八年级反比例函数综合(含答案)

反比例函数的综合要点一、确定反比例函数的关系式确定反比例函数关系式的方法仍是待定系数法，由于反比例函数中y=k，只有一个待定系数k，因此x只需要知道一对x，y的对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出k的值，从而确定其解析式．用待定系数法求反比例函数关系式的一般步骤是：(1)设所求的反比例函数为：y=k(k≠0)；x(2)把已知条件(自变量与函数的对应值)代入关系式，得到关于待定系数的方程；(3)解方程求出待定系数k的值；(4)把求得的k值代回所设的函数关系式y=k中．x要点二、反比例函数的图象和性质1．反比例函数的图象特征：反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限；反比例函数的图象关于原点对称，永远不会与x轴、y轴相交，只是无限靠近两坐标轴．要点诠释：(1)若点(a,b)在反比例函数y=对称；k的图象上，则点(-a，-b)也在此图象上，所以反比例函数的图象关于原点x

(2)在反比例函数y=轴和y轴．k(k为常数，k≠0)中，由于x≠0且y≠0，所以两个分支都无限接近但永远不能达到xx2．反比例函数的性质(1)如图1，当k＞0时，双曲线的两个分支分别位于第一、三象限，在每个象限内，y值随x值的增大而减小．(2)如图2，当k＜0时，双曲线的两个分支分别位于第二、四象限，在每个象限内，y值随x值的增大而增大．要点诠释：反比例函数的增减性不是连续的，它的增减性都是在各自的象限内的增减情况，反比例函数的增减性都是由反比例系数k的符号决定的；反过来，由双曲线所在的位置和函数的增减性，也可以推断出k的符号．要点三、反比例函数y=k(k≠0)中的比例系数k的几何意义xk(k≠0)上任意一点作x轴、y轴的垂线，所得矩形的面积为|k|．xk|k|过双曲线y=(k≠0)上任意一点作一坐标轴的垂线，连接该点和原点，所得三角形的面积为．x2过双曲线y=要点诠释：只要函数式已经确定，不论图象上点的位置如何变化，这一点与两坐标轴的垂线和两坐标轴围成的面积始终是不变的．

例1．两个反比例函数y=y=6图象上，它们的横坐标分别是x1，x2，x3……x2020，纵坐标分别是1，3，5，…，共2020个连续奇数，x3过点P1，P2，P3……P2020分别作y轴的平行线，与反比例函数y=的图象交点依次是Q1(x1，y1)，Q2(x2，xy2)，Q3(x3，y3)……Q2020(x2020，y2020)，则y2020等于(A．2019.5B．2020.5C．2019)D．403936，y=在第一象限内的图象如图所示，点P1，P2，P3……P2020在反比例函数xx例2．如图，直线y=k1x+b与双曲线y=解集是k2kA，B两点，其横坐标分别为1和5，则不等式k1x＜2+b的xx．1．一次函数y1＝k1x+b和y2＝()k2k(k2＞0)相交于A(1，m)，B(3，n)两点，则不等式k1x+b＞2的解集为xx

A．1＜x＜32．反比例函数y=B．x＜1或x＞3C．x＜0或x＞3D．1＜x＜3或x＜0)kk和正比例函数y＝mx的图象如图．由此可以得到方程＝mx的实数根为(xxA．x＝﹣2B．x＝1C．x1＝2，x2＝﹣2D．x1＝1，x2＝﹣2例3．如图，点A在双曲线y=k的第一象限的那一支上，AB垂直y轴于点B，点C在x轴正半轴上，且xOC=2AB，点E在线段AC上，且AE=3EC，点D为OB的中点，若△ADE的面积为3，则k的值为．

1．如图，在反比例函数y=4的图象上有一点A向x轴作垂线交x轴于点C，B为线段AC的中点，又Dx．点在x轴上，且OD＝3OC，则△OBD的面积为例4．在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y=与x轴交于点B(1，0)．(1)求k，m的值；k(k≠0，x＞0)的图象经过点A(1，－4)，直线y=－2x+mx(2)已知点P(n，－2n)(n＞0)，过点P作平行于x轴的直线，交直线y=－2x+m于点C，过点P作平行于y轴的直线交反比例函数y=k(k≠0，x＞0)的图象于点D，当PD=2PC时，结合函数的图象，求出n的值．x

1．如图，正比例函数y1＝mx，一次函数y2＝ax+b和反比例函数y3＝y3＞y2＞y1，则自变量x的取值范围是()k的图象在同一直角坐标系中，若xA．x＜﹣1B．﹣1＜x＜0或x＞1．6C．﹣1＜x＜0D．x＜﹣1或0＜x＜12．设函数y1＝ak＝(A．4)kk，y2＝(k＞0)，当2≤x≤3时，函数的y1最大值是a，函数y2的最小值是a﹣4，则xxB．6C．8D．103．已知反比例函数y＝83和y＝在第一象限内的图象如图所示，则△AMN的面积为xx．

4．如图，P1是反比例函数y=k(k＞0)图象在第一象限上的一点，点A1的坐标为(2，0)．x(1)当点P1的横坐标逐渐增大时，△P1OA1的面积将如何变化？逐渐减少．(2)若点P2在反比例函数图象上，点A2在x轴上，△P1OA1与△P2A1A2均为等边三角形，①求次反比例函数的解析式；②求点A2的坐标．5．如图，反比例函数y=(1)求一次函数解析式；k图象和一次函数y＝ax+b经过M(1，6)和N(2，a)．x(2)一次函数y＝ax+b与x轴交于点B，与y轴交于点A，求证：AM＝BN．

6．已知：A(a，y1)．B(2a，y2)是反比例函数y=(1)比较y1与y2的大小关系；(2)若A、B两点在一次函数y=k(k＞0)图象上的两点．x4x+b第一象限的图象上(如图所示)，分别过A、B两点作x轴的垂线，332，求使得m＞n的x的取值范围．x垂足分别为C、D，连接OA、OB，且S△OAB=8，求a的值；(3)在(2)的条件下，如果3m=－4x+24，3n=7．如图，在平面直角坐标系xOy中，函数y=于点B(﹣1，0)．(1)求k，m的值；k(x＜0)的图象经过点A(﹣1，6)，直线y＝mx﹣2与x轴交x(2)过第二象限的点P(n，﹣2n)作平行于x轴的直线，交直线y＝mx﹣2于点C，交函数y=于点D．①当n＝﹣1时，判断线段PD与PC的数量关系，并说明理由；②若PD≥2PC，结合函数的图象，直接写出n的取值范围．k(x＜0)的图象x

8．在平面直角坐标系xOy中，函数y=n)(n≥4，n为整数)在直线l上．(1)求m的值；m(x＞0)的图象G与直线l：y=kx－4k+1交于点A(4，1)，点B(1，x(2)横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记图象G与直线l围成的区域(不含边界)为W．①当n=5时，求k的值，并写出区域W内的整点个数；②若区域W内恰有5个整点，结合函数图象，求k的取值范围．

【经典例题1】A【解析】解：∵Pn的纵坐标为：2n－1，∴P2020的纵坐标为2×2020－1=4039．∵y=与y=在横坐标相同时，y=的纵坐标是y=的纵坐标的2倍，∴y2020=×4039=2019．5．∴A答案正确．【经典例题2】－5＜x＜－1或x＞0【解析】解：根据一次函数平移和反比例函数的对称性可得，直线y=k1x－b与双曲线y=交于第三象限点的坐标为(－5，－1)和(－1，－5)，如下图所示，k2x∴不等式k1x＜k2kk+b，即k1x－b＜2的解集，即当直线y=k1x－b的图象在反比例函数y=2图象的下方xxx对应的自变量x的取值范围为：－5＜x＜－1或x＞0．【举一反三1】D【解析】解：如图，由图象可得：不等式k1x+b＞故选：D．k2的解集是1＜x＜3或x＜0．x

【举一反三2】C【解析】解：如图，反比例函数y＝和正比例函数y＝mx相交于点A(﹣2，1)，∴另一个交点为：(2，﹣1)，∴方程＝mx的实数根为：x1＝2，x2＝﹣2．故选：C．【经典例题3】163【解析】解：连DC，∵AE=3EC，S△ADE=3，∴S△CDE=1．∴S△ADC=4．设A(a，b)，则AB=a，OC=2AB=2a．∵D为OB的中点，∴BD=OD=1b．2∵S梯形OBAC=S△ABD+S△ADC+S△ODC，1111(a+2a)·b=a·b+4+·2a·b，222216∴ab=．3把A(a，b)代入y=，得k=ab=【举一反三1】3【解析】解：设A（x、y），由反比例函数y=BC＝AC＝y，OD＝3OC＝3x，∴S△OBD＝BC×OD＝×y×3x＝xy＝×4＝3．故答案为：3．【经典例题4】16．34可知xy＝4，x

【解析】解：(1)把A(1，－4)代入y=得k=1×(－4)=－4；把B(1，0)代入y=－2x+m，得－2+m=0，解得m=2；k，x(2)反比例函数解析式为y=－(x＞0)，一次函数解析式为y=－2x+2，如图，当y=－2n时，－2x+2=－2n，解得x=n+1，则C(n+1，－2n)，∴PC=n+1－n=1，当y=－2n时，y=－=，∴D(n，－)，∴PD=|－2n+|，∵PD=2PC，∴|－2n+|=2，当－2n+=2时，解得n1=－2(舍去)，n2=1，

当－2n+=－2时，解得n1=－1(舍去)，n2=2，综上所述，当PD=2PC时，n=1或n=2．【自我检测1】B【解析】解：由图象可知，当﹣1＜x＜0或x＞1．6时，双曲线y3落在直线y2上方，且直线y2落在直线y1上方，即y3＞y2＞y1，所以若y3＞y2＞y1，则自变量x的取值范围是﹣1＜x＜0或x＞1．6．故选：B．【自我检测2】C【解析】解：∵k＞0，2≤x≤3，∴y1随x的增大而减小，y2随x的增大而增大，∴当x＝2时，y1取最大值，最大值为＝a①；当x＝2时，y2取最小值，最小值为﹣＝a﹣4②；由①②得a＝2，k＝4，∴ak＝8，故选：C．【自我检测3】2516，)，【解析】解：设A(a，)，则M(a，)，N(∴AN＝a﹣＝，AM＝﹣＝，×＝∴△AMN的面积＝AN×AM＝×故答案为：25．1625，16【自我检测4】【解析】解：(1)△P1OA1的面积逐渐减少；(2)作P1C⊥OA1于C，

∵△P1OA1为等边三角形，A1(2，0)，∴OC=1，P1C=3．∴P1(1，3)．∴反比例函数的解析式为y=3．x(3)作P2D⊥A1A2于D，如上图，设A1D=x，则OD=2+x，P2D=3x，∴P2(2+x，3x)．将点P2代入y=x2+2x－1=0，解得x1=－1+2，x2=－1－2＜0(舍)．∴x=－1+2，OA2=2+x+x=2+2x=2+2(－1+2)=22．∴A2(22，0)．【自我检测5】【解析】解：(1)∵点M(1，6)在反比例函数y＝图象上，∴k＝1×6＝6，∴反比例函数的关系式为y＝，把N(2，a)代入得，a＝＝3，∴N(2，3)．∵点M(1，6)和N(2，3)在一次函数y＝ax+b的图象上，∴a+b＝6，2a+b＝3，33，得y=3x．x2x

解得a＝﹣3，b＝9，∴一次函数的关系式为y＝﹣3x+9；(2)过点M、N分别作MC⊥OA，ND⊥OB，垂足分别为C、D，当x＝0时，y＝9，当y＝0时，x＝3，∴一次函数y＝﹣3x+9与x轴的交点B(3，0)，与y轴的交点A(0，9)，由于A(0，9)，B(3，0)，M(1，6)，N(2，3)，∴MC＝1，AC＝9﹣6＝3，ND＝3，BD＝3﹣2＝1，∴MC＝BD＝1，AC＝ND＝3，又∵∠ACM＝∠NDB＝90°，∴△ACM≌△NDB(SAS)，∴AM＝BN．【自我检测6】【解析】解：(1)∵A、B是y=∴a≠0．当a＞0时，A、B在第一象限，a＜2a，∴此时y1＞y2，同理，a＜0时，y1＜y2．(2)∵A(a，y1)、B(2a，y2)在y=k(k＞0)图象上的两点，xk(k＞0)图象上，x∴AC=y1=，BD=y2=．∴y1=2y2．

又A(a，y1)、B(2a，y2)在y=a+b图象上，∴y1=a+b，y2=a+b．∴a+b=2(a+b)，得b=4a．∵S△AOC+S梯形ACDB=S△AOB+S△BOD，又S△AOC=S△BOD，∴S梯形ACDB=S△AOB，即[(∴a2=4，由a＞0，得a=2．(3)由(2)知，一次函数y=x+8，反比例函数y=．a+b)+(a+b)]•a=8．∵A、B两点的横坐标分别为2，4，且m=x+8，n=，∴使得m＞n的x的范围，是反比例函数的图象在一次函数图象下方的点的横坐标取值范围．∴由图可知，2＜x＜4或x＜0．【自我检测7】【解析】解：(1)∵函数y=∴k＝﹣6．∵直线y＝mx﹣2与x轴交于点B(﹣1，0)，∴m＝﹣2．(2)①判断：PD＝2PC．理由如下：当n＝﹣1时，点P的坐标为(﹣1，2)，∵y＝﹣2x﹣2交于于点C，且点P(﹣1，2)作平行于x轴的直线，∴点C的坐标为(﹣2，2)，∵函数y=k(x＜0)的图象经过点A(﹣1，6)，xk(x＜0)的图象于点D，且点P(﹣1，2)作平行于x轴的直线，x点D的坐标为(﹣3，2)．∴PC＝1，PD＝2．∴PD＝2PC．

②当PD＝2PC时，有两种情况，分别为：y＝2，或者y＝6．若PD≥2PC，0＜y≤2，或y≥6即0＜﹣2n≤2，或﹣2n≤6解得﹣1≤n＜0．或n≤﹣3【自我检测8】【解析】(1)解：把A(4，1)代入y=得m=4×1=4；(2)①当n=5时，把B(1，5)代入直线l：y=kx－4k+1得，5=k－4k+1，解得k=m(x＞0)，x4，3如图所示，区域W内的整点有(2，3)，(3，2)，有2个；(3)直线l：y=kx－4k+1过(1，6)时，k=，区域W内恰有4个整点，直线l：y=kx－4k+1过(1，7)时，k=－2，区域W内恰有5个整点，∴区域W内恰有5个整点时，k的取值范围是－2≤k＜．5353