高中数学三角函数公式、图像大全

初等函数的图形

幂函数的图形

.

指数函数的图形

.

对数函数的图形

.

三角函数的图形

各三角函数值在各象限的符号

sinα·cscα cosα·secα tanα·cotα

.

三角函数的性质

函数

y=sinx y=cosx y=tanx

｛x｜x∈R且



x≠kπ+,k∈

2

Z｝

y=cotx

｛x｜x∈R且

x≠kπ,k∈Z｝

定义域

R R

值域



［-1,1］

时

x=2kπ时

2

y

max

=1 y

max

=1



x=2kπ+π时

x=2kπ- 时y

min

=-1

y

min

=-1

2

［-1，1］x=2kπ+

周期为2π

奇函数

周期为2π

偶函数

R

无最大值

无最小值

R

无最大值

无最小值

周期性

奇偶性

周期为π

奇函数

周期为π

奇函数

在(kπ，kπ+π)

内都是减函数

(k∈Z)

单调性



,2kπ+ ］

22

上都是增函数；在

2



［2kπ+

,2kπ+π］

3

2

上都是减函数(k∈Z)

在［2kπ-



在［2kπ-π，

在(kπ-，

2kπ］上都是增

2



函数；在［2kπ，

kπ+)内都是

2kπ+π］上都是

2

减函数(k∈Z) 增函数(k∈Z)

.

反三角函数的图形

.

反三角函数的性质

名称 反正弦函数

y=sinx(x∈





〔-

, 〕的反

22

函数，叫做反正

弦函数，记作

x=arsiny

反余弦函数 反正切函数 反余切函数

y=cotx(x∈

(0,π))的反函

数，叫做反余切

函数，记作

x=arccoty

定义



y=cosx(x∈

y=tanx(x∈(- ,

〔0,π〕)的反函

2

数，叫做反余



)的反函数，叫

弦函数，记作

2

x=arccosy

做反正切函数，记

作x=arctany

理解

arcsinx表示属于





［-

,

］

22

且正弦值等于x

的角

arccosx表示arctanx表示属于arccotx表示属

属于［0，π］，





于(0，π)且余切

(-,)，且正切

且余弦值等于值等于x的角

22

x的角

值等于x的角

定义域 ［-1，1］ ［-1，1］

［0，π］

(-∞，+∞)

(-

(-∞，+∞)

(0，π)

在(-∞，+∞)上

是减函数

arccot(-x)=π-a

rccotx

cot(arccotx)=x

(x∈R)

arccot(cotx)=x

(x∈(0,π))





，］

22

性

在〔-1，1〕上是

单调性

质

增函数

arcsin(-x)=-arcsi

奇偶性

nx

周期性 都不是同期函数

sin(arcsinx)=x(x

∈［-1，

1］)arcsin(sinx)

恒等式



=x(x∈［-,

］)

22

值域

［-

互余恒等

式





，

)

22

在［-1，1］上在(-∞，+∞)上是增

是减函数 数

arccos(-x)=π-arctan(-x)=-arcta

arccosx nx

cos(arccosx)=tan(arctanx)=x(x

x(x∈［-1,1］)

∈

arccos(cosx)=R)arctan(tanx)=x





x(x∈［0,π］)

（x∈(-

,)）

22

arcsinx+arccosx=





(x∈［-1,1］) arctanx+arccotx=(X∈R)

22

.

三角函数公式

两角和公式

sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB

sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB

cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB

cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB

tanAtanB

tan(A+B) =

1-tanAtanB

tanAtanB

tan(A-B) =

1tanAtanB

cotAcotB-1

cot(A+B) =

cotBcotA

cotAcotB1

cot(A-B) =

cotBcotA

倍角公式

2tanA

2

1tanA

Sin2A=2SinA•CosA

Cos2A = Cos

2

A-Sin

2

A=2Cos

2

A-1=1-2sin

2

A

tan2A =

三倍角公式

sin3A = 3sinA-4(sinA)

3

cos3A = 4(cosA)

3

-3cosA





tan3a = tana·tan(+a)·tan(-a)

33

.

半角公式

sin(

1cosA

A

)=

2

2

1cosA

A

)=

2

2

1cosA

A

)=

1cosA

2

1cosA

A

)=

1cosA

2

A1cosAsinA

)==

sinA1cosA

2

cos(

tan(

cot(

tan(

和差化积

abab

cos

22

abab

sina-sinb=2cossin

22

abab

cosa+cosb = 2coscos

22

abab

cosa-cosb = -2sinsin

22

sin(ab)

tana+tanb=

cosacosb

sina+sinb=2sin

积化和差

1

[cos(a+b)-cos(a-b)]

2

1

cosacosb = [cos(a+b)+cos(a-b)]

2

1

sinacosb = [sin(a+b)+sin(a-b)]

2

1

cosasinb = [sin(a+b)-sin(a-b)]

2

sinasinb = -

.

诱导公式

sin(-a) = -sina

cos(-a) = cosa



sin(-a) = cosa

2



cos(-a) = sina

2



sin(+a) = cosa

2



cos(+a) = -sina

2

sin(π-a) = sina

cos(π-a) = -cosa

sin(π+a) = -sina

cos(π+a) = -cosa

sina

tgA=tanA =

cosa

万能公式

a

2

sina=

a

1(tan)

2

2

a

1(tan)

2

2

cosa=

a

1(tan)

2

2

a

2tan

2

tana=

a

1(tan)

2

2

2tan

.

其它公式

a•sina+b•cosa=

(a

2



b

2

)

×sin(a+c) [其中tanc=

a•sin(a)-b•cos(a) =

1+sin(a) =(sin

b

]

a

a

]

b

(a

2



b

2

)

×cos(a-c) [其中tan(c)=

aa

+cos)

2

22

aa

1-sin(a) = (sin-cos)

2

22

其他非重点三角函数

1

sina

1

sec(a) =

cosa

csc(a) =

双曲函数

e

a

-e

-a

sinh(a)=

2

e

a

e

-a

cosh(a)=

2

tg h(a)=

sinh(a)

cosh(a)

公式一

设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：

sin（2kπ＋α）= sinα

cos（2kπ＋α）= cosα

tan（2kπ＋α）= tanα

cot（2kπ＋α）= cotα

.

公式二

设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：

sin（π＋α）= -sinα

cos（π＋α）= -cosα

tan（π＋α）= tanα

cot（π＋α）= cotα

公式三

任意角α与 -α的三角函数值之间的关系：

sin（-α）= -sinα

cos（-α）= cosα

tan（-α）= -tanα

cot（-α）= -cotα

公式四

利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：

sin（π-α）= sinα

cos（π-α）= -cosα

tan（π-α）= -tanα

cot（π-α）= -cotα

公式五

利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：

sin（2π-α）= -sinα

cos（2π-α）= cosα

tan（2π-α）= -tanα

cot（2π-α）= -cotα

.

公式六



3



±α及±α与α的三角函数值之间的关系：

2

2



sin（

+α）= cosα

2



cos（

+α）= -sinα

2



tan（

+α）= -cotα

2



cot（

+α）= -tanα

2



sin（-α）= cosα

2



cos（-α）= sinα

2



tan（-α）= cotα

2



cot（-α）= tanα

2

3



sin（

+α）= -cosα

2

3



cos（

+α）= sinα

2

3



tan（

+α）= -cotα

2

3



cot（

+α）= -tanα

2

3



sin（-α）= -cosα

2

3



cos（-α）= -sinα

2

3



tan（-α）= cotα

2

3



cot（-α）= tanα

2

(以上k∈Z)

这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用

A•sin(ωt+θ)+ B•sin(ωt+φ) =

A

2

B

2



2

AB

cos(







)

×

sin



tarcsin[(Asin



Bsin



)

AB2ABcos(







)

22

.

三角函数公式证明（全部）

公式表达式

乘法与因式分解

a2-b2=(a+b)(a-b) a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2) a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)

三角不等式

|a+b|≤|a|+|b|

|a-b|≤|a|+|b|

|a|≤b<=>-b≤a≤b

|a-b|≥|a|-|b|

-|a|≤a≤|a|

一元二次方程的解

-b+√(b2-4ac)/2a -b-b+√(b2-4ac)/2a

根与系数的关系

X1+X2=-b/a

X1*X2=c/a

注：韦达定理

判别式 b2-4a=0 注：方程有相等的两实根

b2-4ac>0 注：方程有一个实根

b2-4ac<0 注：方程有共轭复数根

.

三角函数公式

两角和公式

sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA

cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB

tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)

ctg(A+B)=(ctgActgB-1)/(ctgB+ctgA) ctg(A-B)=(ctgActgB+1)/(ctgB-ctgA)

倍角公式

tan2A=2tanA/(1-tan2A) ctg2A=(ctg2A-1)/2ctga

cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a

半角公式

sin(A/2)=√((1-cosA)/2) sin(A/2)=-√((1-cosA)/2)

cos(A/2)=√((1+cosA)/2) cos(A/2)=-√((1+cosA)/2)

tan(A/2)=√((1-cosA)/((1+cosA)) tan(A/2)=-√((1-cosA)/((1+cosA))

ctg(A/2)=√((1+cosA)/((1-cosA)) ctg(A/2)=-√((1+cosA)/((1-cosA))

和差化积

2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B) 2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B)

2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B) -2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B)

sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2 cosA+cosB=2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2)

tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB

ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB -ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB

.

某些数列前n项和

1+2+3+4+5+6+7+8+9+…+n=n(n+1)/2

1+3+5+7+9+11+13+15+…+(2n-1)=n2

2+4+6+8+10+12+14+…+(2n)=n(n+1)

12+22+32+42+52+62+72+82+…+n2=n(n+1)(2n+1)/6

13+23+33+43+53+63+…n3=n2(n+1)2/4

1*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+…+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3

正弦定理

a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R

注： 其中 R 表示三角形的外接圆半径

余弦定理

b2=a2+c2-2accosB

注：角B是边a和边c的夹角

正切定理

[(a+b)/(a-b)]={[Tan(a+b)/2]/[Tan(a-b)/2]}

圆的标准方程

(x-a)2+(y-b)2=r2 注：（a,b）是圆心坐标

圆的一般方程

x2+y2+Dx+Ey+F=0 注：D2+E2-4F>0

抛物线标准方程

y2=2px y2=-2px x2=2py x2=-2py

.

直棱柱侧面积

S=c*h

斜棱柱侧面积

S=c'*h

正棱锥侧面积

S=1/2c*h'

正棱台侧面积

S=1/2(c+c')h'

圆台侧面积

S=1/2(c+c')l=pi(R+r)l

球的表面积

S=4pi*r2

圆柱侧面积

S=c*h=2pi*h

圆锥侧面积

S=1/2*c*l=pi*r*l

弧长公式

l=a*r

a是圆心角的弧度数r >0

.

扇形面积公式

s=1/2*l*r

锥体体积公式

V=1/3*S*H

圆锥体体积公式

V=1/3*pi*r2h

斜棱柱体积

V=S'L

注：其中,S'是直截面面积，

柱体体积公式

V=s*h

圆柱体

V=pi*r2h

.

L是侧棱长

--------------------------------------------------------------------------------------------

三角函数 积化和差 和差化积公式

记不住就自己推，用两角和差的正余弦：

cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB

cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB

这两式相加或相减，可以得到2组积化和差:

相加：cosAcosB=[cos(A+B)+cos(A-B)]/2

相减：sinAsinB=-[cos(A+B)-cos(A-B)]/2

sin(A+B)=sinAcosB+sinBcosA

sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA

这两式相加或相减，可以得到2组积化和差:

相加：sinAcosB=[sin(A+B)+sin(A-B)]/2

相减：sinBcosA=[sin(A+B)-sin(A-B)]/2

这样一共4组积化和差，然后倒过来就是和差化积了

不知道这样你可以记住伐，实在记不住考试的时候也可以临时推导一下

正加正 正在前

正减正 余在前

余加余 都是余

余减余 没有余还负

正余正加 余正正减

余余余加 正正余减还负

.

.

3.三角形中的一些结论：(不要求记忆)

(1)anA+tanB+tanC=tanA·tanB·tanC

(2)sinA+tsinB+sinC=4cos(A/2)cos(B/2)cos(C/2)

(3)cosA+cosB+cosC=4sin(A/2)·sin(B/2)·sin(C/2)+1

(4)sin2A+sin2B+sin2C=4sinA·sinB·sinC

(5)cos2A+cos2B+cos2C=-4cosAcosBcosC-1

...........................

已知sinα=m sin(α+2β), |m|<1,求证tan(α+β)=(1+m)/(1-m)tanβ

解:sinα=m sin(α+2β)

sin(a+β-β)=msin(a+β+β)

sin(a+β)cosβ-cos(a+β)sinβ=msin(a+β)cosβ+mcos(a+β)sinβ

sin(a+β)cosβ(1-m)=cos(a+β)sinβ(m+1)

tan(α+β)=(1+m)/(1-m)tanβ

.