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2024年4月15日发(作者：mysql模式)

39. 时间序列分析Ⅱ——ARIMA 模型

随着对时间序列分析方法的深入研究，人们发现非平稳序列的确

定性因素分解方法（如季节模型、趋势模型、移动平均、指数平滑等）

只能提取显著的确定性信息，对随机性信息浪费严重，同时也无法对

确定性因素之间的关系进行分析。

而非平稳序列随机分析的发展就是为了弥补确定性因素分解方

法的不足。时间序列数据分析的第一步都是要通过有效手段提取序列

中所蕴藏的确定性信息。Box 和 Jenkins 使用大量的案例分析证明差

分方法是一种非常简便有效的确定性信息的提取方法。而 Gramer 分

解定理则在理论上保证了适当阶数的差分一定可以充分提取确定性

信息。

（一）ARMA 模型

即自回归移动平均移动模型，是最常用的拟合平稳时间序列的模

型，分为三类：AR 模型、MA 模型和ARMA 模型。

一、AR(p)模型——p 阶自回归模型

1. 模型：

x

t

0

1

x

t1



p

x

t p

t

2

其中，

p

 0 ，随机干扰序列 ε

t

为 0 均值、

方差的白噪声序列（

E(

ts

)  0 , t≠s），且当期的干扰与过去的序列值无关，即 E(x

t

ε

t

)=0.

由于是平稳序列，可推得均值

0

1 

1



p

. 若

0

 0 ，称为

中心化的 AR(p)模型， 对于非中心化的平稳时间序列， 可以令

0

 (1 

1



p

)， x

*

t

 x

t

 转化为中心化。

1 p

记 B 为延迟算子，



p

(B)  I B B

p

称为 p 阶自回归多

项式，则 AR(p)模型可表示为： 

p

(B)x

t

t

.

2. 格林函数

用来描述系统记忆扰动程度的函数，反映了影响效应衰减的快慢

程度（回到平衡位置的速度），G

j

表示扰动 ε

t-j

对系统现在行为影响的

权数。

1



例如，AR(1)模型（一阶非齐次差分方程），

G

j

j

,

j  0,1, 2,

模型解为 x

t

G

jt j

.

j0

3. 模型的方差

对于 AR(1)模型，Var( x

t

) 

GVar(

t j

) 

.

1 

1

2

j0

2

j

2

4. 模型的自协方差

对中心化的平稳模型，可推得自协方差函数的递推公式：

用格林函数显示表示：

(k ) 



G G E(

i

i0 j0

j

 

 

t j t k j

) 

G

G

2

j0



j k j

对于 AR(1)模型，


本文标签： 序列 模型 确定性

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