线性微分方程组

第五章 线性微分方程组

[教学目标]

1. 理解线性微分方程组解的存在唯一性定理，掌握一阶齐（非齐）线性微分方程组解的性质与结构，

2. 理解n 阶线性微分方程与一阶线性微分方程组的关系。

3. 掌握非齐次线性微分方程组的常数变易法，

4. 理解常系数齐线性微分方程组基解矩阵的概念，掌握求基解矩阵的方法。

5. 掌握常系数线性微分方程组的Laplce变换法。

[教学中难点]求解常系数非齐次线性微分方程组

[教学方法] 讲授，实践。

[教学时间] 16学时

[教学内容] n 阶线性微分方程与一阶线性微分方程组的关系，一阶线性微分方程组解的存在唯一性定

理；齐（非齐）线性微分方程组解的性质与结构，求解非齐次线性微分方程组的常数变易法；常系数

齐线性微分方程组的基解矩阵及求基解矩阵的方法；求常系数线性微分方程组的Laplce变换法。

[考核目标]

1.线性微分方程组解的性质与结构。

2.能够求解常系数线性微分方程组。

§5.1 存在唯一性定理

5.1.1记号和定义

考察形如



a

11

(t)x

1

a

12

(t)x

2

a

1n

(t)x

n

f

1

(t)



x

1



x



a(t)xa(t)xa(t)xf(t)



22112222nn2

（5.1）









a

n1

(t)x

1

a

n2

(t)x

2

a

nn

(t)x

n

f

n

(t)



x

n

的一阶线性微分方程组，其中已知函数

a

ij

(t)(i,j1,2,

上是连续的。方程组（5.1）关于

x

1

,x

2

,

引进下面的记号：

,n)

和

f

i

(t)(i1,2,,n)

在区间

atb

上



,x

2



,,x

n

及

x

1



是线性的.

,x

n



a

11

(t)a

12

(t)



a(t)a(t)

22

A(t)



21







a

n1

(t)a

n2

(t)

a

1n

(t)



a

2n

(t)





（5.2）





a

nn

(t)



,n)

.

2

这里

A(t)

是

nn

矩阵，它的元素是

n

个函数

a

ij

(t)(i,j1,2,





x

1



x

1



f

1

(t)





x



x







f(t)



22

f(t)



2



x



x







（5.3）













x

f(t)



n



x

n



n



这里

f(t)

，

x

，

x



是

n1

矩阵或

n

维列向量。

注意，矩阵相加、矩阵相乘、矩阵与纯量相乘等等性质对于以函数作为元素的矩阵同样成立。这

样一来，方程组（5.1）可以写成下面的形式

x



A(t)xf(t)

（5.4）

引进下面的概念。

一个矩阵或者一个向量在区间

atb

上称为连续的，如果它的每一个元素都是区间

atb

上

的连续函数。

一个

nn

矩阵

B(t)

或者一个

n

维列向量

u(t)

：

b

1n

(t)





u

1

(t)





u(t)



b

2n

(t)





u(t)



2











u(t)

b

nn

(t)





n



在区间

atb

上称为可微的，如果它的每一个元素都在区间

atb

上可微。它们的导数分别由下



b

11

(t)b

12

(t)



b(t)b(t)

22

B(t)



21







b

n1

(t)b

n2

(t)

式给出：



(t)b

12



(t)



b

11



b



(t)b



(t)

22

B



(t)



21







1

(t)b

n



2

(t)



b

n



(t)



b

1



n

(t)



u

1



u



(t)





n

(t)



b

2



u



(t)



2









(t)





(t)



b

nn



u

n

不难证明，如果

nn

矩阵

A(t)

，

B(t)

及

n

维向量

u(t)

，

v(t)

是可微的，那么下列等式成立：

（Ⅰ）



A(t)B(t)





A(t)



B(t)





u(t)v(t)





u(t)



v(t)



（Ⅱ）



A(t)B(t)





A(t)



B(t)A(t)B(t)



（Ⅲ）



A(t)u(t)





A(t)



u(t)A(t)u(t)



类似地，矩阵

B(t)

或者向量

u(t)

在区间

atb

上称为可积的，如果它的每一个元素都在区间

atb

上可积。它们的积分分别由下式给出：



b

b(t)dt





a

11



b

b





a

b

11

(t)dt

B(t)dt



a







b

b(t)dt







a

11







b

a

b

b

12

(t)dt

b

22

(t)dt

a

b

a

b

n2

(t)dt



b(t)dt

1n



a



b



b(t)dt



a

2n







b



b(t)dt



a

nn





b



b

u(t)dt







a

1





b



b

u(t)dt





a

2



u(t)dt



a







b



u(t)dt







a

n



现在我们给出（5.4）的解的定义：

定义１设

A(t)

是区间

atb

上的连续

nn

矩阵，

f(t)

是同一区间

atb

上的连续

n

维向量。

方程组

x



A(t)xf(t)

（5.4）

在某区间



t



（这里





,









a,b



）的解就是向量

u(t)

，它的导数

u



(t)

在区间



t



上连

续且满足

u



(t)A(t)u(t)f(t)

，



t



现在考虑带有初始条件

x(t

0

)



的方程组（５.４），这里

t

0

是区间

atb

上的已知数，



是

n

维

欧几里得空间的已知向量，在这样条件下求解方程组称为初值问题。

定义2 初值问题

x



A(t)xf(t)

,

x(t

0

)



（5.5）

的解就是方程组（5.4）在包含

t

0

的区间



t



上的解

u(t)

，使得

u(t

0

)



。

例2 验证向量



e

t



u(t)



t





e



是初值问题



01



1



x







x

,

x(0)



1



10



在区间

t

上的解。

解 显然



e

0





1



u(0)



0









e





1



因为

e

和

e

处处有连续导数，我们得到

t

t



e

t





01





e

t





01



u



(t)



t







u(t)



t









e





10





e





10



因此

u(t)

是给定初值问题的解。

正如在第而章所看到的，当

n1

时，我们可以得到初值问题（5.5）的解的明显表达式，当

n2

时，情况就复杂多了。

在第四章中，我们讨论了带有初始条件的

n

阶线性微分方程的初值问题。现在进一步指出，可以

通过下面的方法，将

n

阶线性微分方程的初值问题化为形如（5.5）的线性微分方程组的初值问题。

考虑

n

阶线性微分方程的初值问题

(n)(n1)



a

n1

(t)x



a

n

(t)xf(t)



xa

1

(t)x

（5.6）



(n1)







x(t

0

)



1

,x(t

0

)



2

,,x(t

0

)



n

其中

a

1

(t),a

2

(t),,a

n

(t)

，

f(t)

是区间

atb

上的已知连续函数，

t

0





a,b



，



1

,



2

,,



n

是已知

常数。我们指出，它可以化为下列线性微分方程组的初值问题

10



0





001







x











00





0





a

n

(t)a

n1

(t)a

n2

(t)









1













2



x(t

0

)



















n





其中

0





0





0



0









x



0







1









a

1

(t)





f(t)





(5.7)





x

1



x

1



x



x





2

x



x







2











x



n



x

n

事实上，令

x

1

x,x

2

x



,x

3

x



,

这时

,x

n

x

(n1)



x



x

2

x

1



x



x

3

x

2



1

x

(n1)

x

n

x

n



x

(n)

a

n

(t)x

1

a

n1

(t)x

2

x

n

而且

a

1

(t)x

n

f(t)

x(t

0

)

1

x(t

0

)



1

,x(t

0

)

2

x



(t

0

)



2

,,x

n

(t

0

)x

(n1)

(t

0

)



n

现在假设



(t)

是在包含

t

0

的区间

atb

上（5.6）的任一解。由此，得知



(t),





(t),

在

atb

上存在、连续、满足方程（5.6）且



(t

0

)



1

,





(t

0

)



2

,

,



(n)

(t)

,



(n1)

(t

0

)



n

。令





1

(t)







(t)





(t)



2









(t)



n



其中



1

(t)



(t)

,



2

(t)





(t)

,,



n

(t)



(n1)

(t)

(

atb

)，那么，显然有



(t

0

)



。此外，



2

(t)





1



(t)









(t)











(t)









(t)







(t)

23





























(t)







(n1)









(t)



(t)



(t)

n



n1











(n1)

(n)





(t)



(t)a

n

(t)



(t)f(t)







(t)











n







a

1

(t)







2

(t)1



0



0



(t)0

3

















(t)0

n



0





a

n

(t)



1

(t)a

1

(t)



n

(t)f(t)









a

n

(t)a

n1

(t)

0

1

0





1

(t)





0







(t)





0



0





2















01





n1

(t)





0



a

2

(t)a

1

(t)





f(t)













n

(t)







这就表示这个特定的向量



(t)

是（5.7）的解。反之，假设向量

u(t)

是在包含

t

0

的区间

atb

上

（5.7）的解。令



u

1

(t)





u(t)



u(t)



2









u

n

(t)





(t)u

2

(t)

，由第二个方程得到并定义函数

w(t)u

1

(t)

，由（5.7）的第一个方程，我们得到

w



(t)u

1



(t)u

3

(t)

,

w



(t)u

2

，由第

n1

个方程得到

w

(n1)



1

(t)u

n

(t)

，由第

n

个方程得到

(t)u

n



(t)a

n

(t)u

1

(t)a

n1

(t)u2(t)w

(n)

(t)u

n

a

1

(t)w

由此即得

(n1)

a2(t)u

n1

(t)a

1

(t)u

n

(t)f(t)

(t)a

2

(t)w

(n2)

(t)a

n

(t)w(t)f(t)

a

n

(t)w(t)f(t)

w

(n)

(t)a

1

(t)w

(n1)

(t)a

2

(t)w

(n2)

(t)

同时，我们也得到

w(t

0

)u

1

(t

0

)



1

,

这就是说，

w(t)

是（5.6）的一个解。

,w

(n1)

(t

0

)u

n

(t

0

)



n

总之，由上面的讨论，我们已经证明了初值问题（5.6）与（5.7）在下面的意义下是等价的：给定

其中一个初值问题的解，我们可以构造另一个初值问题的解。

值得指出的是：每一个

n

阶线性微分方程可化为

n

个一阶线性微分方程构成的方程组，反之却不

成立。例如方程组



x

1





01



x







x

，

x



x



10





2



不能化为一个二阶微分方程。

5.1.2 存在唯一性定理

本节我们研究初值问题

x



A(t)xf(t)

，

x(t

0

)



（5.5）

的解的存在唯一性定理。类似与第三章，我们通过五个小命题，采用逐步逼近法来证明定理。因为现

在讨论的是方程组（写成向量的形式），所以有些地方稍微复杂些，而且要引进向量、矩阵的“范数”

及向量函数序列的收敛性等概念；然而由于方程是线性的，所以有些地方又显得简单些，而且结论也

加强了。总之，我们要比较第三章中的证明和现在的证明的异同，从对比中加深对问题的理解。



x

1





x





2



，我们定义它的范数为



x

n

对于

nn

矩阵

A



和维向量

a



ij



nn







x

n



A

i,j1



a

n

ij

x



x

i

i1

n

设

A,B

是

nn

矩阵，

x

，

y

是

n

维向量，这时容易验证下面两个性质：

１）

ABAB

AxAx

xyxy

２）

ABAB



x

1k





x



2k



向量序列



x

k



，

x

k





，称为收敛的，如果对每一个

i(i1,2,







x

nk



,n)

数列



x

ik



都是收敛的。



x

1k

(t)





x(t)



2k



称为在区间

atb

上收敛的（一致收敛的）向量函数序列



x

k

(t)



，

x

k

(t)



，如果对于





x(t)



nk



每一个

i(i1,2,

，易知，区间

,n)

函数序列



x

ik

(t)



在区间

atb

上是收敛的（一致收敛的）

atb

上的连续向量函数序列



x

k

(t)



的一致收敛极限向量函数仍是连续的。

向量函数级数，如果其部分和作成的向量



x(t)

称为在区间

atb

上是收敛的（一致收敛的）

k

k1



函数序列在区间

atb

上是收敛的（一致收敛的）。

判别通常的函数级数的一致收敛性的维氏判别法对于向量函数级数也是成立的，这就是说，如果

x

k

(t)M

k

，

atb

而级数



M

k1



k

是收敛的，则



x(t)

在区间

atb

上是一致收敛的。

k

k1



积分号下取极限的定理对于向量函数也成立，这就是说，如果连续向量函数序列



x

k

(t)



在区间

atb

上是一致收敛的，则

lim



x

k

(t)dt



limx

k

(t)dt

k

aa

k

bb

注意，以上谈到的是向量序列的有关定义和结果，对于一般矩阵序列，可以得到类似的定义和结

果。

(k)

例如，

nn

矩阵序列



A

k



，其中

A

k







a

ij





nn

称为收敛的，如果对于一切

i,j1,2,,n

，数

(k)

列

a

ij

都是收敛的。



无穷矩阵级数



A

k1



k

A

1

A

2

A

k



称为收敛的，如果它的部分和所成序列是收敛的。

如果对于每一个整数

k

，

A

k

M

k

而数值级数



M

k1



k

是收敛的，则



A

k1



k

也是收敛的。

同样，可以给出无穷矩阵函数级数



A(t)

的一致收敛性的定义和有关结果。

k

k1



定理１（存在唯一性定理）如果

A(t)

是

nn

矩阵。

f(t)

是

n

维列向量，它们都在区间

atb

上连

续，则对于区间

atb

上的任何数

t

0

及任一常数向量





1















2











n



方程组

x



A(t)xf(t)

（5.4）

存在唯一解



(t)

，定义于整个区间

atb

上，且满足初始条件



(t

0

)



。

类似于第三章，我们分成五个小命题来证明.

命题１ 设



(t)

是方程组（５.４）的定义与区间

atb

上且满足初始条件



(t

0

)



的解，则



(t)

是

积分方程

x(t)









A(s)x(s)f(s)



ds

，

atb

（5.8）

t

0

t

的定义于

atb

上的连续解，反之亦然。

证明完全类似于第三章，兹不累赘。

现在取



0

(t)



，构造皮卡逐步逼近向量函数序列如下：





0

(t)





t







k

(t)







t



A(s)



k1

(s)f(s)



ds,atb

0







k1,2,

向量函数



k

(t)

称为（5.4）的第

k

次近似解。应用数学归纳法立刻推得命题２：

命题２ 对于所有的正整数

k

，向量函数



k

(t)

在区间

atb

上有定义且连续。

命题３ 向量函数序列





k

(t)



在区间

atb

上是一致收敛的。

命题４



(t)

是积分方程（5.8）的定义在区间

atb

上的连续解。

命题５ 设



(t)

是积分方程（5.8）的定义于

atb

上的一个连续解，则



(t)



(t)

（

atb

）。

综合命题１—５，即得到存在唯一性定理的证明。

值得指出的是，关于线性微分方程组的解



(t)

的定义区间是系数矩阵

A(t)

和非齐次项

f(t)

在其

上连续的整个区间

atb

。在构造逐步逼近函数序列





k

(t)



时，



k

(t)

的定义区间已经是整个

atb

，不像第三章对于一般方程那样，解只存在于

t

0

的某个邻域，然后经过延拓才能使解定义在

较大的区间。

注意到5.1.1中关于

n

阶线性方程的初值问题（5.6）与线性微分方程组的初值问题（5.7）的等

价性的论述，立即由本节的存在唯一性定理可以推得关于

n

阶线性微分方程的解的存在唯一性定理。

推论（即第四章的定理１）如果

a

1

(t),,a

n

(t)

，

f(t)

都是区间

atb

上的连续函数，则对于区间

,



n

，方程

atb

上的任何数

t

0

及任何的



1

,



2

,

x

(n)

a

1

(t)x

(n1)

a

n1

(t)x



a

n

(t)xf(t)

存在唯一解

w(t)

，定义于整个区间

atb

上且满足初始条件：

w(t

0

)



1

,w



(t

0

)



2

,

,w

(n1)

(t

0

)



n

。

§5.２ 线性微分方程组的一般理论

现在讨论线性微分方程组

x



A(t)xf(t)

（5.14）

的一般理论，主要是研究它的解的结构问题。

如果

f(t)0

，则（5.14）称为非齐线性的。

如果

f(t)0

，则方程的形式为

x



A(t)x

（5.15）

称（5.15）为齐线性方程组，通常（5.15）称为对应于（5.14）的齐线性方程组。

５.２.１齐线性微分方程组

本段主要研究齐线性方程组（５.１５）的所有解的集合的代数结构问题。我们假设矩阵

A(t)

在区

间

atb

上是连续的。

设

u(t)

和

v(t)

是（5.15）的任意两个解，



和



是两个任意常数。根据向量函数的微分法则，即

知



u(t)



v(t)

也是（5.15）的解，由此得到齐线性方程组的叠加原理。

定理２（叠加原理）如果

u(t)

和

v(t)

是（5.15）的解，则它们的线性组合



u(t)



v(t)

也是（5.15）

的解，这里



，



是任意常数。

定理２说明，（5.15）的所有解的集合构成一个线性空间。自然要问：此空间的维数是多少呢？为

此，我们引进向量函数

x

1

(t),x

2

(t),

设

x

1

(t),x

2

(t),

,x

m

(t)

线性相关与线性无关的概念。

,x

m

(t)

是定义在区间

atb

上的向量函数，如果存在不全为零的常数

c

1

,c

2

,,c

m

，使得恒等式

c

1

x

1

(t)c

2

x

2

(t)c

m

x

m

(t)0

，

atb

成立；称向量函数

x

1

(t),x

2

(t),,x

m

(t)

在区间

atb

上线性相关,否则，称

x

1

(t),x

2

(t),,x

m

(t)

为

线性无关的。

设有

n

个定义在区间

atb

上的向量函数



x

11

(t)





x(t)



x

1

(t)



21



,





x(t)



n1



由这

n

个向量函数构成的行列式



x

1n

(t)





x(t)



,x

n

(t)



2n







x(t)



nn



W



x

1

(t),x

2

(t),



x

11

(t)x

12

(t)



x(t)x(t)

22

,x

n

(t)



W(t)



21







x

n1

(t)x

n2

(t)

x

1n

(t)



x

2n

(t)









x

nn

(t)



称为这些向量函数的伏朗斯基行列式。

定理３ 如果向量函数

x

1

(t),x

2

(t),,x

n

(t)

在区间

atb

上线性相关，则它们的伏朗斯基行列式

W(t)0

，

atb

。

证明 由假设可知存在不全为零的常数

c

1

,c

2

,,c

n

使得

c

1

x

1

(t)c

2

x

2

(t)

把（5.16）看成是以

c

1

,c

2

,

c

n

x

n

(t)0

，

atb

（5.16）

,c

n

为未知量的齐次线性代数方程组，这方程组的系数行列式就是

x

1

(t),x

2

(t),,x

n

(t)

的伏朗斯基行列式

W(t)

。由齐次线性代数方程组的理论知道，要此方程组有非零

解，则它的系数行列式应为零，即

W(t)0

，

atb

定理证毕。

定理４ 如果（5.15）的解

x

1

(t),x

2

(t),,x

n

(t)

线性无关，那么，它们的伏朗斯基行列式

W(t)0

，

atb

。

证明 我们采用反证法。设有某一个

t

0

，

at

0

b

，使得

W(t

0

)0

。考虑下面的齐次线性代数方程

组：

c

1

x

1

(t

0

)c

2

x

2

(t

0

)c

n

x

n

(t

0

)0

（5.17）

,c

n

，以这个非零解它的系数行列式就是

W(t

0

)

，因为

W(t

0

)0

，所以（5.17）有非零解

c

1

,c

2

,

c

1

,c

2

,,c

n

构成向量函数

x(t)

：

x(t)c

1

x

1

(t)c

2

x

2

(t)c

n

x

n

(t)

（5.18）

根据定理２，易知

x(t)

是（5.15）的解。注意到（5.17），知道这个解

x(t)

满足初始条件

x(t

0

)0

（5.19）

但是，在

atb

上恒等于零的向量函数０也是（5.15）的满足初始条件（5.19）的解。由解的唯一性，

知道

x(t)0

，即

c

1

x

1

(t)c

2

x

2

(t)c

n

x

n

(t)0

，

atb

因为

c

1

,c

2

,,c

n

不全为零，这就与

x

1

(t),x

2

(t),,x

n

(t)

线性无关的假设矛盾，定理得证。

,x

n

(t)

作成的伏朗斯基行列式

W(t)

，由定理３，定理4可以知道，由（5.15）的

n

个解

x

1

(t),x

2

(t),

或者恒等于零，或者恒不等于零.

定理５ （5.15）一定存在

n

个线性无关的解

x

1

(t),x

2

(t),,x

n

(t)

.

证明 任取

t

0





a,b



，根据解的存在唯一性定理，（5.15）分别满足初始条件



1



0





0



1





x

1

(t

0

)



0



,x

2

(t

0

)



0



,









0





0





的解

x

1

(t),x

2

(t),



0





0





,x

n

(t

0

)



0











1





,x

n

(t)

的伏朗斯基行列式

,x

n

(t)

一定存在。又因为这

n

个解

x

1

(t),x

2

(t),

W(t

0

)10

，故根据定理３，

x

1

(t),x

2

(t),

定理６ 如果

x

1

(t),x

2

(t),

,x

n

(t)

是线性无关的，定理证毕。

,x

n

(t)

是（5.15）的

n

个线性无关的解，则（5.15）的任一解

x(t)

均可表为

c

n

x

n

(t)

x(t)c

1

x

1

(t)c

2

x

2

(t)

这里

c

1

,c

2

,,c

n

是相应的确定常数。

证明 任取

t

0





a,b



，令

x(t

0

)c

1

x

1

(t

0

)c

2

x

2

(t

0

)

把（5.20）看作是以

c

1

,c

2

,

为

x

1

(t),x

2

(t),

c

n

x

n

(t

0

)

（5.20）

,c

n

为未知量的线性代数方程组。这方程组的系数行列式就是

W(t

0

)

。因

,x

n

(t)

是线性无关的，根据定理４知道

W(t

0

)0

。由线性代数方程组的理论，方程组

,c

n

。以这组确定了的

c

1

,c

2

,,c

n

构成向量函数

c

1

x

1

(t)c

2

x

2

(t)c

n

x

n

(t)

，(5.20)有唯一解

c

1

,c

2

,

那么，根据叠加原理，它是（5.15）的解。注意到（5.20），可知（5.15）的两个解

x(t)

及

c

1

x

1

(t)c

2

x

2

(t)c

n

x

n

(t)

具有相同的初始条件。由解的唯一性，得到

x(t)c

1

x

1

(t)c

2

x

2

(t)c

n

x

n

(t)

定理证毕。

推论１ （5.15）的线性无关解的最大个数等于

n

.

（5.15）的

n

个线性无关的解

x

1

(t),x

2

(t),,x

n

(t)

称为（5.15）的一个基本解组。显然，（5.15）具

有无穷多个不同的基本解组.

由定理5和定理6，我们知道（5.15）的解空间的维数是

n

.即（5.15）的所有解构成了一个

n

维的

线性空间.

注意到5.1.1节关于

n

阶线性微分方程的初值问题（5.6）与线性微分方程组的初值问题（5.7）的

等价性，本节的所有定理都可以平行地推论到

n

阶线性微分方程上去。

从本节的定理2容易推得第四章的定理2。参看4.1.2中关于纯量函数组的线性相关概念，可以证明：

一组

n1

次可微的纯量函数

x

1

(t),x

2

(t),,x

m

(t)

线性相关的充要条件是向量函数



x

1

(t)



x

2

(t)





x



(t)



x



(t)





1



2







(n1)



(n1)





x

1

(t)



x

2

(t)



线性相关。事实上，如果

x

1

(t),x

2

(t),



x

m

(t)





x



(t)





m



（*）





(n1)





x

m

(t)



,x

m

(t)

线性相关，则存在不全为零的常数

c

1

,c

2

,,c

m

使得

c

1

x

1

(t)c

2

x

2

(t)c

m

x

m

(t)0

将上式对

t

微分一次，二次，…，

n1

次，得到



(t)c

2

x

2



(t)c

1

x

1



(t)c

2

x

2



(t)c

1

x

1



(t)0c

m

x

m



(t)0c

m

x

m

(n1)

c

m

x

m

(t)0

(n1)

c

1

x

1

(n1)

(t)c

2

x

2

(t)

即有



x

1

(t)



x

2

(t)





x



(t)



x



(t)



1



c



2



c

1



2





(n1)



(n1)



x(t)



1



x

2

(t)



常数

c

1

,c

2

,



x

m

(t)





x



(t)





0

（**）

c

m



m





(n1)





x

m

(t)



c

m

x

m

(t)0

，这就表明

这就是说，向量函数组（*）是线性相关的。反之，如果向量函数（*）线性相关，则存在不全为零的

,c

m

使得（**）成立，当然有

c

1

x

1

(t)c

2

x

2

(t)

,x

m

(t)

线性相关。

,x

n

(t)

是

n

阶微分方程

x

1

(t),x

2

(t),

推论2 如果

x

1

(t),x

2

(t),

x

(n)

a

1

(t)x

(n1)



的

n

个线性无关解，其中

a

1

(t),

表为

a

n

(t)x0

（5.21）

,a

n

(t)

是区间

atb

上的连续函数，则（5.21）的任一解

x(t)

均可

x(t)c

1

x

1

(t)c

2

x

2

(t)

这里

c

1

,c

2

,

c

n

x

n

(t)

,c

n

是相应的确定常数。

如果

x

1

(t),x

2

(t),,x

n

(t)

是（5.21）的

n

个线性无关解，根据

n

阶微分方程通解的概念及

W



x

1

(t),x(t),,x

n

(t)



0

，函数

x(t)c

1

x

1

(t)c

2

x

2

(t)c

n

x

n

(t)

就是（5.21）的通解，其中

c

1

,c

2

,,c

n

是任意常数。

现在，将本节的定理写成矩阵的形式。

如果一个

nn

矩阵的每一列都是（5.15）的解，称这个矩阵为（5.15）的解矩阵。如果它的列在

atb

上是线性无关的解矩阵,称为在

atb

上（5.15）的基解矩阵。用

(t)

表示由（5.15）的

n

个

线性无关的解



1

(t),



2

(t),,



n

(t)

作为列构成的基解矩阵。定理５和定例６即可以表述为如下的定理

1*

。

定理

1*

（5.15）一定存在一个基解矩阵

(t)

。如果



(t)

是（5.15）的任一解，那么



(t)(t)c

（5.22）

这里

c

是确定的

n

维常数列向量。

定理

2*

（5.15）的一个解矩阵

(t)

是基解矩阵的充要条件是

det(t)0

（

atb

）。而且，如果

对某一个

t

0





a,b



，

det(t

0

)0

，则

det(t)0

，

atb

。（

det(t)

表示矩阵

(t)

的行列式）。

要注意：行列式恒等于零的矩阵的列向量未必是线性相关的。

例１ 验证



e

t

(t)





0

是方程组

te

t



t



e





x

1





11



x

，其中

x







x



x







01





2



的基解矩阵。

解首先，我们证明

(t)

是解矩阵。令



1

(t)

表示

(t)

的第一列，这时



e

t





11





e

t





11





1



(t)









1

(t)









0





01





0





01



这表示



1

(t)

是一个解。同样，如果以



2

(t)

表示

(t)

的第二列，我们有



(t1)e

t





11





te

t





11





(t)





2









t







01





2

(t)

t

01

e





e









这表示



2

(t)

也是一个解。因此，

(t)





1

(t),



2

(t)



是解矩阵。

其次，根据定理

2*

，因为

det(t)e0

，所以

(t)

是基解矩阵。

推论

1*

如果

(t)

是（5.15）在区间

atb

上的基解矩阵，那么，

(t)C

C

是非奇异

nn

常数矩阵，

也是（5.15）在区间

atb

上的基解矩阵。

证明 首先，根据解矩阵的定义易知，方程（5.15）的任一解矩阵

X(t)

必满足关系

（

atb

）

X



(t)A(t)X(t)

，

反之亦然。现令

（

atb

）



(t)(t)C

，

微分上式，并注意到

(t)

为方程的基解矩阵，

C

为常数矩阵，得到

2t





(t)



(t)CA(t)(t)CA(t)



(t)

即



(t)

是（5.15）的解矩阵。又由

C

的非奇异性，我们有

det



(t)det(t)detC0

（

atb

）

因此由定理

2*

知，



(t)

即

(t)C

是（5.15）的基解矩阵。

推论

2*

如果

(t)

，



(t)

在区间

atb

上是

x



A(t)x

的两个基解矩阵，那么，存在一个非奇异

nn

常数矩阵

C

，使得在区间

atb

上



(t)(t)C

。

证明 因为

(t)

为基解矩阵，故其逆矩阵

(t)

一定存在。现令

1



1

(t)



(t)X(t)

（

atb

）

或



(t)(t)X(t)

（

atb

）

易知

X(t)

是

nn

可微矩阵，且

detX(t)0

（

atb

）

于是

A(t)



(t)





(t)



(t)X(t)(t)X



(t)

（

atb

）

A(t)(t)X(t)(t)X



(t)A(t)



(t)(t)X



(t)

由此推知

(t)X



(t)0

，或

X



(t)0

（

atb

），即

X(t)

为常数矩阵，记为

C

。因此我们有



(t)(t)C

（

atb

）

其中

C(a)



(a)

为非奇异的

nn

常数矩阵推论

2*

得证。

5.2.2 非齐线性微分方程组

本段讨论非齐线性微分方程组

x



A(t)xf(t)

（5.14）

的解的结构问题，这里

A(t)

是区间

atb

上的已知

nn

连续矩阵，

f(t)

是区间

atb

上的已知

n

维连续列向量，向量

f(t)

通常称为强迫项，因为如果（5.14）描述一个力学系统，

f(t)

就代表外力。

容易验证（5.14）的两个简单性质：

性质1 如果



(t)

是（5.14）的解，



(t)

是（5.14）对应的齐线性方程组（5.15）的解，则



(t)



(t)

是（5.14）的解。

性质2 如果



(t)

和



(t)

是（5.14）的两个解，则



(t)



(t)

是（5.15）的解。

下面的定理7给出（5.14）的解的结构。

定理7 设

(t)

是（5.15）的基解矩阵，



(t)

是（5.14）的某一解，则（5.14）的任一解



(t)

都可表为



(t)(t)c



(t)

（5.23）

这里

c

是确定的常数列向量。

证明 由性质2我们知道



(t)



(t)

是（5.15）的解，再由5.2.1的定理

1*

，得到

1



(t)



(t)(t)c

这里

c

是确定的常数列向量，由此即得



(t)(t)c



(t)

定理证毕。

定理7告诉我们，为了寻求（5.15）的任一解，只要知道（5.14）的一个解和它对应的齐线性方程

组（5.15）的基解矩阵。在知道（5.15）的基解矩阵

(t)

的情况下，寻求（5.14）的解



(t)

的简单的

方法 常数变易法。

由定理

1*

可知,如果

c

是常数列向量，则



(t)(t)c

是（5.15）的解，它不可能是（5.14）的解。

因此，将

c

变易为

t

的向量函数，而试图寻求（5.14）的形如



(t)(t)c(t)

（5.24）

的解。这里

c(t)

是待定的向量函数。

假设（5.14）存在形如（5.24）的解，这时，将（5.24）代入（5.14）得到





(t)c(t)(t)c



(t)A(t)(t)c(t)f(t)

因为

(t)

是（5.15）的基解矩阵，所以





(t)A(t)(t)

，由此上式中含有

A(t)(t)c(t)

的项消去了。

因而

c(t)

必须满足关系式

(t)c



(t)f(t)

（5.25）

因为在区间

atb

上

(t)

是非奇异的，所以

(t)

存在。用

(t)

左乘（5.25）两边，得到

11

c(t)





1

(s)f(s)ds

，

t

0

,t



a,b



t

0

t

其中

c(t

0

)0

。这样，（5.24）变为



(t)(t)





1

(s)f(s)ds

，

t

0

,t



a,b



（5.26）

t

0

t

因此，如果（5.14）有一个形如（5.24）的解



(t)

，则



(t)

由公式（5.26）决定。

反之，用公式（5.26）决定的向量函数



(t)

必定是（5.14）的解。事实上，微分（5.26）得到





(t)



(t)





1

(s)f(s)ds(t)

1

(t)f(t)

t

0

t

A(t)(t)



(s)f(s)dsf(t)

t

0

t

1

再利用公式（5.26），即得





(t)A(t)



(t)f(t)

显然，还有



(t

0

)0

，这样一来，我们就得到了下面的定理8。

定理8 如果

(t)

是（5.15）的基解矩阵，则向量函数



(t)(t)





1

(s)f(s)ds

t

0

t

是（5.14）的解，且满足初始条件



(t

0

)0

由定理7和定理8容易看出（5.14）的满足初始条件



(t

0

)



的解



(t)

由下面公式给出



(t)(t)

1

(t

0

)



(t)





1

(s)f(s)ds

（5.27）

t

0

1

这里



h

(t)(t)(t

0

)



是（5.15）的满足初始条件

t



h

(t

0

)



的解。公式（5.26）或公式（5.27）称为非齐线性微分方程组（5.14）的常数变易公式。

第五章



e

t





x

1





11





1





例2

x



x



x



x



x(0)



1



01





2







0





e

t

解 在例1中我们已经知道

(t)





0

te

t



t



e



是对应的齐线性方程组的基解矩阵。取矩阵

(t)

的逆，我们得到：



e

s



0



1

(t)



se

s





e

s





1s



s





e

01

e

2s



这样，由定理8，满足初始条件



0





(0)





0



的解就是



e

t



(t)





0



e







0

t



e

t

te

t



t

s



1s





e

s



e





ds





t





0

e





01





0



0



1



1



te

t





(1e

2t

)



(e

t

e

t

)





22

t





e



00



te

t



t



e

2s





ds

t





0



e



0



因为

(0)E

，对应的齐线性方程组满足初始条件



h

(0)



1



的解就是



1





1





(t1)e

t





h

(t)(t)







t





1





e



由公式（5.27），所求解就是

1



1





(t1)e

t





(e

t

e

t

)



te

t

(e

t

e

t

)





(t)



h

(t)



(t)





2







2

t



e

t



0e



注意到5.1.1关于

n

阶线性微分方程的初值问题（5.6）与线性微分方程组的初值问题（5.7）等价

性的讨论，我们可以得到关于

n

阶非齐线性微分方程的常数变易公式。

推论3 如果

a

1

(t),a

2

(t),

间

atb

上齐线性方程

,a

n

(t)

，

f(t)

是区间

atb

上的连续函数，

x

1

(t),x

2

(t),,x

n

(t)

是区

x

(n)

a

1

(t)x

(n1)

a

n

(t)x0

（5.21）

的基本解组，那么，非齐线性方程

x

(n)

a

1

(t)x

(n1)



的满足初始条件

a

n

(t)xf(t)

（5.28）

,



(n1)

(t

0

)0

t

0





a,b





(t

0

)0,





(t

0

)0,

的解由下面公式给出





W

k



x

1

(s),x

2

(s),,x

n

(s)









(t)



x

k

(t)





f(s)ds

(5.29)

t

0

Wx(s),x(s),,x(s)





k1



2n





1



n

t

这里

W



x

1

(s),x

2

(s),

是在

W



x

1

(s),x

2

(s),

,x

n

(s)



是

x

1

(s),x

2

(s),,x

n

(s)

的伏朗斯基行列式，

W

k



x

1

(s),x

2

(s),,x

n

(s)



,x

n

(s)



中的第

k

列代以

(0,0,,0,1)

T

后得到的行列式，而且（5.28）的任一解

u(t)

都具有形式

u(t)c

1

x

1

(t)c

2

x

2

(t)

这里

c

1

,c

2

,

c

n

x

n

(t)



(t)

（5.30）

,c

n

是适当选取的常数。

公式（5.29）称为（5.28）的常数变易公式。

这时方程（5.28）的通解可以表为

xc

1

x

1

(t)c

2

x

2

(t)

其中

c

1

,c

2

,

c

n

x

n

(t)



(t)

,c

n

是任意常数。并且由推论3知道，它包括了方程（5.28）的所有解。这就是第四章定

理7的结论。

当

n2

时，公式（5.29）就是



t





W

1



x

1

(s),x

2

(s)







W

2



x

1

(s),x

2

(s)









(t)x

1

(t)





f(s)dsx(t)



f(s)ds

但是

2



t

0

Wx(s),x(s)

t

0

Wx(s),x(s)









22





1





1



t

W

1



x

1

(s),x

2

(s)





W

2



x

1

(s),x

2

(s)





0x

2

(s)

x

2

(s)



(s)1x

2

x

1

(s)0

x

1

(s)



(s)1x

1

因此，当

n2

时，常数变易公式变为



(t)





t

而通解就是

t





x

2

(t),x

1

(s)x

1

(t),x

2

(s)







f(s)ds

（5.31）

0

W



x

1

(s),x

2

(s)







xc

1

x

1

(t)c

2

x

2

(t)



(t)

（5.32）

这里

c

1

,c

2

是任意常数.

例3 试求方程

x



x



tgt

的一个解。

解 易知对应的齐线性方程

x



x



0

的基本解组为

x

1

(t)cost

，

x

2

(t)sint

。直接利用公式（5.31）

来求方程的一个解。这时

W



x

1

(t),x

2

(t)





costsint

sintcost

1

由公式（5.31）即得（取

t

0

0

）



(t)



(sintcosscostsins)tgsds

0

t

sint



sinsdscost



sinstgsds

00

tt

sint(1cost)cost(sintlnsecttgt)

sintcostlnsecttgt

注意，因为

sint

是对应的齐线性方程的一个解，所以函数



(t)costlnsecttgt

也是原方程的一个解。

§5.3 常系数线性微分方程组

本节研究常系数线性微分方程组的问题，主要讨论齐线性微分方程组

x



Ax

（5.33）

的基解矩阵的结构，这里

A

是

nn

常数矩阵。我们将通过代数的方法，寻求（5.33）的一个基解矩阵。

最后讨论拉普拉斯变换在常系数线性微分方程组中的应用。

5.3.1 矩阵指数

expA

的定义和性质

为了寻求（5.33）的一个基解矩阵，需要定义矩阵指数

expA

（或写作

e

），这要利用5.1.2中关

于矩阵序列的有关定义和结果。

如果

A

是一个

nn

常数矩阵，我们定义矩阵指数

expA

为下面的矩阵级数的和

A

A

k

A

A

2

expA



eEA

k!2!

k0



A

m



m!

（5.34）

其中

E

为

n

阶单位矩阵，

A

是矩阵

A

的

m

次幂。这里我们规定

AE

，

0!1

。这个级数对于所

有的

A

都是收敛的，因而，

expA

是一个确定的矩阵。

事实上，由5.1.2中的性质

1

，易知对于一切正整数

k

，有

m0

A

A

k



k!k!

又因对于任一矩阵

A

，

A

是一个确定的实数，所以数值级数

EA

是收敛的（注意，它的和是

n1e

A

k

A

2

2!



A

m

A

m!

）。由5.1.2知道，如果一个矩阵级数的每一项的范数都小于一

个收敛的数值级数的对应项，则这个矩阵级数是收敛的，因而（5.34）对于一切矩阵

A

都是绝对收敛

的。

级数

expAt



k0



A

k

t

k

（5.35）

k!

在

t

的任何有限区间上是一致收敛的。事实上，对于一切正整数

k

，当

tc

（

c

是某一正常数）时，

有

AtAc

k

A

k

t

k



k!k!k!

而数值级数

kkk



k0





Ac



k!

k

是收敛的，因而（5.35）是一致收敛的。

矩阵指数

expA

有如下性质：

1

如果矩阵

A

，

B

是可交换的，即

ABBA

，则

exp(AB)expAexpB

（5.36）

事实上，由于矩阵级数（5.34）是绝对收敛的，因而关于绝对收敛数值级数运算的一些定理，

如项的重新排列不改变级数的收敛性和级数的和以及级数的乘法定理等都同样地可以用到矩阵级数中

来。由二项式定理及

ABBA

，得

exp(AB)



k0





AB



k!

k



k

A

t

B

kt











（5.37）



k0



l0

l!(kl)!





另一方面，由绝对收敛级数的乘法定理得

A

i





B

j



expAexpB









i0

i!



j0

j!







AB













k0



l0

l!(kl)!



k

1

tkt

（5.38）

比较（5.37）和（5.38），推得（5.36）.

2

对于任何矩阵

A

，

(expA)

存在，且

(expA)

1

exp(A)

（5.39）

事实上，

A

与

A

是可交换的，故在（5.36）中，令

BA

，

我们推得

expAexp(A)exp(A(A))exp0E

由此即有

(expA)

1

exp(A)

3

如果

T

是非奇异矩阵，则

exp(T

1

AT)T

1

(expA)T

（5.40）

事实上

(T

1

AT)

k

exp(TAT)E



k!

k1

1



T

1

A

k

T

E



k!

k0







A

k



1

ET







TT(expA)T



k1

k!



1

定理9 矩阵

(t)expAt

（5.41）

是（5.33）的基解矩阵，且

(0)E

.

证明 由定义易知

(0)E

，微分（5.41），我们得到

A

2

tA

3

t

2





(t)(expAt)



A

1!2!

A

k

t

k1



(k1)!

AexpAtA(t)

这就表明，

(t)

是（5.33）的解矩阵，又因为

det(0)detE1

，因此，

(t)

是（5.33）的基解矩

阵。证毕。

由定理9，我们可以利用这个基解矩阵推知（5.33）的任一解



(t)

都具有形式



(t)(expAt)c

（5.42）

这里

c

是一个常数向量。

在某些特殊情况下，容易得到（5.33）的基解矩阵

expAt

的具体形式。



a

1

0



0a

2

例1 如果

A

是一个对角形矩阵，

A









00

x



Ax

的基解矩阵。

0



0





（非主对角线上的元素都是零），试找出





a

n



解 由（5.34）可得



a

1

0



0a

2

expAtE









00



e

a

1

t

00





a

2

t

0e0











a

n

t



00e



0





a

1

2

0



2

0



t







0a

2



1!







a

n







00

0





0



t

2





2!

2



a

n







a

1

k

0



k

0a

2













00

0





0



t

k





k!

k



a

n





根据定理9，这就是一个基解矩阵，当然，这个结果是很明显的，因为在现在的情况下，方程组



a

k

x

k

，

k1,2,

可以写成

x

k

,n

，它可以分别进行积分。



21





例2 试求

x



x

的基解矩阵。

02



解 因为

A





21



20



01



，而且后面的两个矩阵是可交换的，我们得到











02



02



00





20



01



expAtexp



texpt





02



00



2



e

2t

0







01



01



t

2







E



t



00



2!



2t





00

0e









但是，

2













01



00





00







00





所以，级数只有两项。因此，基解矩阵就是



1t



expAte

2t





01



5.3.2 基解矩阵的计算公式

定理9告诉我们，（5.33）的基解矩阵就是矩阵

expAt

.但是

expAt

是一个矩阵级数，这个矩阵的

每一个元素是什么呢？事实上还没有具体给出，上面只就一些很特殊的情况，计算了

expAt

的元素。

本段利用线性代数的基本知识，仔细地讨论

expAt

的计算方法，从而解决常系数线性微分方程组的基

解矩阵的结构问题。

为了计算（5.33）的基解矩阵

expAt

，我们需要引进矩阵的特征值和特征向量的概念。

类似于第四章的4.2.2，试图寻求

x



Ax

（5.33）

的形如



(t)e



t

c

，

c0

（5.43）

的解，其中常数



和向量

c

是待定的。为此，将（5.43）代入（5.33），得到



e



t

cAe



t

c

因为

e0

，上式变为

(



EA)c0

（5.44）

这就表示，

ec

是（5.33）的解的充要条件是常数



和向量

c

满足方程（5.44）。方程（5.44）可以看作

是向量

c

的

n

个分量的一个齐次线性代数方程组，根据线性代数知识，这个方程组具有非零解的充要

条件就是



满足方程



t



t

det(



EA)0

这就引出下面的定义：

假设

A

是一个

nn

常数矩阵，使得关于

u

的线性代数方程组

(



EA)u0

（5.45）

具有非零解的常数



称为

A

的一个特征值。（5.45）的对应于任一特征值



的非零解

u

称为

A

的对应于

特征值



的特征向量。

n

次多项式

p(



)det(



EA)

称为

A

的特征多项式，

n

次代数方程

p(



)0

（5.46）

称为

A

的特征方程，也称它为（5.33）的特征方程。

根据上面的讨论，

ec

是（5.33）的解，当且仅当



是

A

的特征值，且

c

是对应于



的特征向量。



t

A

的特征值就是特征方程（5.46）的根。因为

n

次代数方程有

n

个根，所以

A

有

n

个特征值，当然不

一定

n

个都互不相同。如果







0

是特征方程的单根，则称



0

是简单特征根。如果







0

是特征方程

的

k

重根，则称



0

是

k

重特征根。

例3 试求矩阵

A





35



的特征值和对应的特征向量。





53



解

A

的特征值就是特征方程

5



3



det(A



E)







2

6



340





53





的根。几、解之得到



1,2

35i

。对应于特征值



1

35i

的特征向量



u

1



u





u

2



必须满足线性代数方程组



5i5





u

1



(A



1

E)u





u



0

55i





2



因此，

u

1

,u

2

满足方程组



iu

1

u

2

0





u

1

iu

2

0

所以，对于任意常数



0



1



u







i



是对应于



1

35i

的特征向量。类似地，可以求得对应于



2

35i

的特征向量为



i



v







1



其中



0

是任意常数。

例4 试求矩阵

A



解 特征方程为



21



的特征值和对应的特征向量。





14







21



det(



EA)







2

6



90





4



1

因此，



3

是

A

的二重特征值。为了寻求对应于



3

的特征向量，考虑方程组



11





c

1



(3EA)c





c



0

11





2



或者



c

1

c

2

0





c

1

c

2

0

因此，向量



1



c







1



是对应于特征值



3

的特征向量，其中



0

是任意常数。

一个

nn

矩阵最多有

n

个线性无关的特征向量。当然，在任何情况下，最低限度有一个特征向量，

因为最低限度有一个特征值。

首先，让我们讨论当

A

具有

n

个线性无关的特征向量时（特别当

A

具有

n

个不同的特征值时，就

是这种情形），微分方程组（5.33）的基解矩阵的计算方法。

定理10 如果矩阵

A

具有

n

个线性无关的特征向量

v

1

,v

2

,

（不必各不相同），那么矩阵



1

t



2

t

(t)



ev,ev

2

,

1



,v

n

，它们对应的特征值分别为



1

,



2

,,



n

,e



n

t

v

n





，

t

是常系数线性微分方程组

x



Ax

（5.33）

的一个基解矩阵。

证明 由上面关于特征值和特征向量的讨论知道，每一个向量函数

e

j

v

j

（

j1,2,

的一个解。因此，矩阵



1

t



2

t

(t)



ev,ev

2

,

1





t

,n

）都是（5.33）

,e



n

t

v

n





,v

n

是线性无关的，所以 是（5.33）的一个解矩阵。因为，向量

v

1

,v

2

,

det(0)det



v

1

,v

2

,,v

n



0

根据5.2.1的定理

2*

推得，

(t)

是（5.33）的一个基解矩阵。定理证毕。

例5 试求方程组

x



Ax

，其中

A





35



的一个基解矩阵。





53



解 由例3知道，



1

35i

和



2

35i

是

A

的特征值，而



i





1



v

1





v

2







1





i





e

(35i)t

是对应于



1

,



2

的两个线性无关的特征向量。根据定理10，矩阵

(t)



(35i)t



ie

就是一个基解矩阵。

一般来说，定理10中的

(t)

不一定就是

expAt

。然而，根据5.2.1的推论2

*

，可以确定它们之

间的关系。因为

expAt

和

(t)

都是（5.33）的基解矩阵，所以存在一个非奇异的常数矩阵

C

，使得

ie

(35i)t



(35i)t



e



expAt(t)C

在上式中，令

t0

，我们得到

C(0)

。因此

1

expAt(t)

1

(0)

（5.47）

根据公式（5.47），

expAt

的计算问题相当于方程组（5.33）的任一基解矩阵的计算问题。注意，公式

（5.47）还有一个用途，这就是下面的附注所指出的。

附注1如果

A

是实的，那么

expAt

也是实的。因此，当

A

是实的，公式（5.47）给出一个构造实

的基解矩阵的方法。

例6 试求例5的实基解矩阵（或计算

expAt

）。

解 根据（5.47）及附注1，从例5中得



e

(35i)t

expAt



(35i)t



ie

(35i)t

ie

(35i)t





1i



1



e

(35i)t





(35i)t



(35i)t





2



iee





i1



(35i)t(35i)t

1

ie

(35i)t





1i







e

(35i)t





i1





ei(ee)



3t



cos5tsin5t



1



e



e



(35i)t(35i)t

sin5tcos5t

2



i(e

(35i)t

e

(35i)t

)ee





(35i)t

现在讨论当

A

是任意的

nn

矩阵时，（5.33）的基解矩阵的计算方法，先引进一些有关的线性代数

知识。

假设

A

是一个

nn

矩阵，



1

,



2

,

这里

n

1

n

2



,



k

是

A

的不同的特征值，它们的重数分别为

n

1

,n

2

,,n

k

，

n

k

n

。那么对应于每一个

n

j

重特征值



j

，线性代数方程组

(A



j

E)

j

u0

（5.48）

n

的解的全体构成

n

维欧几里得空间的一个

n

j

维子空间

U

j

(j1,2,

为

U

1

,U

2

,

k)

，并且

n

维欧几里得空间可表

,U

k

的直接和。

,u

k

，其中这就是说，对于

n

维欧几里得空间的每一个向量

u

，存在唯一的向量

u

1

,u

2

,

u

j

U

j

(j1,2,k)

，使得

uu

1

u

2

u

k

（5.49）

关于分解式（5.49），我们举出它的两个特殊情形。如果

A

的所有特征值各不相同，这就是说，如

果每一个

n

j

1

(j1,2,

为

u

j

c

j

v

j

，其中

v

1

,v

2

,

k)

，而

kn

，那么，对于任一个向量

u

，分解蚀（5.49）中的

u

j

可以表

,v

n

是

A

的一组线性无关的特征向量，

c

j

(j1,2,k)

是某些常数。如果

A

只有一个特征值，即

k1

，这时不必对

n

维欧几里得空间进行分解。

现在利用刚刚引述过的线性代数知识着手寻求（5.33）的基解矩阵，先从寻求任一满足初始条件



(0)



的解



(t)

开始，从定理9知道，



(t)

可以表为



(t)(expAt)



，而将

(expAt)



明显地计

算出来，即要确切知道



(t)

的每一个分量。根据

expAt

的定义，一般来说，

(expAt)



的分量是一个

无穷级数，因而难于计算。这里的要点就是将初始向量



进行分解，从而使得

(expAt)



的分量可以表

示为

t

的指数函数与

t

的幂函数乘积的有限项的线性组合。

假设



1

,



2

,,



k

分别是矩阵

A

的

n

1

,n

2

,,n

k

重不同特征值。这时由（5.49），我们有



v

1

v

其中

v

j

U

j

，

(j1,2,

由此即得

v

n

（5.50）

k)

，因为子空间

U

j

是由方程组（5.48）产生的，

v

j

一定是（5.48）的解。

(A



j

E)

l

v

j

0

，

ln

j

，

(j1,2,

k)

(5.51）

注意到当矩阵是对角形时，由例1知道，

expAt

是很容易求得的，这时得到



e



j

t



t



t



e

j

exp(



j

Et)e

j





0



由此，并根据等式（5.51），既有

0







E



t

e

j







j

t

(expAt)v

j

(expAt)e

e



j

t



j

t





exp(



j

Et)





v

j

e





exp(A



j

E)t





v

j



t

2

2



Et(A



j

E)(A



j

E)

2!





n1

t

j

n

j

1



(A



j

E)



v

j

(n

j

1)!





在根据等式（5.50），知微分方程组（5.33）的解



(t)(expAt)



可表为



(t)(expAt)



(expAt)



v

j





(expAt)v

j

j1j1

kk

t

2



j

t







e



Et(A



j

E)(A



j

E)

2



2!

j1





k

t

n

j

1



(A



j

E)



v

j

(n

j

1)!





n

j

1

所以，方程（5.33）满足



(0)



的解



(t)

最后可以写成



(t)



e

j1

k



j

t



n

j

1

t

i



i

(A



E)







v

j

(5.52)

j



i1

i!



n

在特别情形，当

A

只有一个特征值时，无需将初始向量分解为（5.50），这时对于任何

u

，都有

(A



E)u0

这就是说，

(A



E)

是一个零矩阵，这样一来，由

expAt

的定义，我们得到

n

t

i

expAte(A



E)te



(A



E)

i

（5.53）

i!

i0



t



t

n1

为了要从（5.52）中得到

expAt

，只要注意到

expAt(expAt)E



(expAt)e

1

,(expAt)e

2

,



1



0





0



1





其中

e

1





,e

2





0



,



0







0





0







0





0





,e

n









0







1





,(expAt)e

n



是单位向量，这就是说，依次令



e

1

,



e

2

,,



e

n

，求得

n

个解，以这

n

个解作为即可得到

expAt

。

例7 如果

A

是例4的矩阵，试解初值问题

x



Ax

，



(0)



，并求

expAt

。





1



解 从例4知道，



1

3

是

A

的二重特征值，这时

n

1

2

，只有一个子空间

U

1

，将

n

1

2

及







代





2



入（5.52）即得



(t)e

3t



Et(A3E)





e

3t



Et





利用公式（5.53），即得





11









1



3t





1

t(



1





1

)



（5.54）





e







11









2





2

t(



1





1

)



t



11





3t



1t

expAte



Et(A3E)



e



Et





e



t1t



11









3t3t

或者，分别令



e

1





，



e

2







0





1



然后代入（5.54），亦同样得到上面的结果



1





0



t



1t

expAte

3t





t1t





41000





04100





例8 如果

A



00400



，试求

expAt



00040







00004





解 这里

n5

，



4

是

A

的5重特征值，直接计算可得

(A4E)0

。因此，由公式（5.53）可

得

3

expAte

4t



t

2

2



Et(A4E)(A4E)



2!



这样一来





1





0







expAte

4t





0





0









0









1





0



0





0





0

t

1

0

0

0

0000



0



01000





0100



t



0



0010



0

0001









0

1000



0



00100





t

2



0000







0



2!



0000



0



0000





0

0100







0000









0000







0000







0000









e

4t



t

2

00



2!



t00



100





010





001





3x

1

x

2

x

3



x

1



311









2x

1

x

3

例9 考虑方程组



x

2

，这里系数矩阵

A201

，试求满足初始条件





x



xx2x





112





123



3





1









的解



(t)

，并求

expAt

。



(0)





2









3





解

A

的特征方程为

det(



EA)(



1)(



2)

2

0



1

1

，



2

2

分别为

n

1

1

，

n

2

2

重特征值，为了确定三维欧几里得空间的子空间

U

1

和

U

2

，根据

（5.48），需要考虑下面方程组：

(AE)u0

和

(A2E)

2

u0

首先讨论



211





u0

(AE)u



211







111





或



2u

1

u

2

u

3

0





2u

1

u

2

u

3

0



uuu0



123

这个方程组的解为



0





u

1



















其中



为任意常数。子空间

U

1

是由向量

u

1

所张成的。其次讨论



000





u0

(A2E)

2

u



110







110





或



u

1

u

2

0



uu0



12

这个方程组的解为









u

2



















其中



，



是任意常数。子空间

U

2

是由向量

u

2

所张成的。

现在需要找出向量

v

1

U

1

，

v

2

U

2

使得能够将初始向量



写成（5.50）的形式。因为

v

1

U

1

，

v

2

U

2

，所以



0









，

v







v

1







2



















其中



，



，



是某些常数，这样一来





1



0































2









3

























因而







1

，











2

，











3

，解之得到







2





1

，







1

，







3





2





1

，且



1



0





，

v



v

1













21

21













3





1









3





2





1





根据公式（5.52），我们得到满足初始条件



(0)



的解为



(t)e

t

Ev

1

e

2t

(Et(A2E))v

2





0



11



e

2t



Et



22e

t













21











3





1





11



t



0



1t



e

2t



2t12te

t









21





t





3





1





t

1









1







1





1







0











3





2





1









t





1





t





1



1











3





2





1







0





1

t(



3





2





1

)





e

2t





t(











)



e

t









21321



1







3





1







3





2





1





为了得到

expAt

，依次令



等于



1



0



0





0



,



1



,



0









0









0









1





代入上式，我们得到三个线性无关的解。利用这三个解作为列，即得



(1t)e

2t



expAt



e

t

(1t)e

2t



e

t

e

2t



te

2t

e

t

te

2t

e

t

e

2t

te

2t





te

2t



e

2t





应该指出，公式（5.52）是本节的主要结果。公式（5.52）告诉我们，常系数线性微分方程组（5.33）

的任一解都可以通过有限次代数运算求出来。在常微分方程的理论上和应用上，微分方程组的解当

t

时的形态的研究都是非常重要的。作为公式（5.52）在这方面的一个直接应用，我们可以得到

下面的定理11。

定理11 给定常系数线性微分方程组

x



Ax

（5.33）

那么

1

如果

A

的特征值的实部都是负的，则（5.33）的任一解当

t

时都趋于零。

2

如果

A

的特征值的实部都是非负的，且实部为零的特征值都是简单特征值，则（5.33）的任

一解当

t

时都保持有界。

3

如果

A

的特征值至少有一个具有正实部，则（5.33）至少有一个解当

t

时趋于无穷。

证明 根据公式（5.52），知道方程组（5.33）的任一解都可以表示为

t

的指数函数与

t

的幂函数乘积的

线性组合，再根据指数函数的简单性质及定理中

1

，

2

两部分所作的假设，即可得

1

，

2

的证明。为

了证明

3

，设







i



是

A

的特征值，其中



，



是实数且



0

。取



为

A

的对应于特征值



的

特征向量，则向量函数



(t)e



t



是（5.33）的一个解，于是



(t)e



t





（当

t

时）

这就是所要证明的。

本段所讨论的步骤及公式（5.52）提供了一个实际计算（5.33）的基解矩阵的方法。在这里我们主

要应用了有关空间分解的结论。

附注2 利用约当标准型计算基解矩阵。

对于矩阵

A

，由矩阵理论知道，必存在非奇异的矩阵

T

，使得

T

1

ATJ

（5.55）

其中

J

具有约当标准型，即



J

1



0

J





0





0

这里

0

J

2

0

0

0

0

0

0



0





0





J

l



0

0

0

0



0





0





，

(j1,2,

0



1







j









j



0





0

J

j







0



0







0

1



j

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

,l)

0

00

为

n

j

阶矩阵，并且

n

1

n

2

n

l

n

，而

l

为矩阵

A



E

的初级因子的个数；



1

,



2

,,



l

是特征

方程（5.46）的根，其间可能有相同者；矩阵中空白的元素均为零。

由于矩阵

J

及

J

j

(j1,2,,l)

的特殊形式，利用定义（5.34）容易计算得到

0



expJ

1

t



0expJ

2

t

expJt





00



0



0

其中

0

0

0







（5.56）



0



expJ

l

t



0

0





1







0

expJ

j

t







0



0







0

t

1

0

0

0

t

2

2!

t

0

0

n1



t

j



(n

j

1)!





n2

t

j





j

t

(n

j

2)!



e

（5.57）









1





所以，如果矩阵

J

是约当标准型，那么可以计算得到

expJt

，由（5.55）及矩阵指数的性质

3

，可以

得到微分方程组（5.33）的基解矩阵

expAt

的计算公式：

expAtexp(TJT

1

)tT(expJt)T

1

（5.58）

当然，根据5.2.1的推论

1

*

，矩阵



(t)TexpJt

（5.59）

也是（5.33）的基解矩阵。由公式（5.58）或者（5.59）都可以得到基解矩阵的具体结构，问题是非奇

异矩阵

T

的计算比较麻烦。

附注3 计算基解矩阵

expAt

的另一方法

用直接代入的方法应用哈密顿—凯莱定理容易验证

expAt



r

j1

(t)P

j

j0

n1

其中

P

0

E

，

P

（

j1,2,



(A



E)