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正多变形的滚动与旋轮线下方的面积（有趣的几何问题）




                          正多变形的滚动与旋轮线下方的面积





问题描述:
     一个圆盘在地面上滚动一周，那么圆周上一点所形成的轨迹就叫做旋轮线（或者摆线）.
         旋轮线下方的面积是多少? 推广至正多边形, 旋轮线下方的面积又是多少?
                       
 问题分析:
       1.在问题是圆的情况下, 显然我们可以用参数方程的方法求得坐标: (x-r*sin(x/r), r-r*cos(x/r));
       定积分方法：

       结果: 3πr^2
       (我自己的想法是外接圆,当n无限大时, 正多边形蜕变成圆的问题.)
       以下是Matrix证明方法:
       2.  假设正多边形的外接圆半径为 r ，从外接圆上任意一点出发，依次与该多边形的 n 个顶点相连，则这 n 条连线的长度的平方和等于        2n · r2 。我们来证明这个结论。
     

   把正多边形的中心放在平面直角坐标系的原点处，把外接圆上的那个点记作 (u, v) ,

   再假设多边形 n 个顶点的位置分别是 (a1, b1), (a2, b2), …, (an, bn) ，则这 n 条连线的平方和为

   Σ((u - ai)2 + (v - bi)2)
     = Σ(u - ai)2 + Σ(v - bi)2
     = n · u2 - 2u · Σai + Σai2 + n · v2 - 2v · Σbi + Σbi2
     = n · (u2 + v2) - 2u · Σai - 2v · Σbi + Σ(ai2 + bi2)

   显然， u2 + v2 以及所有的 ai2 + bi2 都等于 r2 ，因此上面的式子也就等于了 2n · r2 - 2u · Σai - 2v · Σbi .

   接下来，我们只需要说明 Σai 和 Σbi 都为 0 即可。其实这是显然的：

   因为正多边形 n 个顶点的重心在中心 (0, 0) 处，说明这 n 个顶点的所有横坐标之和就是 0 ,

   所有纵坐标之和也为 0 。

   特别地，把外接圆上的那个点取成正多边形的顶点，于是我们得到，

   从正 n 边形的某个顶点出发，连接其他 n - 1 个顶点，如果把这 n - 1 条连线分别

   记作 d1, d2, …, dn-1 ，则有： d12 + d22 + … + dn-12 = 2n · r2



 3.现在，假设正多边形的外接圆半径为 r ，把这个正多边形的面积记作 A 。如图，折线段下方的面积可以被分成 n - 2 个蓝色三角形和 n - 1 个红色三角形（图中所示的是 n = 9 的情况）。这 n - 2 个蓝色三角形恰好能拼成一个原多边形，它们的面积和为 A 。下面，我们来看一下剩下的 n - 1 个红色三角形都是怎么形成的。正多边形一共转动了 n - 1 次，每一次都是绕着一个新的顶点在转动，这 n - 1 个红色三角形就是在这 n - 1 次转动中产生的。容易看出，每个红色三角形都是等腰三角形，它们的腰长分别为 d1, d2, …, dn-1。同时，由于 n 次转动后正多边形将回到原来的方向，因此每一次正多边形都转过了 (360/n)° 。因此，每个红色等腰三角形的顶角也都是 (360/n)° 。于是你会发现，第 i 个红色三角形的形状与正多边形的其中 1/n 块完全一样，只不过有一个 di : r 的相似比！注意到面积比是相似比的平方，于是所有红色三角形的面积之和为：

    (A/n) · d12 / r2 + (A/n) · d22 / r2 + … + (A/n) · dn-12 / r2
      = (A/n) · (d12 + d22 + … + dn-12) / r2
      = (A/n) · 2n · r2 / r2
      = 2A

        因此，折线下方的面积是 3A ，即原正多边形面积的三倍.

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