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2024年2月21日发(作者:stacking和blending)
对数运算法则
由指数和对数的互相转化关系可得出:
1.两个正数的积的对数,等于同一底数的这两个数的对数的和,即
2.两个正数商的对数,等于同一底数的被除数的对数减去除数对数的差,即
3一个正数幂的对数,等于幂的底数的对数乘以幂的指数,即
4.若式中幂指数则有以下的正数的算术根的对数运算法则:一个正数的算术根的对数,等于被开方数的对数除以根指数,即
基本知识
①
;
②
;
③负数与零无对数.
④
*
=1;
恒等式及证明
a^log(a)(N)=N (a>0 ,a≠1)
对数公式运算的理解与推导by寻韵天下(8张)
第1页 共5页
推导:log(a) (a^N)=N恒等式证明
在a>0且a≠1,N>0时
设:当log(a)(N)=t,满足(t∈R)
则有a^t=N;
a^(log(a)(N))=a^t=N;
证明完毕
运算法则
编辑
①
②
③
(M,N∈R)
如果
,则m为数a的自然对数,即
,e=2.718281828…为自然对数
的底,其为无限不循环小数。定义:
则
基本性质:
1、
2、
3、
4、
5、
推导:
1、因为
若
第2页 共5页
,代入则
,即
。
2、MN=M×N
由基本性质1(换掉M和N)
由指数的性质
又因为指数函数是单调函数,所以
3、与(2)类似处理 M/N=M÷N
由基本性质1(换掉M和N)
由指数的性质
又因为指数函数是单调函数,所以
4、与(2)类似处理
由基本性质1(换掉M)
由指数的性质
又因为指数函数是单调函数,所以
或
由基本性质2(展开
,如图所示)
对数基本性质4推导过程
基本性质4推广
第3页 共5页
推导如下: 由换底公式(见下面)[
是
,e称作自然对数的底]
换底公式的推导: 设
则
其中
得:
由基本性质4可得
再由换底公式
换底公式
编辑
设b=a^m,a=c^n,则b=(c^n)^m=c^(mn)………………………………①
对①取以a为底的对数,有:log(a)(b)=m……………………………..②
对①取以c为底的对数,有:log(c)(b)=mn……………………………③
③/②,得:log(c)(b)/log(a)(b)=n=log(c)(a)∴log(a)(b)=log(c)(b)/log(c)(a)
注:log(a)(b)表示以a为底b的对数。
换底公式拓展:
以e为底数和以a为底数的公式代换:
logae=1/(lna)
第4页 共5页
推导公式
编辑
log(1/a)(1/b)=log(a^-1)(b^-1)=-1/-1logab=loga(b)
loga(b)*logb(a)=1
loge(x)=ln(x)
lg(x)=log10(x)
求导数
编辑
(xlogax)'=logax+1/lna
其中,logax中的a为底数,x为真数;
(logax)'=1/xlna
特殊的即a=e时有
(logex)'=(lnx)'=1/x
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