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2024年2月21日发(作者:stacking和blending)

对数运算法则

由指数和对数的互相转化关系可得出:

1.两个正数的积的对数,等于同一底数的这两个数的对数的和,即

2.两个正数商的对数,等于同一底数的被除数的对数减去除数对数的差,即

3一个正数幂的对数,等于幂的底数的对数乘以幂的指数,即

4.若式中幂指数则有以下的正数的算术根的对数运算法则:一个正数的算术根的对数,等于被开方数的对数除以根指数,即

基本知识

③负数与零无对数.

*

=1;

恒等式及证明

a^log(a)(N)=N (a>0 ,a≠1)

对数公式运算的理解与推导by寻韵天下(8张)

第1页 共5页

推导:log(a) (a^N)=N恒等式证明

在a>0且a≠1,N>0时

设:当log(a)(N)=t,满足(t∈R)

则有a^t=N;

a^(log(a)(N))=a^t=N;

证明完毕

运算法则

编辑

(M,N∈R)

如果

,则m为数a的自然对数,即

,e=2.718281828…为自然对数

的底,其为无限不循环小数。定义:

基本性质:

1、

2、

3、

4、

5、

推导:

1、因为

第2页 共5页

,代入则

,即

2、MN=M×N

由基本性质1(换掉M和N)

由指数的性质

又因为指数函数是单调函数,所以

3、与(2)类似处理 M/N=M÷N

由基本性质1(换掉M和N)

由指数的性质

又因为指数函数是单调函数,所以

4、与(2)类似处理

由基本性质1(换掉M)

由指数的性质

又因为指数函数是单调函数,所以

由基本性质2(展开

,如图所示)

对数基本性质4推导过程

基本性质4推广

第3页 共5页

推导如下: 由换底公式(见下面)[

,e称作自然对数的底]

换底公式的推导: 设

其中

得:

由基本性质4可得

再由换底公式

换底公式

编辑

设b=a^m,a=c^n,则b=(c^n)^m=c^(mn)………………………………①

对①取以a为底的对数,有:log(a)(b)=m……………………………..②

对①取以c为底的对数,有:log(c)(b)=mn……………………………③

③/②,得:log(c)(b)/log(a)(b)=n=log(c)(a)∴log(a)(b)=log(c)(b)/log(c)(a)

注:log(a)(b)表示以a为底b的对数。

换底公式拓展:

以e为底数和以a为底数的公式代换:

logae=1/(lna)

第4页 共5页

推导公式

编辑

log(1/a)(1/b)=log(a^-1)(b^-1)=-1/-1logab=loga(b)

loga(b)*logb(a)=1

loge(x)=ln(x)

lg(x)=log10(x)

求导数

编辑

(xlogax)'=logax+1/lna

其中,logax中的a为底数,x为真数;

(logax)'=1/xlna

特殊的即a=e时有

(logex)'=(lnx)'=1/x

第5页共5页


本文标签: 对数 性质 基本 底数 公式