> ob;	
	int h;
	cin >> h;
#ifdef _DEBUG		
		//printf("N=%d,P=%lf", N,P);
		//Out(edge, ",edge=");
		//Out(a,",a=");
		//Out(ab, ",ab=");
		//Out(B, "B=");
		//Out(que, "que=");
		//Out(B, "B=");
#endif // DEBUG		
		auto res = Solution().Ans(h);
		cout << res.size() << "\n";
		for (const auto& i : res)
		{
			cout << i << " ";
		}
	return 0;
};

单元测试

	TEST_METHOD(TestMethod01)
		{
			auto res = Solution().Ans(7);
			AssertEx({ 1,2,4 }, res);
		}
		TEST_METHOD(TestMethod02)
		{
			auto res = Solution().Ans(8);
			AssertEx({ 1,1,2,4 }, res);
		}
		TEST_METHOD(TestMethod03)
		{
			auto res = Solution().Ans(9);
			AssertEx({ 1,1,3,4 }, res);
		}
		TEST_METHOD(TestMethod04)
		{
			auto res = Solution().Ans(6);
			AssertEx({ 1,2,3 }, res);
		}

扩展阅读

我想对大家说的话
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https://edu.csdn/lecturer/6176

测试环境

操作系统：win7 开发环境： VS2019 C++17
或者 操作系统：win10 开发环境： VS2022 C++17
如无特殊说明，本算法用**C++**实现。

本文标签： 鬼谷子 钱袋 进制

版权声明：本文标题：【倍增 进制】# P2320 [HNOI2006] 鬼谷子的钱袋|普及+ 内容由网友自发贡献，该文观点仅代表作者本人， 转载请联系作者并注明出处：http://www.roclinux.cn/b/1765987367a3429738.html， 本站仅提供信息存储空间服务，不拥有所有权，不承担相关法律责任。如发现本站有涉嫌抄袭侵权/违法违规的内容，一经查实，本站将立刻删除。