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2024年4月23日发(作者：电脑表格制作视频)
三角函数的图像与性质
三角函数的图像与性质（正弦、余弦、正切）
【知识点1】函数
y
＝sin
x
，
y
＝cos
x
，
y
＝tan
x
的图象性质
性质
y
＝sin
x
y
＝cos
x
y
＝tan
x
一周期简图
最小正周期
奇偶性
增区间
单调性
减区间
对称轴
对称性
对称
中心
2π
奇函数
2π
偶函数
[2kπ＋π，2kπ＋2π]，k∈Z
[2kπ，2kπ＋π]，k∈Z
x＝kπ，k∈Z
π
奇函数
ππ
[2
k
π
,2
k
π
],kZ
22
π
3π
(2
k
π
,2
k
π
),kZ
22
π
xk
π
,kZ
2
(kπ，0)，k∈Z
ππ
[kπ－
,
k
π
],kZ
22
上是增函数
π
(
k
π
,0),kZ
2
对称中心
(
k
π
,0),kZ
2
题型1：定义域
例1：求下列函数的定义域
(1)
y
题型2：值域
例2：求下列函数值域
(1)
y2sinx,x(
(4)函数
y2cos(x
1
1cos2x
2
； (2)
ysin2x
(2)y=
12cos(x)
(4)y=
2sinx1lg(4x)
3
cosx
π2ππππ
5
,)
(2)y=2sin(2x-),x
,
(3)
y2cos(2x),x(,)
63323
3
46
1
2
π
)1
的最大值以及此时x的取值集合
6
三角函数的图像与性质
题型3：周期
例3：求下列函数的周期：
（1）f(x)=2sin2x (2)y=cos(
例4： 若函数
f(x)2sin(2kx
1
x
) (3)y=tan(2x
) （4）y=
sinx
234
3
)
的最小正周期
T
满足
1T2
,则自然数
k
的值为______.
例5：若
f(x)2sin
x(0
1)
在区间
[0,
3
]
上的最大值是
2
，则
=________.
例6：使
ysin
x
（ω＞0）在区间[0，1]至少出现2次最大值，则ω的最小值为【 】
A ．
5
2
B．
5
4
C．π D．
3
2
例7：设函数f(x)=2sin(
2
x
5
),若对于任意的x
R
,都有f(
x
1
)
f(x)f(x
2
)
成立，则
x
1
x
2
的最小值是
A.4 B.2 C.1 D.
题型4：奇偶性
例8：函数
y
＝sin（
x
＋
1
2
2
）（
x
∈［－
2
，
2
］）是【 】
C.偶函数 D.奇函数 A.增函数 B.减函数
例9：判断下列函数的奇偶性
(1)y=xsin(
x
) (2)y=
cosx
1sinx
例10：已知函数f(x)=x
3
cosx+1,若f(a)=11,则f(-a)=________
题型5：单调性
例11：函数y=
log
1
sin(2x+
2
)的单调递减区间是【 】
4
,kπ］(k∈Z) B.（kπ－,kπ+］(k∈Z)
488
33
C.（kπ－π,kπ+］(k∈ D.（kπ+,kπ+π］(k∈Z)
88
88
A.（kπ－
例12：.求
ylog
1
cos(x)
34
的单调区间
1
2
1
2
π
3
π
π
(3)
y2sin(2x)
),x[π,0]
；
3
6
例13：求下列函数的单调增区间(1)
ycos(x)
; (2)
y2sin(2x
例14：（1）求函数y=2sin(2x-
1
)的单调递减区间。 （2）求函数y=
sin(2x),x
0,
的递增区间。
26
3
2
三角函数的图像与性质
例15：下列函数中，周期为
，且在
A.y=sin(2x+
,
上为减函数的是【 】
42
) B.y=cos(2x+) C.y=sin(x+) D.y=cos(x+)
2222
例16：函数y=
sinx
的一个单调增区间是【 】
A.
3
,
B.
,
44
44
3
C.
,
2
3
D.
,2
2
【考点4】三角函数的对称性与特征方程
总结：
π
1：
ysinx
的对称中心是
(kπ，
对称轴为
xk
π
，kZ
．对于：
yAsin(
x
)(A0,
0)
0)
，
kZ
，
2
①对称中心的特征方程： ②对称轴的特征方程：
③最大值的特征方程： ④最小值的特征方程：
⑤最值的特征方程：
π
2：
ycosx
的对称中心是
k
π
，
对称轴为
xkπ
，
kZ
．对于：
yAcos(
x
)(A0,
0)
0
，
kZ
，
2
①对称中心的特征方程： ②对称轴的特征方程：
③最大值的特征方程： ④最小值的特征方程：
⑤最值的特征方程：
k
π
3：函数
ytanx
的图象是中心对称图形，不是轴对称图形，其对称中心为
，0
kZ
2
对于：
yAsin(
x
)(A0,
0)
其对称中心的特征方程：
题型6：对称性
)的对称轴和对称中心。
6
1
π
例18：(1)函数
y2sin(x)
的一条对称轴方程为【 】
23
4π5ππ
A．
x
B．
x
C．
x
363
例17：求函数y=3sin(2x+
D．
x
2π
3
3
三角函数的图像与性质
例19：函数的图象关于【 】
Ａ．
x
轴对称 Ｂ．原点对称 Ｃ．
y
轴对称 Ｄ．直线对称
例20：函数
ysin(2x
)(0
)
是
R
上的偶函数，则
的值是【 】
A．
0
B．
C. D.
42
例21：函数f(x)=3sin(
x
)对任意的x都有
f(
A3或0 B.-3或0 C.0 D.-3或3
例22：函数y=sin(2x-
x)f(x)
成立，则有
f()
【 】
666
2
5
)的一条对称轴为【 】A.x= B.x= C.x= D.x=
312
336
例23：函数y=-2sin(2x+
),
2
的一条对称轴是x=
,求
的值。.
3
例24：函数y=3cos(2x+
)的图像关于点
A
4
,0
对称，则
的最小值是【 】
3
B. C. D.
6432
例25：函数y
2
与y
1
=2sin(
x-)的图像关于直线x=2对称，求y
2
的解析式。
6
题型7：周期性、奇偶性、单调性、对称性的综合应用
知识点1.周期性：若f(x+T)=F(x),则T是函数f(x)的一个周期。即函数图像每隔T重复出现。
知识点2.对称性：若f(a+x)=f(a-x),或f(x)=f(2a-x),则函数图像关于直线x=a对称。
例26：下列函数中，既是（
，π）上的增函数，又是以π为周期的偶函数的是【 】
2
A．
y
＝｜sin
x
｜ Ｂ．
y
＝sin｜
x
｜ Ｃ．
y
＝｜cos2
x
Ｄ．
y
＝cos｜2
x
｜
例27：函数f(x)=cos2x+sin(
2
+x)是【 】
A.非奇非偶函数
C.仅有最大值的偶函数
B.仅有最小值的奇函数
D.既有最大值又有最小值的偶函数
例28：若函数
yf(x)
同时具有下列三个性质：（1）最小正周期为
；（2）图象关于直线
x
在区间
3
对称；（3）
,
上是增函数．则
yf(x)
的解析式可以是【 】
63
A．
ysin(
x
)
B．
ycos(2x)
C
ysin(x2
)
D．
ycos(2x)
26366
4
三角函数的图像与性质
题型8：函数图像
例29：函数
ylncosx(
π
2
x
π
2
)
的图象【 】
例30：函数y＝tanx＋sinx－｜tanx－sinx｜在区间
(
π
2
,
3π
2
)
内的图象大致是【 】
例31：函数
y
=
x
+sin|
x
|，
x
∈［－π，π］的大致图象是【 】
题型9：三角函数交点个数
例32： 【 】
A.5 B.4 C.3 D.2
例33：方程
2cos(x
4
)1
在区间
(0,
)
内的解是 ．
题型9：三角函数的综合
例34：已知函数
f(x)2sin(2x
4
)
（1）求函数的定义域； （2） 求函数的值域； （3） 求函数的周期；
（4）求函数的最值及相应的
x
值集合； （5）求函数的单调区间；
（6）若
x[0,
3
4
]
，求
f(x)
的取值范围；（7）求函数
f(x)
的对称轴与对称中心；
（8）若
f(x
)
为奇函数，
[0,2
)
，求
；若
f(x
)
为偶函数，
[0,2
)
，求
。
5
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